Prędkość, droga i czas

Wokół nas poruszają się zarówno ludzie, jak i zwierzęta, rzeczy czy pojazdy. Ruch jest zjawiskiem powszechnym. Opisując ruch, używamy trzech pojęć: drogi, prędkości i czasu.

Prędkość, droga i czas to ważne pojęcia, z którymi spotykamy się nie tylko na lekcji matematyki, ale także na lekcjach fizyki czy biologii.

Prędkość

W rzeczywistości obiekty poruszają się z różną prędkością. Na przykład samochód musi czasami zwolnić, a czasami może przyspieszyć. Dlatego mówiąc o prędkości, mamy na myśli średnią prędkość.

Na przykład, jeśli samochód w czasie $2$ godzin przebył drogę długości $180 km$ , to znaczy, że w czasie $1$ godziny przejechał $90$ kilometrów. Mówimy, że jego średnia prędkość wynosiła $90$ kilometrów na godzinę.

Zapisujemy to krótko: $90 \frac{km}{h}$ .

Gdy wiemy, jaką drogę i w jakim czasie pokonał dany obiekt, możemy obliczyć z jaką prędkością się poruszał.

Przykład 1

Samochód w ciągu $3$ godzin przebył drogę długości $210 km$ . Obliczmy, z jaką średnią prędkością się poruszał.

Samochód pokonał $210 km$ w czasie $3$ godzin, zatem w ciągu $1$ godziny pokonał $70 km$ .

To oznacza, że poruszał się ze średnią prędkością $70 \frac{km}{h}$ .

Obliczenia możemy zapisać krótko:

R1zjne04tWmt81

Zapis proporcji: 210 km - 3 h i poniżej 70 km - 1 h. 210 km dzielone przez 3 =70 km i 3 h dzielone przez 3 =1 h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: Samochód poruszał się ze średnią prędkością $70 \frac{km}{h}$ .

Przykład 2

Pieszy przeszedł $2, 4 km$ w ciągu pół godziny. Z jaką średnią prędkością się poruszał?

sposób $I$
Ra7TyL5cl1RXA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Odpowiedź: Pieszy poruszał się ze średnią prędkością $4, 8 \frac{km}{h}$ .
sposób $II$

Obliczenia można wykonać w innych jednostkach.

R1569cQRMItn51

Zapis proporcji: 2400 m – 30 min i 80 m – 1 min. 2400 m dzielone przez 30 = 80 m i 30 min dzielone przez 30 =1 min. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: Prędkość, z jaką poruszał się pieszy wynosiła $80 \frac{m}{\min}$ .

Notatnik

R16ow3Y11IgAx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rf2LseRONeayX11

Ćwiczenie 1

Pojazd przejechał daną drogę w podanym czasie. Oblicz, z jaką średnią prędkością się poruszał.

Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Droga:

240 km

Czas:

4 h

Prędkość: 1.

80

, 2.

40

, 3.

60

, 4.

30

, 5.

8

, 6.

20

\frac{km}{h}

Droga:

400 km

Czas:

5 h

Prędkość: 1.

80

, 2.

40

, 3.

60

, 4.

30

, 5.

8

, 6.

20

\frac{km}{h}

Droga:

360 km

Czas:

9 h

Prędkość: 1.

80

, 2.

40

, 3.

60

, 4.

30

, 5.

8

, 6.

20

\frac{km}{h}

Droga:

1200 m

Czas:

40 min

Prędkość: 1.

80

, 2.

40

, 3.

60

, 4.

30

, 5.

8

, 6.

20

\frac{m}{min}

Droga:

56 m

Czas:

7 s

Prędkość: 1.

80

, 2.

40

, 3.

60

, 4.

30

, 5.

8

, 6.

20

\frac{m}{s}

Pojazd przejechał daną drogę w podanym czasie. Oblicz, z jaką średnią prędkością się poruszał.

Przeciągnij i upuść.

