Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest trójkąt prostokątny jak na rysunku poniżej.

RWy2KBxE32yyO

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości 6 i o pionowej przyprostokątnej o długości 3. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między opisanymi wyżej bokami, kąt α między przeciwprostokątną a podstawą o długości 6 oraz kąt β między przyprostokątną a bokiem o długości 3.

RoK4R0LA5WDlx

Ćwiczenie 2

RIdyk1RpHMOnF

Połącz w pary długości przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego z wartościami cosinusów kątów ostrych alfa i BETA w tym trójkącie. a, równa się, jeden, b, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka a, równa się, dwa, b, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka a, równa się, dwa, b, równa się, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka a, równa się, trzy, b, równa się, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka

Ćwiczenie 3

RBywGgeuoSvfn

Ćwiczenie 4

R1HbXkN9ynhCB

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Jeżeli przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości dwa i pięć, to iloczyn cosinusów kątów ostrych tego trójkąta wynosi 1. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka.
Jeżeli przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości jeden i cztery, to suma cosinusów kątów ostrych w tym trójkącie wynosi 1. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka.
Jeżeli przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości trzy i pięć, to iloczyn cosinusów kątów ostrych w tym trójkącie wynosi 1. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka.

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny o kątach ostrych $α$ i $β$ .

RQFlxIr8f1RPO

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości 22 i o pionowej przyprostokątnej o długości 3. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między opisanymi wyżej bokami, kąt α między przeciwprostokątną a podstawą o długości 22 oraz kąt β między przyprostokątną a bokiem o długości 3.

Rrs7nPiIzNtDD

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny o kątach ostrych $α$ i $β$ . Wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

RZX1YCMiWJApf

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości 5 i o przeciwprostokątnej o długości 15. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między przyprostokątnymi, kąt α między przeciwprostokątną a podstawą oraz kąt β między pionową przyprostokątną a podstawą.

RewrVZjmiBZ4P

Ćwiczenie 7

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest o $3$ dłuższa od drugiej, a stosunek ich długości wynosi $\frac{7}{4}$ . Wyznacz cosinusy kątów ostrych w tym trójkącie.

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

ROX9goCd0HriS

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x+3, o pionowej przyprostokątnej x oraz o przeciwprostokątnej c. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami x+3 i x, kąt α między bokami x+3 a c oraz kąt β między bokami x i c.

Z treści zadania wynika, że zachodzi zależność

$\frac{x + 3}{x} = \frac{7}{4}$ , zatem $x = 4$ .

Przyprostokątne trójkąta mają długości $4$ i $7$ .

Długość przeciwprostokątnej obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$c^{2} = 4^{2} + 7^{2}$ , zatem $c = \sqrt{65}$ .

Wobec tego:

$\cos α = \frac{7}{\sqrt{65}} = \frac{7 \sqrt{65}}{65}$

$\cos β = \frac{4}{\sqrt{65}} = \frac{4 \sqrt{65}}{65}$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że suma cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest zawsze większa od $1$ .

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R1Ys1iMvpRb6g

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, o pionowej przyprostokątnej b oraz o przeciwprostokątnej c. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b, kąt α między bokami a i c oraz kąt β między bokami b i c.

Z definicji funkcji cosinus mamy:

$\cos α = \frac{a}{c}$ ,

$\cos β = \frac{b}{c}$ .

Zatem:

$\cos α + \cos β = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ .

Ponieważ w dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność

$\cos α + \cos β = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ , zatem:

$\cos α + \cos β = \frac{a + b}{c} > \frac{c}{c} = 1$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela