Jak to się dzieje, że planety krążą wokół Słońca, a księżyce Jowisza – wokół niego? Co mają wspólnego ruch planet i ruch samochodu na zakręcie? Dzięki tej lekcji poznasz przyczynę zmiany kierunku prędkości i cechy ruchu po okręgu.

R1O3rFBUgCYXv1

Zdjęcie przedstawia oglądanego z boku rowerzystę wykonującego ciasny skręt w lewo na górskiej drodze. Zakręt jest ostry, w kadrze znajdują się obydwa jego końce. Rozmyte i poruszone wszystkie elementy zdjęcia poza rowerzystą podkreślają wrażenie pędu. — Co ma wspólnego rower na zakręcie z planetami krążącymi wokół Słońca? Mimo drastycznej różnicy rozmiarów i masy, ich ruchem rządzą te same prawa fizyki

Już potrafisz

podawać znaczenie pojęć: „prędkości liniowa”, „okres obiegu” i „częstotliwość obiegu”;
obliczać wartości tych wielkości;
opisywać ruch jednostajny po okręgu jako ruch, w którym prędkość jest stała, torem jest okrąg, a kierunek prędkości zmienia się cały czas;
podawać przyczyny ruchu jednostajnego i zmiennego.

Nauczysz się

wyjaśniać ruch po okręgu działaniem siły dośrodkowej;
wskazywać źródła siły dośrodkowej w odniesieniu do konkretnych ruchów po okręgu;
obliczać wartość siły dośrodkowej.

iRTncIzAJz_d5e176

1. Siła dośrodkowa

Znasz już zasady (prawa) dynamiki. Pierwsza z nich mówi, że aby zmienić stan ruchu ciała, czyli zwiększyć lub zmniejszyć jego prędkość albo zmienić jej kierunek lub zwrot, musimy działać pewną siłą. Aby zwiększyć prędkość ruchu ciała, trzeba działać siłą o takim samym kierunku i zwrocie, jakie ma prędkość, natomiast aby zmniejszyć wartość prędkości – siła powinna mieć zwrot przeciwny do zwrotu prędkości ciała.

Co powoduje, że ciało poruszające się dotychczas po prostej zaczyna zakręcać i poruszać się po okręgu? Domyślasz się pewnie, że musi działać jakaś siła. Jakie powinna mieć ona kierunek, zwrot i wartość?

Rozpatrujemy ruch jednostajny po okręgu, a zatem wartość prędkości musi być stała. Ma następować jedynie zmiana kierunku prędkości. Oznacza to, że siła, o której myślimy, musi być prostopadła do wektora prędkości ciała i zwrócona do środka okręgu. Taką siłę będziemy nazywać zatem siłą dośrodkową. Od czego może zależeć jej wartość?

Pomińmy kwestie matematyczne związane z wyprowadzeniem wzoru. Zauważymy tylko, że im większa będzie prędkość ciała poruszającego się po linii prostej, tym większą siłę trzeba będzie przyłożyć, aby zmienić kierunek jego ruchu. Logiczne będzie także stwierdzenie, że im większa masa ciała, które ma poruszać się po okręgu, tym większa siła musi na nie działać (II zasada dynamiki). Okrąg, po którym ma się poruszać ciało, będzie miał jakiś promień. Jeżeli działająca siła będzie niewielka, to niewielkie okaże się również odchylenie ciała od dotychczasowego toru – będzie się ono poruszało po okręgu o dużym promieniu. Aby uzyskać mały promień okręgu, musimy działać odpowiednio większą siłą dośrodkową.

Rozważania matematyczne prowadzą do następującej zależności siły dośrodkowej ( $F$ ) od masy ( $m$ ) i prędkości ( $v$ ) ciała oraz promienia okręgu ( $r$ ):

F = \frac{m \cdot v^{2}}{r}

Zapamiętaj!

Siła dośrodkowa jest odpowiedzialna za to, że ciało porusza się po okręgu. Jej wartość obliczamy za pomocą wzoru:

F = \frac{m \cdot v^{2}}{r}

gdzie:
$m [kg]$ – masa poruszającego się ciała;
$v [\frac{m}{s}]$ – prędkość ciała;
$r [m]$ – promień okręgu, który zakreśla poruszające się ciało.

A co jest źródłem tej siły?

Podczas rzutu młotem (tak naprawdę jest to kula, do której przymocowano stalową linkę zakończoną uchwytem) siłę dośrodkową za pośrednictwem linki wywiera zawodnik.

ROLdHtNBGt21q1

Zdjęcie przedstawiające zawodnika wykonującego rzut młotem podczas zawodów lekkoatletycznych. — Źródłem siły dośrodkowej podczas rzutu młotem jest zawodnik

Zawodnik rozpędza młot, wykonując kilka obrotów, a następnie puszcza linkę. Na młot przestaje wówczas działać siła dośrodkowa – obserwujemy, jak daleko on poleci.