$60$ , $8$ , $20$ , $40$ , $30$ , $80$

a) Droga: $240 km$
Czas: $4 h$
Prędkość: ............ $\frac{km}{h}$

b) Droga: $400 km$
Czas: $5 h$
Prędkość: ............ $\frac{km}{h}$

c) Droga: $360 km$
Czas: $9 h$
Prędkość: ............ $\frac{km}{h}$

d) Droga: $1 200 m$
Czas: $40 min$
Prędkość: ............ $\frac{m}{min}$

e) Droga: $56 m$
Czas: $7 s$
Prędkość: ............ $\frac{m}{s}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rt884ThNYhGC711

Ćwiczenie 2

Pani Karolina przejechała trasę

382, 5 km

w ciągu

4 h 30 \min

, a pani Natalia trasę

66 km

w ciągu

45 \min

. Oblicz, która z pań jechała z większą prędkością i o ile większą.

Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie wartości. Pani Karolina:

382, 5 km - 4, 5 h |\cdot2

Tu uzupełnij

km -

Tu uzupełnij

h |:

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

km - 1 h

Prędkość pani Karoliny: Tu uzupełnij

\frac{km}{h}

Pani Natalia:
Tu uzupełnij

km - \frac{3}{4} h | : 3

Tu uzupełnij

km - \frac{1}{4} h | \cdot

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

km - 1 h

Prędkość pani Natalii: Tu uzupełnij

\frac{km}{h}

Odpowiedź: Z większą prędkością jechała pani Tu uzupełnij. Jej prędkość była większa o Tu uzupełnij

\frac{km}{h}

Pani Karolina przejechała trasę $382, 5 km$ w ciągu $4 h 30 min$ , a pani Natalia trasę $66 km$ w ciągu $45 min$ . Oblicz, która z pań jechała z większą prędkością i o ile większą.

Uzupełnij.

Pani Karolina:
$382, 5 km - 4, 5 h | \cdot 2$
............ $km -$ ............ $h | :$ ............
............ $km - 1 h$
Prędkość pani Karoliny: ............ $\frac{km}{h}$

Pani Natalia:
............ $km - \frac{3}{4} h | : 3$
............ $km - \frac{1}{4} h | \cdot$ ............
............ $km - 1 h$
Prędkość pani Natalii: ............ $\frac{km}{h}$

Odpowiedź: Z większą prędkością jechała pani .............. . Jej prędkość była większa o ............ $\frac{km}{h}$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Słoń porusza się w biegu z prędkością $11 \frac{m}{s}$ . Z jaką prędkością, wyrażoną w kilometrach na godzinę, porusza się wówczas słoń?

RE73HSzxOehHA1

Zapis proporcji: 11 m – 1 s i poniżej 660 m – 60 s. 11 m razy 60 =660 m i 1 s razy 60 =60 s. Proporcja: 0,66 km – 1 min i poniżej 39,6 km – 60 min. 0,66 km razy 60 = 39,60 km i 1 min razy 60 =60 min. 39,6 km – 1 h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: Słoń porusza się z prędkością $39,6 \frac{km}{h}$ .

Z powyższych obliczeń możemy także wywnioskować, że prędkość słonia wynosiła $660 \frac{m}{\min}$ , a także $0,66 \frac{km}{\min}$ czy $39600 \frac{m}{h}$ .

Droga

Jeżeli znamy prędkość poruszającego się np. pojazdu, to możemy obliczyć, jaką drogę pokona ten pojazd w określonym czasie.

R1aynram4HcfA21

Ćwiczenie 3

Dwa samochody jadą z różną prędkością. Samochód

A

porusza się z prędkością

60 \frac{km}{h}

, natomiast samochód

B

porusza się z prędkością

80 \frac{km}{h}

.

Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby. Droga przebyta przez samochód

A

(w kilometrach)po

1

godzinie: Tu uzupełnijpo

2

godzinach: Tu uzupełnijpo

3

godzinach: Tu uzupełnijpo

4

godzinach: Tu uzupełnijDroga przebyta przez samochód

B

(w kilometrach)po

1

godzinie: Tu uzupełnij po

2

godzinach: Tu uzupełnijpo

3

godzinach: Tu uzupełnijpo

4

godzinach: Tu uzupełnij

Dwa samochody jadą z różną prędkością. Samochód $A$ porusza się z prędkością $60 \frac{km}{h}$ , natomiast samochód $B$ porusza się z prędkością $80 \frac{km}{h}$ .

Uzupełnij.

Droga przebyta przez samochód $A$ (w kilometrach)
po 1 godzinie: ............
po 2 godzinach: ............
po 3 godzinach: ............
po 4 godzinach: ............

Droga przebyta przez samochód $B$ (w kilometrach)
po 1 godzinie: ............
po 2 godzinach: ............
po 3 godzinach: ............
po 4 godzinach: ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1C3Ww3iz0LFx21

Ćwiczenie 4

Samochód jedzie z prędkością $90 \frac{km}{h}$ . Jaką drogę przejedzie we wskazanym czasie?

Uzupełnij.

Droga przejechana przez samochód (w kilometrach)
po $1$ godzinie: ............
po $1, 5$ godziny: ............
po $2$ godzinach: ............
po $2, 5$ godziny: ............
po $4$ godzinach: ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rq7qxZ2SqXNGh21

Ćwiczenie 5

Janek szedł z prędkością $64 \frac{m}{min}$ . Jaką drogę pokonał we wskazanym czasie?

Uzupełnij.

Droga przebyta przez Janka (w metrach)
po $1$ minucie: ............
po $2, 5$ minutach: ............
po $10$ minutach: ............
po $15$ minutach: ............
po $60$ minutach: ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6OvxUGyM9l4y21

Ćwiczenie 6

Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby. Rowerzysta porusza się z prędkością

18 \frac{km}{h}

. Jaką odległość pokona rowerzysta dla podanych czasów? W ciągu

1 h

pokona Tu uzupełnij

km

.W ciągu

30 min.

pokona Tu uzupełnij

km

.W ciągu

30 s

pokonaTu uzupełnij

m

.Kangur porusza się z prędkością

20 \frac{m}{s}

. Jaką odległość pokona kangur dla podanych czasów?W ciągu

8 s

pokona Tu uzupełnij

m

.W ciągu

5 min.

pokona Tu uzupełnij

km

.W ciągu

1 h

pokona Tu uzupełnij

km

.Ślimak porusza się z prędkością

6 \frac{cm}{min.}

. Jaką odległość pokona ślimak dla podanych czasów? W ciągu

15 min.

pokona Tu uzupełnij

cm

.W ciągu

5 h

pokona Tu uzupełnij

m

.W ciągu

30 s

pokona Tu uzupełnij

cm

.Rakieta porusza się z prędkością

8 \frac{km}{s}

. Jaką odległość pokona ślimak dla podanych czasów?W ciągu

30 s

pokona Tu uzupełnij

km

.W ciągu

2 min.

pokona Tu uzupełnij

km

.W ciągu

1 h

pokona Tu uzupełnij

km

Uzupełnij.

a) Rowerzysta porusza się z prędkością $18 \frac{km}{h}$ . Jaką odległość pokona w czasie:
$1 h ⟶$ ............ $km$ ,    $30 min ⟶$ ............ $km$ ,    $30 s ⟶$ ............ $m$ .
b) Kangur porusza się z prędkością $20 \frac{m}{s}$ . Jaką odległość pokona w czasie:
$8 s ⟶$ ............ $m$ ,    $5 min ⟶$ ............ $km$ ,    $1 h ⟶$ ............ $km$ .
c) Ślimak porusza się z prędkością $6 \frac{cm}{min}$ . Jaką odległość pokona w czasie:
$15 min ⟶$ ............ $cm$ ,    $5 h ⟶$ ............ $m$ ,    $30 s ⟶$ ............ $cm$ .
d) Rakieta porusza się z prędkością $8 \frac{km}{s}$ . Jaką odległość pokona w czasie:
$30 s ⟶$ ............ $km$ ,    $2 min ⟶$ ............ $km$ ,    $1 h ⟶$ ............ $km$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czas

Ćwiczenie 7

W tabeli zamieszczono czas, w jakim poruszał się samochód i prędkość, z jaką poruszał się w kolejnych przejazdach.

