RtIoDuRoDbtJY1

Ken and Nyetta, Flickr, CC BY https://www.flickr.com/photos/kjfnjy/7203106620/sizes/l

1. Prędkość orbitalna

Z jaką prędkością musi się poruszać obiekt, aby móc krążyć wokół planety, np. Ziemi, w danej odległości od jej środka? Obecnie na to pytanie możemy odpowiedzieć bez trudu. Wiemy przecież, że podczas ruchu po okręgu na ciało musi działać siła dośrodkowa, którą jest siłą grawitacji.

RNN9yTaNFM65B1

Ilustracja przedstawia schemat ruchu ciała po orbicie okołoziemskiej. Tło białe. W lewej części rysunek, w prawej części napisy. Rysunek: duży okrąg, szara przerywana linia. Wewnątrz okręgu ciemnoniebieskie koło. Koło podpisane „Ziemia”. Od środka koła odchodzą dwie strzałki. Jedna sięga brzegu koła („R-z”), druga sięga szarego okręgu („r”). Strzałki przypominają wskazówki zegara. „r” na godzinie 12, „R-z” na godzinie 16. Na szarym okręgu znajduje się zielone koło (mniej więcej na godzinie 2). Od zielonego koła odchodzą dwie strzałki. Pierwsza strzałka – podpisana „F”: szara, krótsza, sięgająca nieco za brzeg niebieskiego koła, zwrócona do środka koła. Druga strzałka – podpisana „v”: zielona, nieco dłuższa od szarej, skierowana na zewnątrz do prawego dolnego rogu. Razem z szarą strzałką tworzy kąt prosty. Napisy w prawej części ilustracji, od góry: „F – siła grawitacji, która jest siłą dośrodkową”; „r – promień orbity satelity o masie m”; „R-z – promień Ziemi, której masa wynosi M-z”.

Siła grawitacji jest siłą dośrodkową:

Po prostych przekształceniach (wykonaj je!) otrzymamy $v=\sqrt{\frac{G{M}_{\mathrm{Z}}}{r}}$, co oznacza, że im dalej od powierzchni Ziemi krąży satelita, tym wartość jego prędkości orbitalnejprędkość orbitalnaprędkości orbitalnej jest mniejsza.

Do wyprowadzenia powyższych zależności skorzystaliśmy jedynie z takiej cechy wektora siły, jaką jest wartość. Oczywiście, ten wektor ma również kierunek – przechodzi on przez środek Ziemi. Wynika z tego bardzo ważny wniosek – płaszczyzna orbity każdego satelity planety przechodzi przez jej środek.
Zapewne spotykacie się czasem z pojęciem I prędkości kosmicznejpierwsza prędkość kosmicznaI prędkości kosmicznej. Jest to wartość prędkości, którą należy nadać ciału (stycznie do powierzchni Ziemi), aby mogło ono krążyć po orbicie kołowej o promieniu równym promieniowi Ziemi.

Marzenia mają to do siebie, że się spełniają: 4 października 1957 r. świat dowiedział się o tym, że pierwszy sztuczny satelita Ziemi – SPUTNIK 1 – został wystrzelony przez ZSRR i krążył wokół Ziemi po orbicie eliptycznej; perygeum orbity znajdowało się na wysokości $214 \mathrm{km},$ a apogeum – $938 \mathrm{km}$ nad powierzchnią Ziemi. Czas jednego okrążenia satelity wokół naszej planety wynosił ok. $96 \mathrm{minut}$.

RHoFrGx50ATBz1

Zdjęcie przedstawia pierwszego sztucznego satelitę Ziemi – SPUTNIK 1. Tło ciemne, prawie czarne. Na zdjęciu widoczne urządzenie przypominające dużą, srebrną kulę z trzema cienkimi „nóżkami” odchodzącymi od niej. Powierzchnia błyszcząca.

Średnica kuli widocznej na zdjęciu wynosi ok. $59 \mathrm{cm}$, a masa – nieco ponad $80 \mathrm{kg}$. Satelita ten nadawał sygnały i przesyłał informacje o ciśnieniu i temperaturze, jakie panowały w jego wnętrzu i na zewnątrz urządzenia.

Od czego zależy okres obiegu satelity wokół Ziemi? Możemy to łatwo pokazać – wystarczy wiedzieć, że wartość prędkości, z jaką porusza się satelita (przyjmijmy orbitę kołową), jest równa $v=\frac{\text{2}\pi r}{T}$ i $v=\sqrt{\frac{G{M}_{\mathrm{Z}}}{r}}$. Jeśli połączymy obie zależności (wykonaj takie przekształcenia samodzielnie), otrzymamy zależność:

Większość z was zauwazyła, że ten wzór jest podobny do III prawa Keplera. Jeżeli zamiast Ziemi (i masy Ziemi $M_{\mathrm{Z}}$) wstawimy Słońce, wokół którego krążą planety, i jego masę $M_{\mathrm{S}},$to otrzymamy:

gdzie:
a – średnia odległość planety od Słońca (połową wielkiej osi elipsy).
Jeśli zapiszemy tę zależność dla dwóch planet krążących dookoła Słońca, zauważymy, że prawdziwe jest równanie:

Przypomnijmy, że wskaźnik 1 dotyczy połowy wielkiej osi (średniej odległości) i okresu obiegu jednej planety po swojej orbicie, a wskaźnik 2 – drugiej planety. Nie powinno to dziwić – przecież prawa Keplera wynikają z właściwości sił grawitacji.

Możemy teraz wyznaczyć okres obiegu satelity wokół np. Ziemi. Wyżej pokazaliśmy już, że:

Przekształcenia powyższego wzoru prowadzą do wykazania zależności okresu ruchu obiegowego satelity od promienia jego orbity:

Jest to nieco inna postać III prawa Keplera. Jeśli poobserwujemy krążące satelity, możemy zacząć się zastanawiać, czy możliwe byłoby, aby taki satelita „wisiał” stale nad jednym punktem na powierzchni Ziemi. Gdyby satelita był nieruchomy, to oczywiście musiałby spaść. Ale gdyby krążył dookoła Ziemi, wykonując jeden obieg w czasie 24 godzin (dokładnie 23 godzin, 56 minut i 4 sekund – bo tyle trwa jeden obrót Ziemi dookoła własnej osi), to wcale nie musiałby spadać.
Tak właśnie funkcjonują satelity geostacjonarne. Mają one okres obiegu taki jak ten podany wyżej i krążą wraz z obracającą się Ziemią.

Dlaczego satelity tego typu są ważne? Większość z nich to satelity telekomunikacyjne, czyli takie, z których są nadawane programy telewizyjne bądź transmitowane rozmowy telefoniczne. Wystarczy raz dokładnie ustawić antenę odbiorczą i przekazanie sygnału jest zawsze zapewnione.

2. Jak wyznaczyć masę Marsa?

Prędkość, z jaką ciało porusza się po orbicie wokół jakiegoś innego większego ciała, może być obliczona z zależności $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$. Wyobraź sobie jednak, że znamy okres obiegu naturalnego satelity, np. Fobosa, wokół macierzystej planety – Marsa. Znamy także odległość tego księżyca od środka planety. Możemy zatem obliczyć wartość prędkości, a następnie masę planety.

R1Lk0hYDM5jS61

Zdjęcie przedstawia jeden z dwóch księżyców Marsa – Fobos. Tło czarne. Kształt księżyca zbliżony do kuli, powierzchnia nieregularna. Widoczne małe, okrągłe zagłębienia – kratery. Kolor szarobrązowy, matowy.

Ta metoda stosowana jest wszędzie tam, gdzie znamy parametry orbity małego księżyca krążącego wokół planety. W ten sam sposób można wyznaczyć masę Słońca lub innej gwiazdy, jeśli tylko poznamy parametry ruchu planety krążącej wokół tej gwiazdy.