Wyobraźmy sobie szklankę stojącą na obracającej się płycie (np. gramofonowej) albo na szklanym talerzu w kuchence mikrofalowej. Jeżeli szklankę postawimy w pewnej odległości od osi obrotu, to naczynie będzie się poruszało po okręgu. Co powoduje, że szklanka porusza się takim ruchem? Czy poruszałaby się tak, gdyby powierzchnia talerza była idealnie gładka? Jaka siła mogłaby wówczas spowodować ruch szklanki? Jedyną siłą, o jakiej może być tu mowa, jest siła tarcia pomiędzy płytą (talerzem) a szklanką (pomijamy tu możliwość przyklejania szklanki do płyty).

Co się dzieje podczas pokonywania zakrętu przez samochód? Powiecie: po prostu kręcimy kierownicą i przednie koła ustawiają się w odpowiedniej pozycji. Czy na pewno? A gdyby na zakręcie był lód? Czy skręcenie kół wystarczyłoby do zmiany kierunku jazdy? Chyba wszyscy są przekonani, że nie. Podobnie jak w powyższym przykładzie, siłą dośrodkowa jest znowu siła tarcia.

O sile grawitacji, która jest siła dośrodkową, będziemy mówić na następnych lekcjach. A jakie jeszcze inne ruchy po okręgu możecie wskazać?

Polecenie 1

Wybierzcie kilka rodzajów ruchu po okręgu, przeanalizujcie je i wskażcie, co jest siłą dośrodkową w każdym przykładzie.

Analiza różnych rodzajów ruchu po okręgu wskazuje, że siłą dośrodkową może być jedna, bezpośrednio działająca siła lub (częściej) wypadkowa kilku sił działających na ciało.

Przykład 1

Samochód o masie $2 t$ porusza się ze stałą prędkością $72 \frac{km}{h}$ . Oblicz wartość siły dośrodkowej działającej na samochód, jeśli znajduje się on na zakręcie będącym łukiem okręgu o promieniu $25 m$ .

Analiza zadania:
W zadaniu podana jest informacja o masie ciała, jego prędkości i promieniu okręgu, po którym się ono porusza. Są to wystarczające dane, aby móc wyznaczyć wartość siły dośrodkowej. Należy jednak zwrócić uwagę, że prędkość została podana w km/h, a więc wymaga przeliczenia na m/s.

Dane:
$m = 2 t$

$1 t = 1 000 kg$

$v = 72 \frac{km}{h}$

$r = 25 m$

Szukane:
$F = ?$

Wzór:
$F = \frac{m v^{2}}{r}$
Obliczenia:
$v = 72 \frac{km}{h} = 72 \cdot \frac{1 000 m}{3 600 s} = 20 \frac{m}{s}$

$F = \frac{2 000 kg \cdot {(20 \frac{m}{s})}^{2}}{25 m} = 80 \cdot 400 N = 32 000 N = 32 kN$

Odpowiedź:
Na samochód działa sila dośrodkowa $32 kN$ .

Przykład 2

Podczas zawodów lekkoatletycznych odbywa się konkurencja rzutu młotem. Do linki o długości $1,1 m$ przymocowana jest kula o masie $4 kg$ . Zawodniczka wprawia kulę w ruch jednostajny po okręgu, tak że na kulę działa siła dośrodkowa o wartości $1,6 kN .$ Oblicz wartośc prędkości liniowej, z jaką porusza się kula.
Analiza zadania:
W zadaniu podana jest informacja o wartości siły dośrodkowej, którą obliczamy ze wzoru $F = \frac{m v^{2}}{r}$ . Nie znamy wartości prędkości liniowej ciała, musimy więc ją obliczyć na podstawie danych zawartych w zadaniu.

Dane:
$r = 1,1 m$

$m = 4 kg$

$F = 1,6 kN = 1 600 N$

Szukane:
$v = ?$

Wzory:
$F = \frac{m v^{2}}{r} / \cdot r$
$F \cdot r = m v^{2} / : m$

$v^{2} = \frac{F \cdot r}{m}$

$v = \sqrt{\frac{F \cdot r}{m}}$

Obliczenia:

$v = \sqrt{\frac{1 600 N \cdot 1,1 m}{4 kg}} = \sqrt{440 \frac{m^{2}}{s^{2}}} ≅ 21 \frac{m}{s}$

Odpowiedź:
Kula porusza się z prędkością o wartości równej w przybliżeniu $21 \frac{m}{s}$ .

Przykład 3

Dziecko o masie $20 kg$ siedzi na krzesełku karuzeli znajdującym się w odległości $5 m$ od środka obrotu. Oblicz wartość siły dośrodkowej działającej na dziecko, gdy krzesełko porusza się z prędkością $3 \frac{m}{s}$ .
Analiza zadania:
Korzystamy z zależności $F = \frac{m v^{2}}{r}$ , aby wykorzystać informacje zawarte w zadaniu.

Dane:
$m = 20 kg$
$r = 5 m$
$v = 3 \frac{m}{s}$

Szukane:
$F = ?$

Obliczenia:
$F = \frac{m v^{2}}{r} = \frac{20 kg \cdot {(3 \frac{m}{s})}^{2}}{5 m} = 36 N$

Odpowiedź:
Na dziecko siedzące na krzesełku kręcącej się karuzeli działa siła dośrodkowa o wartości $36 N$ .