Numer przejazdu	Prędkość $[\frac{km}{h}]$	Czas przejazdu $[s]$
$I$	$20$	$5$
$II$	$10$	$10$
$III$	$50$	$2$
$IV$	$80$	$1, 25$
$V$	$100$	$1$

R1WFWatomLt5Z

Uzupełnij poniższe zdania, przeciągając odpowiednie stwierdzenia. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Gdy prędkość zmniejsza się

2

razy, czas 1. zmniejsza się

10

razy, 2. zmniejsza się

4

razy, 3. zmniejsza się

8

razy, 4. zmniejsza się

2

razy, 5. zwiększa się

2

razy, 6. zwiększa się

10

razy, 7. zwiększa się

8

razy, 8. zwiększa się

3

razy, 9. zmniejsza się

5

razy.
Gdy prędkość zwiększa się

5

razy, czas 1. zmniejsza się

10

razy, 2. zmniejsza się

4

razy, 3. zmniejsza się

8

razy, 4. zmniejsza się

2

razy, 5. zwiększa się

2

razy, 6. zwiększa się

10

razy, 7. zwiększa się

8

razy, 8. zwiększa się

3

razy, 9. zmniejsza się

5

razy.
Gdy prędkość zwiększa się

8

razy, czas 1. zmniejsza się

10

razy, 2. zmniejsza się

4

razy, 3. zmniejsza się

8

razy, 4. zmniejsza się

2

razy, 5. zwiększa się

2

razy, 6. zwiększa się

10

razy, 7. zwiększa się

8

razy, 8. zwiększa się

3

razy, 9. zmniejsza się

5

razy.
Gdy prędkość zwiększa się

10

, czas 1. zmniejsza się

10

razy, 2. zmniejsza się

4

razy, 3. zmniejsza się

8

razy, 4. zmniejsza się

2

razy, 5. zwiększa się

2

razy, 6. zwiększa się

10

razy, 7. zwiększa się

8

razy, 8. zwiększa się

3

razy, 9. zmniejsza się

5

razy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Gdy wiemy, jaką długość miała droga którą pokonał pojazd i z jaką prędkością się poruszał, to możemy obliczyć czas tego ruchu.

Przykład 4

Pewien samochód przejechał $140 km$ ze średnią prędkością $70 \frac{km}{h}$ . Obliczmy, ile czasu trwała ta podróż.

Skoro samochód poruszał się z prędkością $70 \frac{km}{h}$ , to znaczy, że przejechał $70 km$ w czasie $1 h$ .

RtJN9YuxqnrFy1

Zapis proporcji: 70 km – 1 h i poniżej 140 km – 2 h. 70 km razy 2 =140 km i 1 h razy 2 =2 h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: Podróż trwała $2 h$ .

RXuAstF3biboM21

Ćwiczenie 8

Uzupełnij czas w jakim obiekt pokona daną drogę z podaną prędkością.

a) Droga: $420 km$
Prędkość: $60 \frac{km}{h}$
Czas: ............ $h$

b) Droga: $320 km$
Prędkość: $80 \frac{km}{h}$
Czas: ............ $h$

c) Droga: $400 m$
Prędkość: $5 \frac{m}{s}$
Czas: ............ $s$

d) Droga: $8 000 m$
Prędkość: $4 \frac{km}{h}$
Czas: ............ $h$

e) Droga: $1 km$
Prędkość: $2 \frac{m}{s}$
Czas: ............ $s$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14tJB2hoCdqt2

