Prawo powszechnego ciążenia
Od czasów starożytnych zadawano sobie pytanie, jak poruszają się planety. Zanim Kepler sformułował prawa opisujące ruch planet, uważano, że muszą się one poruszać po okręgach. Kepler i jego następcy udowodnili, że jest to ruch po elipsie. Jednak dopiero Robert Hooke, a następnie Isaac Newton zadali jeszcze ważniejsze pytanie: jakie zasady rządzą ruchem planet krążących wokół wspólnego centrum, którym jest Słońce?
wskazać siłę dośrodkową odpowiedzialną za ruch ciała po okręgu;
obliczać wartość siły dośrodkowej;
wskazywać źródła sił dośrodkowych.
podawać treść prawa powszechnego ciążenia i wymieniać wielkości, od których zależy siła grawitacji;
opisywać zależność wartości siły grawitacji od masy przyciągających się ciał i odległości między nimi;
opisywać sily grawitacji jako siły wzajemnego oddziaływania ciał;
wykorzystywać wiedzę o sile grawitacji do opisu ruchu ciał niebieskich oraz sztucznych satelitów Ziemi.
Prawo powszechnego ciążenia
Dlaczego planety krążą dookoła Słońca? Arystoteles i Kopernik uważali, że jest to ruch naturalny. Kepler i Kartezjusz sądzili, że musi to być spowodowane jakimś czynnikiem, ale ich teorie były bardzo dalekie od obecnego poglądu na tę sprawę. Pierwszym uczonym, który zwrócił uwagę, że planety muszą być przyciągane przez ciało centralne, był Robert HookeRobert Hooke. Pisał on, że:
Wszystkie bez wyjątku ciała niebieskie są obdarzone właściwością ciążenia, czyli przyciągania do swych środków, i dzięki temu przyciągają nie tylko swe własne części, uniemożliwiając im odłączanie się (…), lecz także przyciągają wszystkie inne ciała niebieskie znajdujące się w sferze ich działania.
Pytanie było następujące: jak ta siła przyciągająca zależy od odległości między Słońcem a planetą? Pierwszym uczonym, który twierdził, że ta siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca, był przypuszczalnie Christiaan HuygensChristiaan Huygens (Holender). Do takiego samego wniosku doszedł Edmond HalleyEdmond Halley (którego nazwiskiem nazwano później słynną kometę). Obaj uczeni nie mieli jednak wystarczającego aparatu matematycznego. Bez niego nie mogli oni uzasadnić takiego związku ani wykazać, że zależność siły od odległości jest przyczyną eliptycznego kształtu orbit planet. Taki aparat matematyczny zbudował Isaac NewtonIsaac Newton. Prawdopodobnie właśnie dlatego uważał on, że to jemu należą się wszystkie zasługi za sformułowanie prawa grawitacji.
Rozważania o przyczynie ruchu planet wokół Słońca nie prowadziły jednak do sformułowania prawa powszechnego ciążenia. Podobno dopiero obserwacja spadającego jabłka nasunęła Newtonowi nastepującą myśl: ten sam czynnik, który sprawia, że jabłko spada na ziemię, jest również przyczyną ruchu Księżyca wokół Ziemi. Oba zjawiska powoduje bowiem ta sama siła.
Newton stwierdził, że ciała obdarzone masą działają wzajemnie na siebie. Innymi słowy: we Wszechświecie wszystkie ciała się przyciągają. Siłę tę nazywamy siłą grawitacji.
– oddziaływanie ciała posiadającego masę na inne ciało obdarzone masą. Siła grawitacji jest siłą przyciągającą.
Rozważania Newtona dotyczące siły powodującej krążenie planet dookoła Słońca doprowadziły do sformułowania następującego prawa:
Dwie punktowe lub kuliste masy przyciągają się siłami wprost proporcjonalnymi do iloczynu ich mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.
Zgodnie z III zasadą dynamiki siły przyciągania są wzajemne: jeżeli Słońce przyciąga Ziemię pewną siłą, to Ziemia przyciąga Słońce siłą o takiej samej wartości i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie.
