Properties of roots

R1SI3r42jhkfA

Własności pierwiastków

Learning objectives

You will learn to apply the theorem about the product and the quotient of roots.
You will learn to calculate values of expressions containing roots.

Learning effect

You apply the theorem about the product and the quotient of roots.
You calculate values of expressions containing roots.

Example 1

Calculate ${(\sqrt{25})}^{2}, \sqrt{25^{2}}, \sqrt{25} \cdot \sqrt{25}$ .

${(\sqrt{25})}^{2} = 5^{2} = 25$

$\sqrt{25^{2}} = \sqrt{625} = 25$

$\sqrt{25} \cdot \sqrt{25} = 5 \cdot 5 = 25$

RJiRDq9xVfZGe

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Think whether we also obtain the same results while creating similar examples for cube rootcube rootcube root? Solve the problem by analysing your own examples.

Conclusion:

Ryat8Tm2eC6yP

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

- For any non‑negative numbernumbernumber a the following equalities are true.

{(\sqrt{a})}^{2} = \sqrt{a^{2}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a

RBnJbZpH0NYFN

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

- For any numbernumbernumber a the following equalities are true.

{(\sqrt[3]{a})}^{3} = \sqrt[3]{a^{3}} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a

Task 1

R1Uz3yMInaDDi1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Use the computer to analyse theorems about the product of square roots and cube roots.

RpDwyv0sdUkYz1

Check if similar formulaformulaformula can be applied to the quotient of roots. Confirm your theory on specific examples.

Conclusion:

R13vgMJpV9bo0

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

- For any non‑negative numbers a and b the following equalities are true.

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

and

\sqrt{a : b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}

R1bN6dLuECNLW

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

- For any numbers a and b the following equalities are true.

\sqrt[3]{a : b} = \sqrt[3]{a} : \sqrt[3]{b}

and

\sqrt[3]{a : b} = \sqrt[3]{a} : \sqrt[3]{b}

Task 2

R1cwS77ei16de1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate.

a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$

b) $\sqrt{2, 4} \cdot \sqrt{2, 4}$

c) ${(\sqrt{81})}^{2}$

d) ${(\sqrt{6, 4})}^{2}$

Task 3

R1cwS77ei16de1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate.

a) $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5}$

b) $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{25}$

c) ${(\sqrt[3]{27})}^{3}$

d) $\sqrt[3]{125} \cdot {(\sqrt[3]{125})}^{3}$

Task 4

R1cxEk2TgCfMA1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Do the operations.

a) $\sqrt{36 \cdot 4}$

b) $\sqrt{0, 16 \cdot 81}$

c) $\sqrt[3]{8 \cdot 64}$

d) $\sqrt[3]{27 \cdot 0, 001}$

Task 5

R1cxEk2TgCfMA1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Do the operations.

a) $\sqrt{49 : 16}$

b) $\sqrt{1, 44 : 0, 09}$

c) $\sqrt{0, 36 : 81}$

d) $\sqrt[3]{216 : 125}$

Task 6

R1cwS77ei16de1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate.

a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

b) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{14, 4}$

c) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$

d) $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{81}$

Task 7

R1cwS77ei16de1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate.

a) $\sqrt{27} : \sqrt{3}$

b) $\sqrt{72} : \sqrt{2}$

c) $\sqrt[3]{625} : \sqrt[3]{25}$

d) $\sqrt[3]{0, 005} : \sqrt[3]{5}$

Task 8

RqZ6kLfzMEMlD1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Insert such numbernumbernumber in the dotted space that the equality is true.

a) otworzyć nawias pierwiastek kwadratowy z liczby pięć zamknąć nawias do potęgi czwartej równa się pięć do potęgi [tu uzupełnij],b) otworzyć nawias pierwiastek kwadratowy z liczby dwa zamknąć nawias do potęgi szóstej równa się dwa do potęgi [tu uzupełnij],c) otworzyć nawias pierwiastek trzeciego stopnia z liczby trzy zamknąć nawias do potęgi szóstej równa się trzy do potęgi [tu uzupełnij],d) otworzyć nawias pierwiastek trzeciego stopnia z liczby dziewięć zamknąć nawias do potęgi dziewiątej równa się sześć do potęgi [tu uzupełnij].

Task 9

RqZ6kLfzMEMlD1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Insert such numbernumbernumber in the dotted space that the equality is true.

a) pierwiastek kwadratowy z liczby dwa do potęgi [tu uzupełnij] równa się dwa do potęgi czwartej,
b) pierwiastek kwadratowy z liczby siedem do potęgi [tu uzupełnij] równa się siedem do potęgi szóstej,
c) pierwiastek trzeciego stopnia z liczby dwanaście do potęgi [tu uzupełnij] równa się dwanaście do potęgi szóstej,
d) pierwiastek trzeciego stopnia z liczby dwadzieścia pięć do potęgi [tu uzupełnij] równa się dwadzieścia pięć do potęgi dziewiątej.

Task 10

An extra task:

R1eNFDzJX0oLO1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Prove that the value of the expression $\frac{10}{\sqrt[3]{0, 05}} - 2 \cdot \sqrt[3]{2500}$ is a natural numbernatural numbernatural number.

Do the revision exercises.

Exercises

RcM3YQMskNtdp

Exercise 1

Determine which sentences are true.

The number $K = \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ is equal to 6.
The number $E = \sqrt{4} : \sqrt{12}$ is equal to $\frac{1}{4}$ .
The number $J = \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7}$ is equal to 7.
The number $M = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$ is equal to 2.

R19dIxEuPrbl1

Exercise 2

The cube root of the product of number 1372 and 4 is equal to:

Exercise 3

How many times the number $a = \sqrt{640}$ is greater than the number $b = \sqrt{10}$ ?

Describe the solution in English.

R124XdWnYBLhJ

Exercise 4

Match English terms with their Polish equivalents.

pierwiastek kwadratowy, pierwiastek sześcienny, stopień pierwiastka, liczba podpierwiastkowa, własności pierwiastków, liczba naturalna

properties of roots
natural number
degree of the root
square root
cube root
number under the root

R13a8WbWbA7sy1

Match Polish terms with their English equivalents.

własności pierwiastków
root of products
pierwiastek kwadratowy
degree of the root
pierwiastek z ilorazu
properties of roots
pierwiastek z iloczynu
square root
stopień pierwiastka
quotient of roots

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

cube root

pierwiastek sześcienny

R14hMbbQuBstJ1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: cube root

degree of the root

stopień pierwiastka

RtnKqksUZU5ap1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: degree of the root

formula

formuła

R1d03KnTZwDLL1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: formula

natural number

liczba naturalna

R1MEfKqARFQJu1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: natural number

number

liczba

R1QkozXry1Sbd1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: number

number under the root

liczba podpierwiastkowa

RcMqgDVBlGtID1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: number under the root

properties of roots

własności pierwiastków

R13vzWHeTfp7V1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: properties of roots

quotient of roots

pierwiastek z ilorazu

Rur74dgVSuAXB1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: root of quotients

root of products

pierwiastek z iloczynu

RUTS1ua3i0LFL1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: root of products

square root

pierwiastek kwadratowy

RrKbkskqFEXGh1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: square root

Keywords

cube rootcube rootcube root

degree of the rootdegree of the rootdegree of the root

properties of rootsproperties of rootsproperties of roots

root of productsroot of productsroot of products - jest równy iloczynowi pierwiastków

quotient of rootsquotient of rootsquotient of roots - jest równy ilorazowi pierwiastków

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords