Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Oceń projekt

Proste i odcinki prostopadłe

Proste i odcinki prostopadłe

Na co dzień bardzo często posługujemy się nazwami kierunków. Mówimy: idź prosto, skręć w lewo, spójrz w górę, zobacz, co się dzieje na dole. Im bardziej precyzyjnie wyrażamy nasze myśli, tym lepiej jesteśmy rozumiani i tym mniej nieprzewidzianych przeszkód do pokonania staje na naszej drodze. Matematyka uczy nas między innymi określania kierunków oraz precyzyjnego wysławiania się.

Analizując przykłady zawarte w tym materiale, poznasz wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie. Rozwiązując ćwiczenia, wykorzystasz zdobytą wiedzę w zadaniach konstrukcyjnych i tekstowych.

R1T6kkUmzbPbj1
Animacja przedstawia, które proste możemy nazywać równoległymi, a które nazywamy przecinającymi się.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1T6kkUmzbPbj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia, które proste możemy nazywać równoległymi, a które nazywamy przecinającymi się.

R16Ah4sgasZnb1
Rysunek pięciu przecinających się prostych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Spróbuj opisać wzajemne położenie prostych przedstawionych na rysunku.

Ćwiczenie 1

Przygotuj kartkę papieru. Zegnij ją w dowolnym miejscu. Następnie zegnij ją drugi raz, tak jak na rysunku.

RkxWmIfj4iDSe1
Rysunek przedstawiający w jaki sposób należy zginać prostokątną kartkę, aby otrzymać model kąta prostego. Zaczynamy od zgięcia kartki w dowolnym miejscu. Nakładające się na siebie części kartki tworzą pewien trójkąt. Zaginamy kartkę wzdłuż wysokości tego trójkąta. W ten sposób otrzymujemy model kąta prostego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaznacz kolorem róg kartki.
Przyłóż zaznaczony róg do prostych widocznych na rysunku zamieszczonym nad ćwiczeniem 1 tak, aby jedna z linii układała się wzdłuż jednego brzegu, a druga wzdłuż drugiego brzegu pomalowanego rogu kartki. W ilu miejscach możesz przyłożyć kartkę? W jednym? W dwóch? W trzech? A może w czterech?

RFVZ5y2yFENTY1
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy uzyskać kąt prosty składając kartkę papieru.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RFVZ5y2yFENTY

Poste i odcinki prostopadle_atrapa_animacja_1109
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy uzyskać kąt prosty składając kartkę papieru.

Rysując proste prostopadłe, często posługujemy się ekierką.

RMnk3M0lNhvt11
Rysunek ekierki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rysujemy proste prostopadłe

Przykład 1
RNyuElAZB310Y1
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować proste prostopadłe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RNyuElAZB310Y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować proste prostopadłe.

1
Przykład 2
R17tPSNq5Y0tQ1
Aplet pokazuje proste a i b. Należy, posługując się ekierką, ustawić prostą b tak, aby była ona prostopadła do prostej a.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PnRHELHVT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 3
RQ57QMl6RjghJ1
Aplet pokazuje kreślenie prostej prostopadłej przy pomocy ekierki. Dane są prosta a i punkt P, który nie leży na tej prostej. Należy przyłożyć do prostej ekierkę jednym z ramion leżących przy kącie prostym. Następnie narysować prostą prostopadłą do danej prostej przechodzącą przez punkt P.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PnRHELHVT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Na rysunku prosta a jest prostopadła do prostej b.
Możemy zapisać:

a⊥b.
R1PJGqhZCOwAw1
Rysunek prostych prostopadłych a i b. Kąt między tymi prostymi to kąt prosty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 2

Przy pomocy ekierki narysuj na kartce dwie proste prostopadłe.

RcPg7SigEMRmL
Ćwiczenie 2
Które z poniższych prostych są prostopadłe? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Proste na których leżą przekątne kwadratu., 2. Proste na których leżą przeciwległe boki prostokąta., 3. Proste, które przecinają się pod kątem 60°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

O odcinkach leżących na prostych prostopadłych mówimy także, że są prostopadłe.

R1UyfdJ4RgEH01
Rysunek prostych prostopadłych a i b. Na prostej a leży odcinek A B. Na prostej b leży odcinek C D. Odcinki A B i C D są prostopadłe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 3

Narysuj dwa odcinki prostopadłe, które się przecinają. Oznacz ich końce literami. Zapisz symbolami, że są one prostopadłe.