Jeśli dwa ciała o masach i są oddalone od siebie o odległość , to wartość siły grawitacji obliczamy ze wzoru:
gdzie to stała grawitacji równa .
Prawo powszechnego ciążenia jest spełnione nie tylko dla mas punktowych, lecz także dla ciał o różnych rozmiarach. Siła grawitacji jest wówczas sumą sił występujących między punktami materialnymi, które tworzą dane ciało.
Na Marsie odważnik o masie byłby przyciągany z siłą ok. . 4 lipca 1997 r. na tej planecie wylądowała sonda kosmiczna Pathfinder o masie całkowitej równej ok. . Oblicz wartość siły przyciągania wzajemnego sondy i Marsa.
Siła grawitacji pełni funkcję siły dośrodkowej w ruchu planet wokół Słońca. Ziemia jest przyciągana przez Słońce, Księżyc oraz wszystkie planety Układu Słonecznego. Na podstawie III zasady dynamiki Newtona wiadomo, że wszystkie oddziaływania są wzajemne. Skoro Słońce przyciąga Ziemię siłą grawitacji, to także Ziemia przyciąga Słońce.
Porównajmy siłę dośrodkową, jaka działa na każdy masy Księżyca, z siłą grawitacji działającą na masy dowolnego ciała na powierzchni Ziemi.
Ciężar ciała o masie na powierzchni Ziemi wynosi ok. .
Siłę dośrodkową obliczamy ze wzoru:
Obliczmy najpierw wartość prędkości, z jaką Księżyc porusza się po orbicie okołoziemskiej. W tym celu skorzystamy ze wzoru: , gdzie jest średnią odległością od Księżyca do Ziemi wynoszącą . to czas pełnego obiegu Księżyca wokół Ziemi (miesiąc gwiazdowy), wynoszący . Doba z kolei ma ( po ).
Podstawiamy odpowiednie wartości. Z obliczeń wynika, że szukana prędkość wynosi ok. (czyli ok. ).
Na ciało o masie krążące po takiej orbicie działa siła dośrodkowa:
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy . Na ciało o masie znajdujące się na powierzchni Ziemi działa siła . Jeśli podzielimy jedną wartość przez drugą, otrzymamy:
.
Działająca siła jest razy większa na powierzchni Ziemi niż na orbicie Księżyca. Ile razy większa jest odległość od Księżyca od środka Ziemi w porównaniu z odległością od ciała leżącego na powierzchni Ziemi do jej środka? Pierwsza odległość to ok. , natomiast druga (średni promień Ziemi) to .
Stosunek obu odległości to ok. , stosunek sił wynosi zaś . Wniosek jest oczywisty – jeśli odległość jest razy większa, to siła grawitacji jest razy mniejsza.
Tak rozumował podobno sam Newton.
Oblicz wartość siły przyciągania grawitacyjnego Ziemi przez Słońce. Potrzebne dane odczytaj z tablic fizycznych.
Analiza zadania:
Wszystkie dane potrzebne do obliczenia zadania (masa Ziemi i Słońca, odległość między nimi, stała grawitacji) należy odczytać z tablic fizycznych lub znaleźć w internecie. Następnie trzeba skorzystać z zależności siły grawitacji od mas obu ciał i odległości między nimi.
Dane:
Szukane:
Wzór:
Obliczenia:
Odpowiedź:
Wartość siły przyciągania grawitacyjnego Ziemi przez Słońce wynosi . Jest ona równa wartości siły, jaką Ziemia przyciąga Słońce.
Działanie grawitacyjne każdego ciała (np. Ziemi) rozciąga się do nieskończoności. Oczywiście, większą wartość zawsze będzie miało przyciąganie ciał znajdujących się bliżej danego obiektu – np. księżyce Jowisza są silniej przyciągane przez Jowisza niż przez Ziemię.
Oblicz wartość siły, jaką Ziemia przyciąga jabłko o masie 200 g.
Potrzebne dane odczytaj z tablic fizycznych.