Polecenie 2

Na samochód poruszający się po łuku zakrętu działa siła dośrodkowa 1 125 N. Auto jedzie ze stałą prędkością $15 \frac{m}{s}$ . Zakręt jest wycinkiem okręgu o promieniu $50 m$ . Oblicz całkowitą masę samochodu.

Wskazówka

Aby wyznaczyć całkowitą masę samochodu, musimy skorzystać z tego samego wzoru co poprzednio..

Ćwiczenie 1

R2ods3zaQ6hGf1

Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania przygotuj kartkę papieru i przybory do pisania. Może przydać się również kalkulator.
Dziecko o masie 20 kg siedzi na karuzeli, która wykonuje 12 obrotów na minutę. Promień zataczanego okręgu jest równy 6 m.
Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi.

Na dziecko działa siła wzdłuż promienia, zwrócona do środka okręgu.
Na dziecko działa siła wzdłuż promienia, zwrócona na zewnątrz okręgu.
Na dziecko działa siła o kierunku takim samym jak kierunek prędkości.
Okres obrotu karuzeli jest równy 5 s.
W czasie 5 minut karuzela wykona 3600 obrotów.
Okres obrotu karuzeli jest równy 12 s.
W ciągu dwóch minut karuzela wykona 24 obroty.
W ciągu sekundy karuzela wykona 0,2 obrotu.
W czasie jednego obrotu karuzeli dziecko przebędzie drogę ok. 37,68 m.
Prędkość liniowa karuzeli wynosi około 18,8 m/s.

Źródło: Magdalena Grygiel <Magdalen.Grygiel@up.wroc.pl>, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R1VI2uz6QEBnk1

Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania przygotuj kartkę papieru i przybory do pisania.
Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi. Po uwzględnieniu wzoru na prędkość liniową ( $v = \frac{2 π \cdot R}{T}$ lub $v = 2 π R f$ ) we wzorze na siłę dośrodkową otrzymamy zależność:

$F = 4 π^{2} m r f^{2}$ .
$F = m r {"("2 π f")"}^{2}$ .
$F = {"("\frac{2π}{T}")"}^{2} m r$ .
$F = \frac{4 m π^{2} r}{T^{2}}$ .
$F = 4 m π r f^{2}$ .
$F = 2 π r f^{2}$ .
$F = {(2 π fr)}^{2} m$ .
$F = \frac{2 π r}{T^{2}} m$ .
$F = \frac{2 m π r^{2}}{T^{2}}$ .
$F = m \frac{4 π r^{2}}{T^{2}}$ .
$F = {"("\frac{2 π}{T} r")"}^{2}$ .

Źródło: Magdalena Grygiel <Magdalen.Grygiel@up.wroc.pl>, licencja: CC BY 3.0.

iRTncIzAJz_d5e389

Podsumowanie

Siłą odpowiedzialną za ruch ciała po okręgu jest siła dośrodkowa.
Wartość siły dośrodkowej obliczamy za pomocą wzoru: $F = \frac{m \cdot v^{2}}{r}$ ,
gdzie:
$m [kg]$ – masa poruszającego się ciała;
$v [\frac{m}{s}]$ – prędkość ciała;
$r [m]$ – promień okręgu zakreślanego przez poruszające się ciało.
Siłą dośrodkową może być jedna, bezpośrednio działająca siła lub (częściej) wypadkowa kilku sił działających na ciało. Jej źródłem może być jedno ciało lub kilka. Siła dośrodkowa jest prostopadla do wektora prędkości ciała.

Praca domowa

Polecenie 3.1

Motocyklista porusza się ze stałą prędkością o wartości $90 \frac{km}{h}$ . Motocyklista i motocykl mają łączną masę 270 kg. Na motocykl działa pewna siła dośrodkowa. Oblicz:

wartość siły tarcia działającej na koła pojazdu, jeśli znajduje się on na zakręcie będącym wycinkiem koła o promieniu $20 m$ ;
czas, w jakim motocyklista wykonałby jedno pełne okrążenie, gdyby poruszał się po okręgu o tym samym promieniu;
częstotliwość, z jaką obracają się koła motocykla, jeśli wiadomo, że średnica kół pojazdu wynosi 640 mm.

Polecenie 3.2

Zawodnik wykonuje rzut młotem. Kula o masie $5 kg$ jest przymocowana linką o długości $1,2 m$ . Zawodnik wprawia kulę w ruch, tak że zyskuje ona stałą prędkość $18 \frac{m}{s}$ . Oblicz siłę naciągu linki.

iRTncIzAJz_d5e456

Słowniczek

siła dośrodkowa

– siła odpowiedzialna za ruch ciała po okręgu. Jej wartość obliczamy ze wzoru $F = \frac{m v^{2}}{r}$ . Siła ta działa na ciało wzdłuż promienia okręgu, po którym odbywa się ruch ciała i jest zwrócona zawsze do środka tego okręgu.

Ruch jednostajny po okręgu

Prawo powszechnego ciążenia

Dlaczego ciała poruszają się po okręgu?

1. Siła dośrodkowa

Podsumowanie

Słowniczek