Prezentacja multimedialna

Polecenie 1

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R3pgIppXTnt9a

Slajd pierwszy. Przypomnijmy definicję cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Definicja: cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, gdzie a i b to przyprostokątne, natomiast bok c to przeciwprostokątna. Kąty wewnętrze trójkąta to: beta między bokami a i c, alfa między bokami b i c oraz kąt prosty między a i b. Obok ilustracji zapisano: kosinus alfa, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka. Slajd drugi. Zgodnie z definicją funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości odpowiednich boków, zatem istnieje nieskończenie wiele różnych trójkątów prostokątnych o kącie ostrym α takich, których cosinus przyjmuje tę samą wartość, np. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka. Ilustracja przedstawia trzy trójkąty prostokątne ustawione obok siebie. Pierwszy od lewej ma podstawę o długości 1 i przeciwprostokątną o długości trzy. Między tymi bokami oznaczono kąt alfa. Drugi trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 2 i przeciwprostokątną o długości sześć. Między tymi bokami oznaczono taki sam kąt alfa. Trzeci trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 3 i przeciwprostokątną o długości dziewięć. Między tymi bokami oznaczono również kąt alfa. Slajd trzeci. Wyznaczymy sumę cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Zagadnienie: Ile wynosi suma cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego z poniższego rysunku? Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 2 i o przeciwprostokątnej o długości pięć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 2 i 5, kąt alfa między bokami a i 5 oraz kąt prosty między bokami 2 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zatem mamy a, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka. Stąd kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka. Zatem kosinus alfa, plus, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, plus, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka Slajd czwarty. Porównamy wartości cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 4 i o przeciwprostokątnej o długości sześć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 4 i 6, kąt alfa między bokami a i 6 oraz kąt prosty między bokami 4 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sześć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zatem mamy a, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia koniec pierwiastka, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka. Stąd kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Ponieważ pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, większy niż, dwa, zatem kosinus alfa, większy niż, kosinus BETA. Slajd piąty. Wyznaczymy wartości cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, którego boki są wyrazami ciągu arytmetycznego. Zagadnienie: Długość boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 4, a przeciwprostokątna ma długość dwadzieścia. Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej b i o przeciwprostokątnej o długości dwadzieścia. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami b i 20, kąt alfa między bokami a i 20 oraz kąt prosty między bokami a i b. Rozwiązanie: a, równa się, dwadzieścia, minus, cztery, równa się, szesnaście oraz b, równa się, szesnaście, minus, cztery, równa się, dwanaście, stąd mamy kosinus alfa, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka.

Slajd pierwszy.

Przypomnijmy definicję cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Definicja: cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, gdzie a i b to przyprostokątne, natomiast bok c to przeciwprostokątna. Kąty wewnętrze trójkąta to: beta między bokami a i c, alfa między bokami b i c oraz kąt prosty między a i b. Obok ilustracji zapisano: $\cos α = \frac{b}{c}$ oraz $\cos β = \frac{a}{c}$ .

Slajd drugi.

Zgodnie z definicją funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości odpowiednich boków, zatem istnieje nieskończenie wiele różnych trójkątów prostokątnych o kącie ostrym alfa takich, których cosinus przyjmuje tę samą wartość, np. $\cos α = \frac{1}{3}$ . Ilustracja przedstawia trzy trójkąty prostokątne ustawione obok siebie. Pierwszy od lewej ma podstawę o długości 1 i przeciwprostokątną o długości trzy. Między tymi bokami oznaczono kąt alfa. Drugi trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 2 i przeciwprostokątną o długości sześć. Między tymi bokami oznaczono taki sam kąt alfa. Trzeci trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 3 i przeciwprostokątną o długości dziewięć. Między tymi bokami oznaczono również kąt alfa.

Slajd trzeci.

Wyznaczymy sumę cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Zagadnienie: Ile wynosi suma cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego z poniższego rysunku? Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 2 i o przeciwprostokątnej o długości pięć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 2 i 5, kąt alfa między bokami a i 5 oraz kąt prosty między bokami 2 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: $a^{2} + 2^{2} = 5^{2}$ , zatem mamy $a = \sqrt{21}$ . Stąd $\cos α = \frac{\sqrt{21}}{5}$ oraz $\cos β = \frac{2}{5}$ . Zatem $\cos α + \cos β = \frac{\sqrt{21} + 2}{5}$

Slajd czwarty.

Porównamy wartości cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 4 i o przeciwprostokątnej o długości sześć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 4 i 6, kąt alfa między bokami a i 6 oraz kąt prosty między bokami 4 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: $a^{2} + 4^{2} = 6^{2}$ , zatem mamy $a = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ . Stąd $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{3}$ oraz $\cos β = \frac{2}{3}$ . Ponieważ $\sqrt{5} > 2$ , zatem $\cos α > \cos β$ .

Slajd piąty.

Wyznaczymy wartości cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, którego boki są wyrazami ciągu arytmetycznego. Zagadnienie: Długość boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 4, a przeciwprostokątna ma długość dwadzieścia. Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej b i o przeciwprostokątnej o długości dwadzieścia. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami b i 20, kąt alfa między bokami a i 20 oraz kąt prosty między bokami a i b. Rozwiązanie: $a = 20 - 4 = 16$ oraz $b = 16 - 4 = 12$ , stąd mamy $\cos α = \frac{4}{5}$ oraz $\cos β = \frac{3}{5}$ .

Polecenie 2

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość $5$ , a druga jest o $1$ krótsza od przeciwprostokątnej. Wyznacz cosinusy kątów ostrych w tym trójkącie.

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R1KQDjf9eJmDT

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x-1, pionowej przyprostokątnej o długości 5 oraz o przeciwprostokątnej o długości x. Zaznaczono także kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami x-1 a 5, kąt α między podstawą a przeciwprostokątną oraz kąt β między bokiem 5 a przeciwprostokątną.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, zapisujemy i rozwiązujemy równanie:

$5^{2} + {(x - 1)}^{2} = x^{2}$ .

Wobec tego:

$25 + x^{2} - 2 x + 1 = x^{2}$

$2 x = 26$

$x = 13$ .

Zatem trójkąt ma boki długości $5$ , $12$ , $13$ oraz

$\cos α = \frac{12}{13}$ ,

$\cos β = \frac{5}{13}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się