Ćwiczenie 9

Oblicz czas trwania podróży i uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby całkowite w puste miejsca. Pociąg jadąc ze stałą prędkością

60 \frac{km}{h}

przebył drogę

20 km

. Podróż trwała Tu uzupełnij minut.Samolot lecąc z prędkością

800 \frac{km}{h}

pokonał odległość

200 km

. Podróż trwała Tu uzupełnij minut.Pieszy szedł z prędkością

70 \frac{m}{\min}

i pokonał dystans

7 km

. Pieszy szedł Tu uzupełnij minut.Koń cwałując z prędkością

18 \frac{m}{s}

pokonał drogę

1080 m

. Cwał konia trwał Tu uzupełnij sekund.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Prędkość, droga i czas – zadania różne

R1HY5Yrnr3xcC2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Lpp1Ul136jj

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R174w0wvR3ZB02

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Doganianie, oddalanie, spotykanie

Obserwując, czy rozważając ruch, dostrzegamy również takie sytuacje jak: wymijanie, doganianie, spotykanie i oddalenie się obiektów.

Przykład 5

Maja zauważa Sonię z odległości $40 m$ i zaczyna ją gonić. Sonia ucieka z prędkością $3 \frac{m}{s}$ , a Maja goni ją z prędkością $5 \frac{m}{s}$ . Po jakim czasie Maja dogoni Sonię?

W ciągu $1$ sekundy odległość między dziewczynkami zmniejsza się o:

2 m = (5 m - 3 m)

Ponieważ

40 : 2 = 20

więc Maja dogoni Sonię po $20 s$ .

R1Cp86rm5gmL42

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

REruuHs3bms5z3

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Oliwia i Julka zobaczyły się z odległości $120 m$ . Uradowane, zaczęły biec naprzeciw siebie; Oliwia z prędkością $7 \frac{m}{s}$ , a Julka $5 \frac{m}{s}$ . Po jakim czasie dziewczynki spotkały się (dobiegły do siebie)?
W ciągu $1$ sekundy odległość między dziewczynkami zmniejsza się o

12 m = (7 m + 5 m)

Ponieważ

120 : 12 = 10

więc dziewczynki spotkały się po $10 s$ .

R54Bm2WfRo4Y73

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

Andrzej i Jola rozstają się. Zaczynają biec i oddalać się od siebie w przeciwnych kierunkach, wzdłuż tej samej ulicy. Andrzej biegnie z prędkością $6 \frac{m}{s}$ , a Jola z prędkością $3 \frac{m}{s}$ . Po ilu sekundach znajdą się od siebie w odległości $270 m$ ?
W ciągu $1$ sekundy odległość między nimi zwiększa się o

9 m = (6 m + 3 m)

Ponieważ

270 : 9 = 30

więc oddalą się na odległość $270 m$ po $30 s$ .

RgW047D3mQPIO3

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11ByAjgsElPv3

Ćwiczenie 17

Pociąg jechał przez

4

godziny z prędkością

75 \frac{km}{h}

, a następnie przez

2

godziny z prędkością

120 \frac{km}{h}

. Oblicz, z jaką średnią prędkością ten pociąg pokonał całą trasę. Uzupełnij poniższą lukę. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Pociąg jechał ze średnią prędkością 1.

60

, 2.

70

, 3.

90

, 4.

50

, 5.

80

\frac{km}{h}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTl4AHL8Qg51o3

Ćwiczenie 18

Marcin przez godzinę szedł szybko, z prędkością

6 \frac{km}{h}

, ale zmęczył się i przez następne pół godziny szedł z prędkością

5 \frac{km}{h}

. Ostanie pół godziny Marcin szedł bardzo wolno z prędkością

3 \frac{km}{h}

. Z jaką średnią prędkością przeszedł Marcin całą swoją drogę? Uzupełnij odpowiedź, wpisując szukaną wartość w puste pole. Odpowiedź: Marcin przeszedł drogę ze średnią prędkością Tu uzupełnij

\frac{km}{h}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.