Slajd pierwszy przedstawia wykres funkcji kwadratowej oraz styczną to tego wykresu. Układ składa się z poziomej osi x i od minus 4 do 4 i pionowej osi y od minus 4 do cztery. Wykres funkcji kwadratowej $y=f\left(x\right)$ ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do dołu, jej wierzchołek znajduje się w punkcie nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, a jej lewe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono również styczną do tego wykresu, jest ona prostą o równaniu $y=s\left(x\right)$, prosta ta przechodzi przez punkty nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu i nawias dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, ostatni z punktów jest punktem styku obu wykresów i został zaznaczony zamalowaną kropką. Zatem na wykresie zaznaczono styczną do wykresu funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=-2x^2+4x-1$ w punkcie nawias dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Pod spodem jest napis: wykres funkcji kwadratowej ma styczną w każdym swoim punkcie. Styczna do paraboli ma tylko jeden punkt wspólny z tą parabolą. Slajd drugi przedstawia wykres wielomianu o równaniu $f\left(x\right)=x^3-2x^2+x-2$ oraz styczne to tego wykresu w punktach nawias minus jeden średnik minus sześć zamknięcie nawiasu oraz nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Układ składa się z poziomej osi x i od minus 5 do 5 i pionowej osi y od minus 7 do pięć. Wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ pojawia się w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu do punktu nawias jeden średnik minus dwa zamkniecie nawiasu, dalej biegnie znów po łuku przez punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. W układzie zaznaczono również styczne do tego wykresu, pierwsza z nich jest ukośną prostą o równaniu $y=s_1\left(x\right)$, prosta ta przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus sześć zamknięcie nawiasu i nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, druga prosta jest oznaczona $y=s_2\left(x\right)$ i jest ona pozioma, przecina ona oś y w punkcie nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Pierwsza prosta jest styczna do wykresu wielomianu w punkcie nawias minus jeden średnik minus sześć zamknięcie nawiasu, punkt ten zaznaczono zamalowaną kropką. Druga prosta jest styczna do wykresu w punkcie nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, punkt ten również zaznaczono zamalowaną prostą. Pod wykresem znajduje się zapis: Wykres wielomianu ma styczną w każdym swoim punkcie. Jeśli wielomian jest stopnia nieparzystego większego niż jeden, styczna może mieć jeden lub dwa punkty wspólne z jego wykresem. Styczna do wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^3-2x^2+x-2$ , w punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik minus sześć zamknięcie nawiasu, ma tylko jeden punkt wspólny z tą krzywą. Styczna do wykresu tej samej funkcji f w punkcie o współrzędnych nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu ma dwa punkty wspólne z tą krzywą, bo dla x równego jeden funkcja ta osiąga ekstremum lokalne. Slajd trzeci przedstawia wykres wielomianu o równaniu $f\left(x\right)=x^4-x^2$ oraz styczne to tego wykresu w punktach nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu oraz nawias $-\frac{2}{\sqrt{2}}$ średnik $-\frac{1}{4}$ zamknięcie nawiasu. Układ składa się z poziomej osi x i od minus 1 do 1 i pionowej osi y od minus 1 do jeden. Wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ pojawia się w drugiej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu nawias $-\frac{2}{\sqrt{2}}$ średnik $-\frac{1}{4}$ zamknięcie nawiasu, dalej biegnie znów po łuku przez punkt nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu nawias $\frac{2}{\sqrt{2}}$średnik $-\frac{1}{4}$ zamknięcie nawiasu dalej po łuku biegnie przez punk nawias jeden średnik zero zamknięcie nawisu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. W układzie zaznaczono również styczne do tego wykresu, pierwsza z nich jest poziomą prostą o równaniu $y=s_1\left(x\right)$, prosta ta przecina oś y w punkcie nawias zero średnik $-\frac{1}{4}$ zamknięcie nawiasu i jest styczna do wykresu w punkcie nawias $-\frac{2}{\sqrt{2}}$ średnik $-\frac{1}{4}$ zamknięcie nawiasu, punkt ten zaznaczono zamalowaną kropką, druga prosta jest oznaczona $y=s_2\left(x\right)$ i jest ona również pozioma, przecina ona oś y w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu jest to również punkt styku tej prostej z wykresem. Trzecia prosta $y=s_3\left(x\right)$ jest ukośna, jest ona styczna do wykresu w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Poniżej układu mamy podpis: jeśli wielomian jest stopnia parzystego, styczna może mieć jeden punkt, daw punkty lub trzy punkty wspólne z jego wykresem. Styczna do wykresu $f\left(x\right)=x^4-x^2$ w punkcie o współrzędnych nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu ma trzy punkty wspólne z wykresem. Styczna do wykresu tej samej funkcji w punkcie o współrzędnych nawias $-\frac{2}{\sqrt{2}}$ średnik $-\frac{1}{4}$ zamknięcie nawiasu ma z nm dwa punkty wspólne, zaś w punkcie o współrzędnych nawias jeden średnik zero ma z nim jeden punkt wspólny. Slajd czwarty przedstawia wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=\frac{x}{x+2}$, gdzie x jest różne od dwa, oraz styczną do tego wykresu w punkcie nawias minus cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu. Układ składa się z poziomej osi x i od minus 6 do 2 i pionowej osi y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ , która ma kształt hiperboli, jej jedna część znajduje się w całości w trzeciej ćwiartce i jest wybrzuszona w stronę środka układu współrzędnych, a druga część przechodzi przez środek układu współrzędnych. W układzie zaznaczono również styczną do tego wykresu, styczna ta jest ukośną prostą zaznaczoną jako $y=s\left(x\right)$, prosta ta jest styczna do wykresu w punkcie nawias minus cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu. Punkt ten zaznaczono zamalowaną kropką. Wykres funkcji homograficznej ma styczną w każdym punkcie swojej dziedziny. Styczna ta ma jeden punkt wspólny z tą hiperbolą. Slajd piąty przedstawia wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x^2+2}$, oraz styczne do tego wykresu w punktach nawias minus siedem średnik $-\frac{8}{51}$ zamknięcie nawiasu oraz nawias trzy średnik $\frac{1}{6}$ zamknięcie nawiasu. Układ składa się z poziomej osi x i od minus 7 do 4 i pionowej osi y od minus 6 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ , który pojawia się w trzeciej ćwiartce układu, biegnie wzdłuż osi x, następnie po łuku przecina oś y i kolejno oś x w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie wzdłuż osi x i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. W układzie zaznaczono styczne do tego wykresu, pierwsza styczna jest poziomą prostą zaznaczoną jako $y=s_1\left(x\right)$, prosta ta jest styczna do wykresu w punkcie nawias minus siedem średnik $-\frac{8}{51}$ zamknięcie nawiasu, punkt ten został zaznaczony zamalowaną kropką. Druga styczna $y=s_2\left(x\right)$ również jest pozioma, jest ona styczna do wykresu w punkcie nawias trzy średnik $\frac{1}{6}$ zamknięcie nawiasu, punkt ten również zaznaczono zamalowaną kropką. Styczna do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x^2+2}$ w punkcie o współrzędnych nawias minus siedem średnik $-\frac{8}{51}$ zamknięcie nawiasu, ma z tą krzywą dwa punkty wspólne, zaś styczna do wykresu tej samej funkcji f w punkcie o współrzędnych awias trzy średnik $\frac{1}{6}$ zamknięcie nawiasu, ma z tą krzywą jeden punkt wspólny. Slajd szósty przedstawia wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=\frac{x^2-9}{x+2}$, gdzie x jest równe od minus dwa, oraz styczną do tego wykresu w punkcie nawias dwa średnik $-\frac{5}{4}$ zamknięcie nawiasu. Układ składa się z poziomej osi x i od minus 50 do 30 z podziałką co 10 i pionowej osi y od minus 40 do 40 z podziałką co dziesięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ , która ma kształt hiperboli, pierwsza część pojawia się w trzeciej ćwiartce układu, biegnie ukośnie, przecina oś x i biegnie wzdłuż osi y wychodząc poza płaszczyznę układu w drugiej ćwiartce, druga część pojawia się w trzeciej ćwiartce układu, biegnie wzdłuż osi y, następnie ją przecina i przecina również oś x i wychodzi poza płaszczyznę układu w trzeciej ćwiartce. W układzie zaznaczono styczną do tego wykresu, jest ona ukośną prostą zaznaczoną jako $y=s\left(x\right)$, ma ona punkt wspólny z wykresem, ma on współrzędne nawias dwa średnik $-\frac{5}{4}$ zamknięcie nawiasu i został zaznaczony zamalowaną kropką. Poniżej układu znajduje się napis: styczna do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2-9}{x+2}$, w punkcie o współrzędnych nawias dwa średnik $-\frac{5}{4}$ zamknięcie nawiasu, ma z tą krzywą jeden punkt wspólny. Slajd siódmy przedstawia wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=\frac{x^2+4x}{x^2-4}$$f\left(x\right)=\frac{x^2+4x}{x^2-4}$, gdzie $x\in \mathrm{ℝ}\mathrm{\setminus }\{-2,2\}$, oraz styczne do tego wykresu w punktach nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik $\frac{21}{5}$ zamknięcie nawiasu oraz nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Układ składa się z poziomej osi x i od minus 5 do 4 i pionowej osi y od minus 20 do 20 z podziałką co dziesięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ , która składa się z trzech części. Pierwsza część pojawia się na wykresie w drugiej ćwiartce układu, przecina oś x w punkcie nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu i dalej biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w