3. Start rakiety kosmicznej

Powyższe wartości prędkości orbitalnej zależą od promienia orbity, po jakiej ma krążyć satelita. Satelita niskopułapowy, czyli krążący na niskich orbitach, tj. bliskich powierzchni Ziemi, ma prędkość ok. $7\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$. W jaki sposób uzyskać takie prędkości?

Podczas startu rakiety odpowiednią siłę ciągu mogą w tej chwili zapewnić tylko silniki na paliwo chemiczne. Produkty spalania tego paliwa uzyskują duże prędkości i w efekcie (na zasadzie odrzutu) zwiększa się prędkość rakiety. Takie paliwo jednak nie może rozpędzić rakiety do większych prędkości niż ok. $3\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$.

Druga kwestia to stosunek masy użytecznej ładunku (np. satelity telekomunikacyjnego) do masy całej rakiety, czyli silników, zbiorników z paliwem i obudowy. Chodzi o to, aby silniki nie rozpędzały bezustannie całej ogromnej rakiety. To właśnie CiołkowskiKonstanty CiołkowskiCiołkowski był autorem pomysłu budowy rakiety wielostopniowej. Taka rakieta składa się zazwyczaj z trzech członów. Pierwszy człon rozpędza rakietę do $3\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ i po wyczerpaniu paliwa zostaje odczepiony. Włącza się wtedy drugi człon, który zwiększa prędkość o dalsze $3\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ – staje się to łatwiejsze, ponieważ masa rakiety jest mniejsza. Na końcu włączany jest trzeci człon.

R1X5DecmIfmBX1

Film przedstawia start rakiety Orion. Pierwsza scena: rakieta znajduje się na Ziemi. Ujęcie kręcone z odległości ok. 200 metrów. Komentator odlicza w języku angielskim od 8 w dół. Gdy dochodzi do 1 rakieta startuje. Widoczne płomienie wychodzące spod rakiety. Rakieta startuje. W kolejnej scenie pokazano startującą rakietę z odległości ok. kilometra. Rakieta unosi się pionowo w górę, od rakiety odchodzą trzy smugi ognia. W następnej scenie ukazano obraz rejestrowany przez kamerę znajdującą się na zewnętrznej części rakiety. Rakieta coraz bardziej oddala się od Ziemi, znajduje się nad chmurami. Po pewnym czasie znajduje się na tyle wysoko, że można zobaczyć kulistość Ziemi. Staje się coraz ciemniej. Jedynie Ziemia jest oświetlona. Chwilę po czwartej minucie filmu od rakiety odrywa się jeden z elementów, który od razie staje w płomieniach.

Film przedstawia start rakiety Orion. Pierwsza scena: rakieta znajduje się na Ziemi. Ujęcie kręcone z odległości ok. 200 metrów. Komentator odlicza w języku angielskim od 8 w dół. Gdy dochodzi do 1 rakieta startuje. Widoczne płomienie wychodzące spod rakiety. Rakieta startuje. W kolejnej scenie pokazano startującą rakietę z odległości ok. kilometra. Rakieta unosi się pionowo w górę, od rakiety odchodzą trzy smugi ognia. W następnej scenie ukazano obraz rejestrowany przez kamerę znajdującą się na zewnętrznej części rakiety. Rakieta coraz bardziej oddala się od Ziemi, znajduje się nad chmurami. Po pewnym czasie znajduje się na tyle wysoko, że można zobaczyć kulistość Ziemi. Staje się coraz ciemniej. Jedynie Ziemia jest oświetlona. Chwilę po czwartej minucie filmu od rakiety odrywa się jeden z elementów, który od razie staje w płomieniach.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Film przedstawia start rakiety Orion. Pierwsza scena: rakieta znajduje się na Ziemi. Ujęcie kręcone z odległości ok. 200 metrów. Komentator odlicza w języku angielskim od 8 w dół. Gdy dochodzi do 1 rakieta startuje. Widoczne płomienie wychodzące spod rakiety. Rakieta startuje. W kolejnej scenie pokazano startującą rakietę z odległości ok. kilometra. Rakieta unosi się pionowo w górę, od rakiety odchodzą trzy smugi ognia. W następnej scenie ukazano obraz rejestrowany przez kamerę znajdującą się na zewnętrznej części rakiety. Rakieta coraz bardziej oddala się od Ziemi, znajduje się nad chmurami. Po pewnym czasie znajduje się na tyle wysoko, że można zobaczyć kulistość Ziemi. Staje się coraz ciemniej. Jedynie Ziemia jest oświetlona. Chwilę po czwartej minucie filmu od rakiety odrywa się jeden z elementów, który od razie staje w płomieniach.