Analiza zadania:
Masę i promień Ziemi musimy odczytać z tablic fizycznych lub znaleźć w internecie. Masa jabłka jest podana w zadaniu, należy jednak wyrazić ją w kilogramach, aby ujednolicić jednostki. Dane podstawimy do wzoru na siłę grawitacji.
Dane:
Szukane:
Wzór:
Obliczenia:
Odpowiedź:
Ziemia przyciąga jabłko z siłą o wartości Jabłko przyciąga Ziemię z siłą o tej samej wartości, czyli .
Korzystając z prawa powszechnego ciążenia, uzupełnij tekst przeciągając sformułowania w ramkach w odpowiednie miejsce.
250 N, czterokrotnie mniejszą, 50 N, 100 N, taką samą, czterokrotnie większą, 400 N, 2000 N, dwukrotnie mniejszą, dwukrotnie większą
Astronauta wraz ze skafandrem jest przyciągany na powierzchni Ziemi siłą o wartości 1000 N. Na powierzchni planety o masie 2 razy większej od masy Ziemi i tym samym promieniu byłby przyciągany z siłą .............................................. , czyli siłą o wartości ............................................... Na planecie o promieniu większym 2 razy od promienia Ziemi i tej samej masie (co masa Ziemi) byłby przyciągany z siłą .............................................. czyli o wartości ...............................................
Podsumowanie
Dwa dowolne ciała przyciągają się wzajemnie.
Wartość siły grawitacji jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości.
Wartość siły grawitacji można obliczyć ze wzoru:
gdzie:
– stała grawitacji;
, – masy ciał;
– odległość między środkami mas ciał.Siła grawitacji pełni funkcję siły dośrodkowej w ruchu planet wokół Słońca.
Poszukaj danych dotyczących mas i promieni planet skalistych Układu Słonecznego, tj. Merkurego, Wenus i Marsa.
Skorzystaj z prawa powszechnego ciążenia i oblicz wartość sił, jakie przyciągałyby cię na każdej z tych planet.
Porównaj uzyskane wartości i wyjaśnij, skąd biorą się różnice między nimi.
Oszacuj lub oblicz masę, jaką musiałby mieć człowiek na powierzchni każdej z tych planet, aby wartość siły grawitacji była taka jak na powierzchni Ziemi.
Od czasu do czasu w mediach pojawiają się wiadomości o grożącym nam końcu świata. Niektórzy twierdzą, że ten koniec nastapi, kiedy planety Układu Słonecznego ustawia się w jednej linii po tej samej stronie Słońca.
Oblicz siłę przyciągania Słońca przez największą planetę – Jowisza.
Oblicz, o ile wzrośnie wartość tej siły, gdy pozostałe planety ustawią się w jednej linii z Jowiszem (po tej samej stronie Słońca).
Jakie wnioski wyciagasz z porównania wartości obliczonych sił w obu sytuacjach?
Masy i odległości poszczególnych planet od Słońca odszukaj w tablicach fizycznych.
Biogramy
Edmond Halley
Edmond Halley był człowiekiem, który wywarł wielki wpływ na rozwój nauki. Interesował się astronomią, fizyką i matematyką. Jako astronom odkrył eliptyczne orbity komet i za pomocą przyrządów astronomicznych zweryfikował obliczenia położenia gwiazd, dokonane przez Jana Heweliusza z Gdańska. Sfinansował wydruk najsłynniejszego dzieła Newtona „Philosophiae naturalis principia mathematica” (1687 r.), w którym Newton przedstawił podstawowe prawa rządzące mechaniką klasyczną, w tym również prawo powszechnego ciążenia. Halley jako pierwszy zastosował rtęć w termometrach. Przedstawił również sposób obliczania składek dla pierwszych towarzystw ubezpieczeniowych – jako przykładowe miasto podał Wrocław.
Robert Hooke
Robert Hooke był człowiekiem wszechstronnie utalentowanym – odkrył gwiazdy podwójne i wykonał szkice powierzchni Marsa, jednak w historii nauki zapisał się głównie jako autor prawa określającego zależność odkształcenia ciała od przyłożonych sił zewnętrznych (prawo Hooke’a). Za pomocą ulepszonego przez siebie mikroskopu odkrył istnienie komórek roślinnych. Zbudował pierwszy teleskop reflektorowy, deszczomierz i poziomnicę.
