Postać dziesiętna ułamka zwykłego

Jak zamienić ułamek zwykły na postać dziesiętną?

Niektóre ułamki zwykłe bardzo ławo zamienić na liczby dziesiętne, czyli zapisać je w postaci dziesiętnej – z przecinkiem.

Najłatwiej zrobić to z ułamkami dziesiętnymi, bo mają w mianowniku $10$ , $100$ , $1000$ , $\dots$ itd.

Na przykład:

\frac{7}{10} = 0,7

\frac{43}{100} = 0,43

\frac{25}{1000} = 0,025

Jeżeli ułamek nie ma mianownika równego $10$ , $100$ , $1000$ , $\dots$ itd., ale da się go rozszerzyć do takiego mianownika, to zamiana również nie jest zbyt trudna.

Na przykład:

\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8

\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 0,45

\frac{103}{125} = \frac{824}{1000} = 0,824

Zamieniając liczbę mieszaną na liczbę dziesiętną, trzeba zająć się tylko zamianą ułamka. Całości po prostu przepisujemy.

Na przykład:

2 \frac{9}{100} = 2,09

16 \frac{7}{250} = 16 \frac{28}{1000} = 16,028

Aby zrozumieć poruszane w tym materiale zagadnienia, przypomnij sobie:

Ułamki zwykłe można zamieniać na liczby dziesiętne, dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik.

$\frac{7}{8} = 0,875$ , bo:

R1KC240D0fIOX1

Rysunek przedstawia przykład: siedem ósmych = 0,875 bo siedem dzielone przez 8 = 0,875. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\frac{9}{2} = 4,5$ , bo:

R1TtlEGk39dh81

Rysunek przedstawia przykład: dziewięć drugich = 4,5 bo 9 dzielone przez 2 = 4,5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rb4LVfDuUSNz811

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1CN1t21IpVVU11

Ćwiczenie 2

Przeciągnij i upuść ułamek dziesiętny oraz postać dziesiętną do odpowiedniej grupy ułamków zwykłych.

\frac{3}{50}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 035

, 2.

0, 018

, 3.

0, 06

, 4.

\frac{44}{100}

, 5.

\frac{35}{1000}

, 6.

\frac{18}{1000}

, 7.

\frac{6}{100}

, 8.

0, 44

\frac{11}{25}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 035

, 2.

0, 018

, 3.

0, 06

, 4.

\frac{44}{100}

, 5.

\frac{35}{1000}

, 6.

\frac{18}{1000}

, 7.

\frac{6}{100}

, 8.

0, 44

\frac{7}{200}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 035

, 2.

0, 018

, 3.

0, 06

, 4.

\frac{44}{100}

, 5.

\frac{35}{1000}

, 6.

\frac{18}{1000}

, 7.

\frac{6}{100}

, 8.

0, 44

\frac{9}{500}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 035

, 2.

0, 018

, 3.

0, 06

, 4.

\frac{44}{100}

, 5.

\frac{35}{1000}

, 6.

\frac{18}{1000}

, 7.

\frac{6}{100}

, 8.

0, 44

Przeciągnij i upuść ułamek dziesiętny oraz postać dziesiętną do odpowiednich ułamków zwykłych.

$\frac{3}{50}$
$\frac{11}{25}$
$\frac{7}{200}$
$\frac{9}{500}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16DIObqDHVb311

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1bgzESrCH9VY11

Ćwiczenie 4

Poniżej przedstawiono pewne liczby. Połącz w pary liczby, które są sobie równe.

0, 312

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{8}

, 2.

\frac{109}{125}

, 3.

\frac{13}{40}

, 4.

\frac{39}{125}

, 5.

\frac{7}{8}

0, 875

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{8}

, 2.

\frac{109}{125}

, 3.

\frac{13}{40}

, 4.

\frac{39}{125}

, 5.

\frac{7}{8}

0, 325

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{8}

, 2.

\frac{109}{125}

, 3.

\frac{13}{40}

, 4.

\frac{39}{125}

, 5.

\frac{7}{8}

0, 375

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{8}

, 2.

\frac{109}{125}

, 3.

\frac{13}{40}

, 4.

\frac{39}{125}

, 5.

\frac{7}{8}

0, 872

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{8}

, 2.

\frac{109}{125}

, 3.

\frac{13}{40}

, 4.

\frac{39}{125}

, 5.

\frac{7}{8}

Połącz w pary równe liczby.

$0, 312$
$0, 875$
$0, 325$
$0, 375$
$0, 872$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Co to jest rozwinięcie dziesiętne liczby?

