Warto przeczytać

Układ odniesieniaukład odniesieniaUkład odniesienia to ciało lub punkt, względem którego opisujemy ruchruchruch lub spoczynek innego ciała. Można powiedzieć, że w układzie odniesienia znajduje się rzeczywisty bądź wirtualny obserwator, opisujący ruch, który widzi.

Jeżeli znany jest ruch ciała w układzie odniesienia UIndeks dolny 1₁, to jego opis w układzie UIndeks dolny 2₂, poruszającym się względem pierwszego z prędkościąprędkośćprędkością $\overrightarrow{u}$, znajdziemy posługując się przekształceniem, które wynika z Rys. 1.

R1DgRc7U6FHeM

Rys. 1. Na rysunku zaprezentowano położenie punktu w dwóch układach odniesienia. W lewym i dolnym rogu widoczny jest prostokątny układ współrzędnych opisany wielką literą U. Oś pionowa układu, skierowana jest w górę i opisana małą literą y z indeksem dolnym jeden. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i opisana małą literą x z indeksem dolnym jeden. Początek układu opisano cyfrą zero. W prawym i górnym rogu, widoczny jest prostokątny układ współrzędnych, opisany wielką literą U z indeksem dolnym dwa. Oś pionowa układu, skierowana jest w górę i opisana małą literą y z indeksem dolnym dwa. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i opisana małą literą x z indeksem dolnym dwa. Początek tego układu również opisano cyfrą zero. Od początku pierwszego układu współrzędnych wielka litera U z indeksem dolnym jeden poprowadzono czarną strzałkę do początku drugiego układu współrzędnych wielka litera U z indeksem dolnym dwa, która biegnie w górę i w prawo. Długość tej strzałki opisano wielką literą R. W dodatniej części drugiego układu oznaczonego jako wielka litera U z indeksem dolnym dwa znajduje się punkt opisany wielką literą P. Wektor jego położenia w tym układzie opisano małą literą r z indeksem dolnym dwa i zaznaczono czerwoną strzałką, biegnącą od początku układu współrzędnych do punktu wielka litera P. Wektor położenia punktu wielka litera P względem początku pierwszego układu oznaczonego jako wielka litera U z indeksem dolnym jeden, oznaczono małą literą r z indeksem dolnym jeden. Narysowano go w postaci niebieskiej strzałki, biegnącej od początku układu wielka litera U z indeksem dolnym jeden do punktu wielka litera P.

Z rysunku widać, że dla położeniapołożeniepołożenia punktu P zachodzi zależność:

Jeżeli układ UIndeks dolny 2₂ porusza się względem UIndeks dolny 1₁ ze stała prędkością $\vec{u}$, to prędkość ciała w układzie UIndeks dolny 2₂ wynosi

bo

Natomiast jeżeli mamy dwa układy odniesienia UIndeks dolny 1₁ i UIndeks dolny 2₂ i ciało porusza się względem układu UIndeks dolny 1₁ z prędkością ${\overrightarrow{v}}_1$, a układ UIndeks dolny 1₁ porusza się względem układu UIndeks dolny 2₂ z prędkością $\overrightarrow{u}$ (zmiana zwrotu wektora $\vec{R}$ ), to

a prędkość ciała względem układu UIndeks dolny 2₂ wynosi

Jeżeli mamy dwa układy odniesienia poruszające się względem się siebie, to możemy przejść od opisu ruchu w jednym z nich do opisu w drugim.

Jeżeli dwa ciała poruszają się jednocześnie w tym samym układzie odniesienia z prędkościami ${\overrightarrow{v}}_1$ i ${\overrightarrow{v}}_2$, to można związać układ odniesienia z pierwszym z tych ciał – w układzie tym ciało pierwsze spoczywa, a drugie porusza się z prędkością ${\vec{v}}_2-{\vec{v}}_1$ . Podobnie, gdy zwiążemy układ odniesienia z drugim ciałem, to ciało to spoczywa w tym układzie, a pierwsze porusza się z prędkością ${\vec{v}}_1-{\vec{v}}_2$ . Można zatem obliczyć prędkość względnąprędkość względnaprędkość względną jednego ciała względem drugiego. Na przykład:

oznacza prędkość drugiego ciała względem pierwszego.

Jeżeli ciało uczestniczy jednocześnie w kilku ruchach względem tego samego układu odniesienia, to mówimy o tzw. ruchach złożonychruch złożonyruchach złożonych. Aby opisać ruch złożony, najprościej jest rozłożyć go na pojedyncze ruchy odbywające się w różnych kierunkach, zgodnie z zasadą niezależności ruchów. Na przykład rzut poziomy jest ruchem złożonym z ruchu jednostajnegoruch jednostajnyruchu jednostajnego w kierunku poziomym i ruchu jednostajnie przyspieszonegoruch jednostajnie przyspieszonyruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym, a oba ruchy odbywają się równocześnie.

Przykład 1

Z helikoptera lecącego z prędkością $v_0$, na wysokości $H$ nad Ziemią, wypadła paczka. Zaniedbując opór powietrza, opisz ruch paczki, podając wektor jej prędkości względem obserwatora lecącego helikopterem.