Christiaan Huygens
Christiaan Huygens zdobył sławę jako twórca i zwolennik falowej teorii światła. Zajmował się również matematyką i mechaniką (teoria ruchu wahadła matematycznego). Prowadził obserwacje księżyców Saturna za pomocą skonstruowanego przez siebie teleskopu. Jest autorem jednego z pierwszych podręczników do rachunku prawdopodobieństwa.
Isaac Newton
Newton urodził się w ubogiej rodzinie farmera. Po ukończeniu szkoły naukę kontynuował w Trinity College, gdzie zdobył tytuł magistra (1668 r.). Były to czasy, gdy Cambridge nękały epidemie. Newton wyjechał na wieś i właśnie tam narodziły się jego nowe idee. Na lata 1665–66 przypada złoty okres osiągnięć Newtona. Uczony opracował wtedy trzy podstawowe prawa mechaniki (nazywane zasadami dynamiki), podstawy rachunku różniczkowego i całkowego (niezależnie od Leibnitza). Dalsze prace prowadził, korespondując z Robertem Hookiem. Ta wymiana doświadczeń została gwałtownie przerwana, gdy Hooke stwierdził, że siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Newton był odmiennego zdania i dlatego uciął wszelkie kontakty. Całość prac Newtona została opublikowana w dziele „Philosophiae naturallis principia mathematica” (Matematyczne podstawy filozofii naturalnej) w 1687 r. W trakcie studiów wykładowca Newtona dostrzegł jego zdolności, przekazał mu katedrę fizyki i matematyki na Uniwersytecie Cambridge. Posadę tę Newton utrzymał przez trzydzieści dwa lata. Najpierw wykładał optykę; wyjaśnił zjawisko rozszczepienia światła białego na barwy składowe, co opisał w „New Theory about Light and Colours” (Nowa teoria światła i kolorów). W 1672 r. został wybrany na członka Royal Society, a później pełnił funkcję przewodniczącego tego towarzystwa. Został także członkiem Paryskiej Akademii Nauk. Więcej informacji na temat tego wielkiego fizyka i matematyka znajdziesz w książce Franka E. Manuela: „Portret Izaaka Newtona”.
Zadania podsumowujące moduł
Przeczytaj uważnie każde zdanie i oceń, czy jest prawdziwe, czy fałszywe.
| Prawda | Fałsz | |
| Na planecie o masie 3 razy większej niż Ziemia i takim samym promieniu będziesz przyciągany siłą o wartości dziewięciokrotnie większej. | □ | □ |
| Odważnik o masie 1 kg na pewnej planecie jest przyciągany siłą o wartości 2,5 N, zatem sonda o masie 200 kg będzie przyciągana siłą o wartości 500 N. | □ | □ |
| Gdyby Ziemia miała masę 2-krotnie mniejszą, to byłbyś wówczas przyciągany z siłą o wartości 4 razy większą. | □ | □ |
| Siła grawitacji jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas ciał oddziałujących między sobą. | □ | □ |
| Siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między środkami ciał oddziałujących między sobą. | □ | □ |
| Gdybyś znalazł się w odległości równej trzem promieniom Ziemi od jej powierzchni, to siła grawitacji działająca na Ciebie byłaby dziewięciokrotnie mniejsza. | □ | □ |
Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania przygotuj kartkę papieru i przybory do pisania. Może przydać się również kalkulator.
Na Ziemi sonda kosmiczna jest przyciągana siłą o wartości 3,6 kN. Gdyby ta sonda wylądowała na planecie o masie 2 razy większej i 3 razy większym promieniu, to byłaby przyciągana siłą o wartości:
- 800 N.
- 0,8 kN.
- 8200 N.
- 8,20 kN.
- 0,08 kN.
- 0,4 kN.
- 400 N.
- 820 N.