Zamieniając ułamek na postać dziesiętną, możemy postępować na dwa sposoby:

rozszerzyć ułamek do mianownika $10$ , $100$ , $1000$ , $\dots$ itd. i zapisać go z użyciem przecinka,
podzielić licznik przez mianownik ułamka, bo kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.

Przykład 1

RKidVCDM6mNOa

Zamiana ułamków zwykłych na postać dziesiętną
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Zamieńmy ułamek $\frac{3}{40}$ na postać dziesiętną dwoma sposobami.

sposób $I$

Rozszerzamy ułamek przez $25$ .

\frac{3}{40} = \frac{75}{1000} = 0,075

sposób $II$

Dzielimy $3$ przez $40$ sposobem pisemnym.

\frac{3}{40} = 0,075

RwVpT84drymod1

Rysunek przedstawia przykład: trzy czterdzieste = 0,075 bo 3 dzielone przez 40 = 0,075. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Zamieńmy na postać dziesiętną ułamek $\frac{2}{15}$ .

Możemy posłużyć się tylko drugim sposobem, dzieląc licznik przez mianownik.

\frac{2}{15} = 0,133\dots

RLM8rk3cKUDpk1

Rysunek przedstawia przykład: dwie piętnaste = 0,133… bo 2 dzielone przez 15 = 0,133… — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W tym przypadku dzielenie się nie kończy. Gdybyśmy wykonywali je dalej, to cały czas powtarzałaby się cyfra $3$ .

Ważne!

Rozwinięcie dziesiętne liczby, to zapis tej liczby w postaci dziesiętnej – z przecinkiem.

Niektóre liczby mają rozwinięcie dziesiętne skończone, a niektóre nieskończone.

Przykłady liczb i ich rozwinięć dziesiętnych skończonych:

\frac{3}{40} = 0,075

5 \frac{3}{40} = 5,075

Ćwiczenie 5

Znajdź rozwinięcie dziesiętne ułamka, dzieląc pisemnie jego licznik przez mianownik.

$\frac{19}{20}$
$\frac{37}{50}$
$\frac{13}{25}$
$\frac{29}{125}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{5}{6}$
$\frac{2}{11}$
$\frac{4}{9}$

RBxBjLn65F3iT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$0,95$ ,
$0,74$ ,
$0,52$ ,
$0,232$ ,
$0,66\dots$ ,
$0,833\dots$ ,
$0,1818\dots$ ,
$0,44\dots$

Jakie ułamki mają rozwinięcie skończone?

RhXqJW6IO6Bt721

Ćwiczenie 6

Uzupełnij rozwinięcia dziesiętne podanych ułamków zwykłych, dzieląc licznik przez mianownik. Do obliczeń możesz wykorzystać kalkulator.

a) $\frac{13}{16} =$ ............
b) $\frac{57}{80} =$ ............
c) $\frac{35}{64} =$ ................
d) $\frac{39}{40} =$ ............
e) $\frac{122}{125} =$ ............
f) $\frac{61}{250} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W powyższym zadaniu wszystkie ułamki miały rozwinięcie dziesiętne skończone. O tym, że dzielenie licznika przez mianownik się skończy, decyduje mianownik ułamka.

Jeżeli rozłożymy mianowniki tych ułamków na czynniki pierwsze, to zauważymy pewną prawidłowość. Spróbuj ją odkryć rozwiązując kolejne zadanie.

Ćwiczenie 7

Rozłóż mianowniki podanych ułamków na czynniki pierwsze. Wykorzystaj metodę „z pionową kreską”.

$\frac{13}{16}$ ,
$\frac{57}{80}$ ,
$\frac{35}{64}$ ,
$\frac{39}{40}$ ,
$\frac{122}{125}$ ,
$\frac{61}{250}$ .

R1R56MqUM05Ob

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\frac{13}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$ ,
$\frac{57}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}$ ,
$\frac{35}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$ ,
$\frac{39}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}$ ,
$\frac{122}{5 \cdot 5 \cdot 5}$ ,
$\frac{61}{2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$ .

R1JxjNHG2qIny31

Ćwiczenie 8

$\frac{6}{15}$
$\frac{5}{32}$
$\frac{7}{15}$
$\frac{35}{56}$
$\frac{9}{28}$
$\frac{13}{16}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisywanie liczb w różnej postaci

RVhbmHtOdqmnW31

Ćwiczenie 9

Uporządkuj ułamki od najmniejszego do największego.

$\frac{53}{105}$
$\frac{50}{99}$
$\frac{377}{750}$
$\frac{65}{128}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14xxRFNCyNU13

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.