RB07N1Sa7zOQH
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RbOK9zHOhTkiH
Ćwiczenie 3
Które z odcinków są zawsze prostopadłe? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Sąsiednie boki dowolnego prostokąta., 2. Sąsiednie boki dowolnego równoległoboku., 3. Sąsiednie boki dowolnego trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4

Narysuj dowolną prostą a i dowolny punkt P tak, aby

  1. punkt P leżał na prostej a,

  2. punkt P leżał poza prostą a.

Narysuj prostą prostopadłą do prostej a przechodzącą przez punkt P.

RHmw0d8ZY8Nrb
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1bjUDxUlzM8c
Ćwiczenie 4
Zaznacz wszystkie pary odcinków prostopadłych. Możliwe odpowiedzi: 1. Podstawa trójkąta i jego wysokość., 2. Dwie podstawy trapezu., 3. Bok kwadratu i jego przekątna., 4. Dwie przekątne dowolnego rombu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 5

Zapoznaj się z poniższym planem miasta.

R1OLaQoj5fDUD1
Fragment planu miasta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RV6WUuEjO9kyn
Uzupełnij opowiadanie, przeciągając w luki odpowiednie nazwy ulic lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Szymon szedł ulicą Zachodnią od ulicy Zielonej. Na najbliższym skrzyżowaniu skręcił w prawo, w prostopadłą ulicę 1. Rewolucji, 2. Więckowskiego, 3. Pomorską, 4. Północna, 5. Kilińskiego, 6. Piotrkowska, którą wkrótce przecinała prostopadle ulica 1. Rewolucji, 2. Więckowskiego, 3. Pomorską, 4. Północna, 5. Kilińskiego, 6. Piotrkowska. Chłopiec skręcił w nią w lewo. Nie dochodząc do ronda, skręcił w prawo w ulicę 1. Rewolucji, 2. Więckowskiego, 3. Pomorską, 4. Północna, 5. Kilińskiego, 6. Piotrkowska. Minął synagogę Reicherów i doszedł do kolejnej prostopadłej ulicy, a następnie skręcił w lewo. Była to ulica 1. Rewolucji, 2. Więckowskiego, 3. Pomorską, 4. Północna, 5. Kilińskiego, 6. Piotrkowska. Szedł nią dość długo, minął skrzyżowanie prostopadłych ulic Kilińskiego z 1. Rewolucji, 2. Więckowskiego, 3. Pomorską, 4. Północna, 5. Kilińskiego, 6. Piotrkowska i zorientował się, że kolejna prostopadła ulica, do jakiej dotarł, nazywa się
1. Rewolucji, 2. Więckowskiego, 3. Pomorską, 4. Północna, 5. Kilińskiego, 6. Piotrkowska.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1PaxKCopolBX
Ćwiczenie 5
Zaznacz wszystkie pary obiektów, które są prostopadłe. Możliwe odpowiedzi: 1. Skrzyżowanie dwóch ulic, które przecinają się pod kątem prostym., 2. Dwie szyny kolejowe., 3. Dwa pasy ruchu na tej samej ulicy., 4. Dwie sąsiednie krawędzie książki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
C
Ćwiczenie 6

Korzystając z mapy, zaplanuj dwie trasy spaceru od skrzyżowania ulic Północnej i Kamińskiego do skrzyżowania Zachodniej i Zielonej, tak aby po drodze trzeba było wykonać dokładnie pięć prostopadłych skrętów wyłącznie w lewo. W którą stronę trzeba będzie skręcać, gdy zechcemy spacerować tą samą trasą w przeciwną stronę?

R1OLaQoj5fDUD1
Fragment planu miasta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Hg87Jc6jj0s
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RxvR1T1h7PG4h
Ćwiczenie 6
Proste a i b są prostopadłe oraz proste c i d są prostopadłe. Korzystając z tych informacji, zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinki leżące na prostych a i c zawsze są prostopadłe., 2. Odcinki leżące na prostych c i d mogą być prostopadłe i jednocześnie się nie przecinać., 3. Odcinki leżące na prostych a i b nie są prostopadłe., 4. Prostopadłe odcinki leżące na prostych c i d muszą mieć te same długości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.