Porównywanie potęg

Jak sprawdzić, która potęga jest większa? Czy aby porównać potęgi musimy policzyć wartości potęg? Czy prawa działań na potęgach są przydatne do porównywania liczb? Odpowiedzi na te pytania zawarte są w tym materiale.

Przykład 1

W podanych parach potęg wskaż większą z nich:

$3^{3}$ i $3^{4}$ ;
$2^{5}$ i $2^{6}$ .

RGnoH4gmoRG791

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Jeżeli liczby naturalne dodatnie $m$ i $n$ spełniają warunek $n > m$ , liczba $a$ jest większa od $1$ , to

a^{n} > a^{m}

Rozważmy teraz potęgi o podstawach dodatnich, mniejszych od $1$ .

Przykład 2

Która z potęg jest większa? ${(\frac{1}{2})}^{2}$ czy ${(\frac{1}{2})}^{3}$ ?

R15gQsGCwAbix1

Zapamiętaj!

Jeżeli liczby naturalne dodatnie $m$ i $n$ spełniają warunek $n > m$ , liczba $a$ jest liczbą dodatnią i mniejszą od $1$ , to

a^{n} < a^{m}

Przykład 3

Porównaj potęgi $3^{3}$ i $4^{3}$ .

R1USSmq0xcSqj1

Zapamiętaj!

Jeżeli liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają warunek $a < b$ , $n$ jest liczbą naturalną dodatnią, to $a^{n} < b^{n}$ .

Przykład 4

Oblicz $\frac{300^{4}}{10^{7}}$ .

RSo5D97lgPpu11

Ćwiczenie 1

R15qqgzNHMxwt

Przeciągnij i upuść odpowiedni znak.

2^{6}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

2^{7}

5^{5}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

5^{2}

{(0,3)}^{6}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

{(0,3)}^{7}

{(\frac{5}{6})}^{8}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

{(\frac{5}{4})}^{8}

6^{8}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

6^{9}

{(1,1)}^{6}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

{(1,1)}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dla każdej pary potęg określ, czy mają takie same podstawy, czy wykładniki. Następnie zastosuj jedną z reguł omówionych w przykładach $1$ , $2$ i $3$ .

R16HXY65YA8er1

Ćwiczenie 2

Przeciągnij i upuść odpowiedni znak.

2^{3}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

{(2^{2})}^{3}

{(4^{2})}^{5}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

4^{7}

{(\frac{2}{5})}^{6}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

{({(\frac{2}{5})}^{2})}^{3}

{({0,3}^{2})}^{4}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

{(0,3)}^{4}

{(\frac{2}{3})}^{8}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

{({(\frac{2}{3})}^{2})}^{3}

{({1,4}^{5})}^{5}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

{(1, 4^{3})}^{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Ryx9FFMBoUCxv1

Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

$2^{13}$
$64^{2}$
$16^{0}$
$8^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przedstaw podane liczby w postaci potęg liczby $2$ , a następnie je porównaj.

Ćwiczenie 4

R7P38Hpy5j4QF

Przeciągnij i upuść odpowiedni znak.

3^{5}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

9^{3}

2^{4}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

4^{2}

4^{4}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

8^{2}

{(\frac{3}{4})}^{3}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

{(\frac{9}{16})}^{2}

{(0,09)}^{3}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

{(0,3)}^{3}

3^{4} \cdot 2^{4}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

6^{4}

{(2^{3} \cdot 4^{2})}^{4}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

2^{12} \cdot 4^{8}

{(3^{2} \cdot 5^{2})}^{4}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

3^{8} \cdot 5^{6}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJnnJNZVz5aIy2

Ćwiczenie 5

Przeciągnij i upuść odpowiedni znak.

8^{3}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

4^{3}

3^{6}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

12^{6}

{(0, 2)}^{9}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

{(0, 3)}^{9}

{(1, 4)}^{5}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

{(1, 3)}^{5}

{(\frac{2}{7})}^{4}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

{(\frac{1}{4})}^{4}

{(0,75)}^{7}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

{(\frac{3}{4})}^{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RpwfHI4gRsalR2

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcwD99Ua3WSH32

Ćwiczenie 7

$9^{3} > 9^{0}$
${(\frac{1}{3})}^{5} \leq {(\frac{1}{3})}^{3}$
${(\frac{1}{6})}^{3} \geq {(\frac{1}{6})}^{2}$
$4^{3} < 4^{4}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OvAsCEa9Enc2

Ćwiczenie 8

$4$ razy większa
o połowę większa
$4$ razy mniejsza
o połowę mniejsza

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUE9WaSTEMfBZ2

Ćwiczenie 9

$27^{5}, 3^{9}, 81^{2}, {(\frac{1}{3})}^{3}, {(\frac{1}{3})}^{4}$
$27^{5}, {81^{2}, 3}^{9}, {(\frac{1}{3})}^{3}, {(\frac{1}{3})}^{4}$
${(\frac{1}{3})}^{3}, {(\frac{1}{3})}^{4} {, 27}^{5}, {81^{2}, 3}^{9}$
${(\frac{1}{3})}^{4}, {(\frac{1}{3})}^{3} {, 27}^{5}, 3^{9}, 81^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R1LPXVff6xA4v

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZd2l5enJRfS43

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.