trzeciej ćwiartce. Druga część również pojawia się w drugiej ćwiartce układu, biegnie lekko po łuku do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, tam następuje wypłaszczenie wykresu i dalej biegnie on po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Trzecia część pojawia się w pierwszej ćwiartce biegnie po łuku przez punkt nawias trzy średnik $\frac{21}{5}$ zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu również w pierwszej ćwiartce. W układzie zaznaczono styczne do tego wykresu, pierwsza jest ukośną prostą zaznaczoną jako $y=s_1\left(x\right)$, ma ona punkt wspólny z wykresem, ma on współrzędne nawias zerp średnik zero zamknięcie nawiasu i został zaznaczony zamalowaną kropką. Druga styczna $y=s_2\left(x\right)$ również jest ukośna, ma ona punkt wspólny z wykresem w punkcie nawias trzy średnik $\frac{21}{5}$ zamknięcie nawiasu. Trzecia styczna $y=s_3\left(x\right)$ również jest ukośna i ma punkt wspólny z wykresem o współrzędnych nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2+4x}{x^2-4}$$f\left(x\right)=\frac{x^2+4x}{x^2-4}$ ma w punkcie o współrzędnych nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu styczną, która ma tylko jeden punkt wspólny z wykresem. Styczna w punkcie o współrzędnych nawias trzy średnik $\frac{21}{5}$ zamknięcie nawiasu oraz styczna w punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu przecina wykres funkcji f w jeszcze jednym punkcie. Slajd ósmy przedstawia wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=2^x-2$, oraz styczną do tego wykresu w punkcie nawias trzy średnik sześć zamknięcie nawiasu. Układ składa się z poziomej osi x i od minus 5 do 4 i pionowej osi y od minus 2 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ , która pojawia się w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. W układzie zaznaczono styczną do tego wykresu, jest ona ukośną prostą zaznaczoną jako $y=s\left(x\right)$, ma ona punkt wspólny z wykresem, ma on współrzędne nawias trzy średnik sześć zamknięcie nawiasu i został zaznaczony zamalowaną kropką. Poniżej układu znajduje się napis: Wykres funkcji wykładniczej posiada styczną w każdym swoim punkcie. Styczna ta ma dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą wykładniczą. Slajd dziewiąty przedstawia wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)={\log }_2\left(x+4\right)$, oraz styczną do tego wykresu w punkcie nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu. Układ składa się z poziomej osi x i od minus 5 do 3 i pionowej osi y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ , która pojawia się w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu , dalej przez punktu nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu i punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. W układzie zaznaczono styczną do tego wykresu, jest ona ukośną prostą zaznaczoną jako $y=s\left(x\right)$, ma ona punkt wspólny z wykresem, ma on współrzędne nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu i został zaznaczony zamalowaną kropką. Poniżej układu znajduje się napis: Wykres funkcji logarytmicznej posiada styczną w każdym swoim punkcie. Styczna ta ma dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą logarytmiczną. Slajd dziewiąty przedstawia wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=\cos \left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}x+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 4}}\right)$ oraz styczne do tego wykresu. Układ składa się z poziomej osi x od $-2\mathrm{\pi }$ do $3\mathrm{\pi }$ i pionowej osi y od minus 6 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ , która ma kształt sinusoidy. W układzie zaznaczono styczne do tego wykresu, pierwsza jest ukośną prostą zaznaczoną jako $\mathrm{y}={\mathrm{s}}_1\left(\mathrm{x}\right)$, ma ona jeden punkt wspólny z wykresem, druga prosta $\mathrm{y}={\mathrm{s}}_2\left(\mathrm{x}\right)$ jest pozioma i ma dwa punkty wspólne z wykresem, trzecia prosta $\mathrm{y}={\mathrm{s}}_3\left(\mathrm{x}\right)$ również jest pozioma i ma dwa punkty wspólne z wykresem. Poniżej znajduje się napis: Prosta o równaniu y równa się jeden jest styczną do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\cos \left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}x+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 4}}\right)$ dla wszystkich punktów o odciętych $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+4\mathrm{k\pi }$, gdzie $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Prosta o równaniu y równa się minus jeden jest styczną do wykresu tej funkcji dla wszystkich punktów odciętych $\frac{3}{2}\mathrm{\pi }+4\mathrm{k\pi }$, gdzie $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. W pozostałych punktach styczne do wykresu funkcji f mają z tą cosinusoidą jeszcze jeden punkt wspólny.