RkEs4wRc3H3ZV

Rys. 2. Ilustracja przedstawia wykres położenia helikoptera oraz paczki, która z niego wypadła. Na ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu, skierowana jest w górę i opisuje wysokość, mała litera y. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i przedstawia położenia w kierunku poziomym, mała litera x. Układ odniesienia związany z osiami układu współrzędnych opisano wielką literą U z indeksem dolnym jeden. W układzie widoczne są dwie funkcje narysowane ciągłymi liniami. Jedna z funkcji jest czerwona i przedstawia położenie helikoptera lecącego na stałej wysokości. Funkcja ta ma stałą dodatnią wartość w całym przedziale, mała litera x. W pewnym punkcie, dla dodatniej wartości mała litera x, na czerwonej funkcji znajduje się szary, mały kwadrat i czerwony ludzik obok. Symbolizuje on położenie helikoptera. Przez środek szarego kwadratu przechodzą dwie czerwone osie układu współrzędnych związanych z helikopterem. Jedna z osi jest pozioma i skierowana w prawo. Oś tę opisano małą czerwoną literą x. Druga z osi jest pionowa, narysowana czerwoną i przerywaną linią i skierowana w górę. Opisana została małą ,czerwoną literą y. Układ odniesienia związany z helikopterem opisano wielką literą U z indeksem dolnym dwa. W układzie widoczna jest druga, niebieska funkcja. Jej początek, znajduje się na czarnej osi mała litera y, na wysokości lotu helikoptera. Niebieska funkcja przedstawia położenia paczki, która wypadła z helikoptera. Funkcja maleje parabolicznie do zera podobnie, jak wykres położenia w rzucie poziomym. Na niebieskiej funkcji zaznaczono położenia paczki, które odpowiada osi mała czerwona litera y. Położenia paczki zaznaczono w postaci małego i czerwonego prostokąta, widocznego pod małym, szarym prostokątem.

Dla obserwatora na Ziemi ruch paczki będzie ruchem złożonym z ruchu jednostajnego w kierunku poziomym i ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym, a oba ruchy będą odbywały się równocześnie. W nieruchomym układzie odniesienia UIndeks dolny 1₁, związanym z Ziemią, wektor prędkości paczki to

Układ UIndeks dolny 2₂, znajdujący się w lecącym helikopterze, porusza się względem układu UIndeks dolny 1₁ z prędkością

Dlatego prędkość paczki w układzie UIndeks dolny 2₂ wynosi

czyli

Obserwator w helikopterze obserwuje zatem spadek swobodny paczki z przyspieszeniemprzyspieszenieprzyspieszeniem ziemskim.

Przykład 2

Motorówka przepływała w poprzek rzekę o szerokości L = 200 m ze stałą względem wody prędkością $v_1 = 4\,\text{m/s}$. Prąd rzeki zniósł ją o $S = 100\,text{m}$. Oblicz prędkość wody w rzece $v_p$, prędkość motorówki względem brzegu $v_m$ oraz czas przeprawy $t$ motorówki przez rzekę.

R3RRfAwEVboFM

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano schematycznie ruch motorówki przepływającej w poprzek rzeki. Na ilustracji widoczna jest rzeka w postaci poziomego, błękitnego pasa ograniczonego z góry i z dołu czerwonymi i poziomymi liniami ciągłymi, symbolizującymi brzegi. Na rzece widoczny jest czerwony punkt symbolizujący płynącą motorówkę. Do punktu przyłożono dwa wektory prędkości narysowane w postaci niebieskich strzałek. Wektor prędkości motorówki, mała litera v z indeksem dolnym jeden, narysowano w postaci pionowej strzałki, skierowanej w górę, prostopadle do rzeki. Wektor prędkości prądu rzeki, mała litera v z indeksem dolnym mała litera p, narysowano w postaci poziomej strzałki, skierowanej w prawo. Wektor prędkości rzeki jest krótszy niż wektor prędkości motorówki. Przez czerwony punkt symbolizujący motorówkę przechodzi niebieska i ciągła linia, biegnąca od lewej części dolnego brzegu rzeki do górnej i prawej części brzegu górnego. Linia jest nachylona względem kierunku poziomego, tak samo, jak nachylony byłby wektor prędkości wypadkowej łódki. Wektor taki określa się w wyniku dodania metodą równoległoboku wektorów prędkości łódki i prądu w rzece. Odcinek ten stanowi przeciwprostokątną trójkąta, którego przyprostokątna pionowa ma długość wielka litera L równą szerokości rzeki, a przyprostokątna pozioma stanowi odcinek równoległy do górnego brzegu rzeki. Pozioma przyprostokątna opisana jest wielką literą S. przyprostokątne powstałego trójkąta narysowano w postaci niebieskich, podwójnych strzałek, zakończonych grotami na obu końcach.

Ruch motorówki jest złożeniem dwu ruchów jednostajnych prostoliniowych odbywających się w kierunkach wzajemnie prostopadłych, w tym samym czasie. W nieruchomym układzie odniesienia związanym z brzegiem rzeki, mamy dla prądu rzeki:

Dla motorówki prędkość względna to

a wektor prędkości motorówki w nieruchomym układzie

oraz jego wartość

Ponieważ motorówka przebyła drogędrogadrogę

to nastąpiło to w czasie

Wobec tego $v_p = 2\,\text{m/s}$, $t = 50\,\text{s}$.

Słowniczek