Potęga o wykładniku całkowitym

Materiał ten dotyczy własności potęg o wykładniku całkowitym. Jest dobrym wprowadzeniem do lekcji Działania na potęgach o wykładniku całkowitymD9bQywvMQDziałania na potęgach o wykładniku całkowitym.

RVGA5F7JsgToX1

Ilustracja przedstawia zapis: a do potęgi n, gdzie a to podstawa potęgi, n wykładnik potęgi. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przypomnijmy

Potęgą $a^{n}$ o wykładniku naturalnym $(n > 1)$ nazywamy iloczyn $n$ czynników, z których każdy jest równy $a$ .
$a^{n} = \underset{n czynników}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \dots \cdot a}}$ .
Przyjmujemy, że $a^{0} = 1$ dla $a \neq 0$ oraz $a^{1} = a$ .
Dla każdej liczby naturalnej $n$ i dla dowolnej liczby $a \neq 0$ przyjmujemy $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Działania na potęgach

Twierdzenie: Działania na potęgach

Iloczyn potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

R1Z1tjwk482bF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Iloraz potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}

R1HUeWq4VRmFi

Potęga potęgi

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

{(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}

RDBoa22Rshi5M

Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}

RGkqhPYvk1uXR

Iloraz potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}

RS6b7c3hacr1S