Kiedy obserwujemy start rakiety z kosmodromu, to widzimy, że podnosi się ona bardzo powoli, z niewielkim przyspieszeniem. W ciągu następnych minut jej przyspieszenie jednak wzrasta, mimo że ilość spalanego paliwa się nie zmienia i siła ciągu jest stała. Pod koniec filmu pokazane jest odłączenie członow startowych rakiety.

Pytanie: daczego przyspieszenie rośnie, chociaż cały czas działa pierwszy człon?

Startująca rakieta na początku porusza się pionowo w górę. Chodzi o to, żeby jak najszybciej opuścić obszar gęstej atmosfery i zmniejszyć siłę oporu. W końcowej fazie lotu następuje zmiana kierunku ruchu, tak aby uzyskać kierunek styczny do przyszłej orbity docelowej.

Podsumowanie

• Na planetę krążącą wokół Słońca lub innej gwiazdy działa siła grawitacji, która jest siłą dośrodkową.

• Prędkość, z jaką planeta, księżyc planety lub sztuczny satelita Ziemi się porusza po orbicie o promieniu $r$ wokół ciała centralnego, wyraża się wzorem:
  $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

• Masa $M$ to masa ciała centralnego, wokół którego krąży drugie ciało, które jest mniejsze od ciała centralnego.

• Znajomość okresu obiegu satelity wokół ciała centralnego i odległości satelity tego ciała pozwala wyznaczyć masę ciała centralnego: Słońca, planety czy nawet planetoidy (wiele z nich ma księżyce mniejsze od siebie).

• Obecnie tylko rakieta wielostopniowa osiąga odpowiednie prędkości, które pozwalają umieścić statek kosmiczny na orbicie lub polecieć na Księżyc.

Słowniczek

Biogram

Konstanty Ciołkowski

RPdlKca3umOI71

Zdjęcie przedstawia Konstantego Ciołkowskiego. Mężczyzna w wieku ok. 70 lat. Łysiejący, czoło wysokie, włosy zaczesane do tyłu, siwe. Widoczne zmarszczki na czole oraz policzkach. Nos proporcjonalny, z lekkim garbek. Brwi bardzo delikatne. Mężczyzna nosi binokle. Wąsy i broda – siwe. Broda jedynie na podbródku, policzki ogolone. Mężczyzna ubrany w biały fartuch lub koszulę zapiętą pod szyję.

Konstanty Ciołkowski

17.09.1857–19.09.1935

Syn polskiego zesłańca, uważany na pioniera astronautyki. Przewidział podbój przestrzeni kosmicznej przez człowieka – stacje załogowe, pojazdy kosmiczne (rakiety) – i jej kolonizację w przyszłości. Jako pierwszy opracował naukowe podstawy lotu rakiet (teorię ruchu rakiet wielostopniowych) o zmiennej masie. Zbudował pierwszy na świecie tunel aerodynamiczny, w którym przeprowadzał badania oporu aerodynamicznego ciał. Podał naukowe podstawy pracy silnika na paliwo ciekłe. Jest autorem powiedzenia: Ziemia jest kolebką ludzkości, ale nie można ciągle żyć w kolebce.

Zadanie podsumowujące moduł