Warto przeczytać

Ostatnio, coraz popularniejsze stały się zabawki nazywane skoczkami lub z angielskiego jumperami (Rys. 1.). Idea ich działania polega na tym, że energia potencjalna sprężyny (bądź plastikowej części wykonanej ze sprężystego materiału) zamieniana zostaje na energię potencjalną grawitacji. Tym samym „ludzik” odbija się od podłoża i wznosi na określoną wysokość.

RpFgOUgtm2hiM

Rys. 1. Zdjęcie poglądowe przedstawia graficzną ilustrację treści. Zabawka ma niebieską podstawę, która po "wyskoku" tworzy jej tułów, czerwone rączki i czuprynkę oraz żółtą okrągłą głowę z wyrazem zdziwienia na twarzy (otwartą buzią).

Podobnie jest z ludźmi. Gdy chcemy podskoczyć pionowo do góry musimy wykonać pewną pracę pozwalającą na oderwanie się od podłoża i pokonanie siły ciężkości. By było to możliwe, uginamy nogi (wówczas rozciągnięciu ulegają mięśnie i ścięgna), by zmagazynować w nich (niczym w sprężynie) jak najwięcej energii. Czasem dochodzą do tego jeszcze wymachy ramion zwiększające siłę odbicia od podłoża. Jeśli pominiemy straty związane z oporami ruchu, energia ta zamieni się na energię potencjalną, która w momencie, gdy nasze ciało znajdzie się na maksymalnej wysokości, przyjmie wartość największą.

Dodatkowo, przy takiej analizie najłatwiej byłoby potraktować człowieka jako punkt materialny, aby nie analizować osobno sytuacji opisującej położenie głowy, ręki czy innej części ciała. W tym celu wyznacza się położenie środka ciężkości. Tylko, że położenie środka ciężkości człowieka może się zmieniać w zależności od ustawienia jego ciała. Jeśli ręce będą opuszczone wzdłuż tułowia, będzie on niżej niż w przypadku uniesienia ich w górę. Jeżeli zaś pochylimy się do przodu – środek ciężkości może znajdować się zupełnie poza naszym ciałem (Rys. 2.).

R1ICLoqb1ML3Z

Rys. 2. Na ilustracji widoczny jest rysunek chłopca w trzech pozycjach. Chłopiec znajduje się na poziomej powierzchni. Ubrany jest w ciemne spodnie i zieloną bluzę. Po lewej stronie chłopiec stoi w pozycji na baczność. Jego środek ciężkości znajduje się na wysokości bioder. Nieco w prawo widać tego samego chłopca stojącego z rękoma wyciągniętymi do góry. Jego środek ciężkości znajduje się powyżej bioder, na wysokości przepony. Po prawej stronie rysunku widać ponownie tego samego chłopca w pozycji pochylonej z rękoma opuszczonymi w dół. Jego środek ciężkości znajduje się poniżej pochylonego brzucha poza obrębem jego ciała.

A jakie czynniki wpływają na wysokość skoku na Ziemi i Księżycu? Przyjrzyjmy się analizie opartej na „Fizyce sportu” Krzysztofa Ernsta.

Jeszcze przed lądowaniem człowieka na Księżycu, w 1964 roku, odbyły się „zawody księżycowe”. Szwed H. Carlsson pokonał swego rodaka, byłego mistrza Europy w skoku wzwyż Richarda Dahla, wznosząc się na wysokość 4 metrów, podczas gdy Dahl pokonał poprzeczkę umieszczoną na wysokości 201 cm. W czym tkwiła tajemnica skoku Carlssona? Otóż przymocował on sobie do pleców dwa wypełnione wodorem balony, co spowodowało sześciokrotne zmniejszenie jego ciężaruciężarciężaru.

Rozważmy kolejne fazy skoku, przedstawione na Rys. 3.

R1Sg64MD6PfyX

Rys. 3. Na ilustracji widoczny jest astronauta w różnych fazach wykonywanego skoku. Po lewej stronie ilustracji oznaczonej wielką litera A, widzimy astronautę w kombinezonie i z plecakiem, który przygotowuje się do skoku. Jego kolana są ugięte a środek ciężkości znajduje się w punkcie wielka litera K na wysokości jego bioder. Nieco po prawej stronie ilustracji w pozycji oznaczonej jako wielka litera B, widać tego samego astronautę w pozycji wyprostowanej a jego środek ciężkości znajduje się w punkcie wielka litera K na wysokości przepony. Punkt ten przesuną się o odległość oznaczony czerwoną podwójną i pionową strzałką i zdefiniowaną jako mała litera s. Najbardziej po prawej stronie ilustracji, w pozycji oznaczonej wielka litera C, widać tego samego astronautę unoszącego się nad podłożem. Widać go w pozycji wyprostowanej. Jego środek ciężkości znajduje się w punkcie wielka litera K na wysokości przepony. Punkt ten w stosunku do rysunku wielka litera B jest przesunięty w górę o odległość oznaczoną podwójną czerwoną strzałką z symbolem mała litera h. Wysokość mała litera h jest równa wysokości, na jakiej znajdują się stopy astronauty nad podłożem.

W fazie  A skoczek ma ugięte nogi i środek ciężkości K jest obniżony o s w stosunku do pozycji wyprostowanej - B. Ruch związany z odbiciem skoczka (między fazami A i B) możemy opisać równaniem:

gdzie m – masamasamasa skoczka, a – przyspieszenie, F – siła oddziaływania na podłoże w momencie odbicia, g – przyspieszenie grawitacyjne.

Stąd przyspieszenie:

Przy założeniu, że siła F jest stała jest to ruch jednostajnie przyspieszony, czyli: $s=\frac{a{t}^2}{2}$, $v=at$, gdzie $v$ to prędkość skoczka w momencie odbicia, a $t$ – czas. Łącząc oba równania otrzymujemy znaną zależność:

Wysokość h, na którą wzniesie się skoczek, wyznaczymy korzystając z prawa zachowania energii mechanicznej: energia kinetyczna skoczka w położeniu B zamienia się na energię potencjalną w położeniu C, czyli:

Oznaczmy przyspieszenia grawitacyjne na Ziemi i Księżycu przez gIndeks dolny z_z i  gIndeks dolny k_k, zaś przyspieszenia uzyskane przy odbiciu przez aIndeks dolny z_z i aIndeks dolny k_k. Odległość s jest taka sama w obu przypadkach.

Stosunek wysokości skoku na Księżycu i Ziemi wynosi:

Uwzględniając, że przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi:

Wprowadzając oznaczenia: $y=\frac{h_k}{h_z}$, $x=\frac{F}{m{g}_z}$ otrzymujemy wyrażenie:

które można przedstawić w postaci:

Przyjrzyjmy się, jak wygląda wykres tej funkcji dla x > 0 (Rys. 4.).

RyIDzqroPruvc

Rys. 4. Na ilustracji widoczny jest wykres narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa oznaczona jest, jako mała litera y i skierowana jest w górę. Zaznaczona na niej wartości jeden, sześć i jedenaście. Oś pozioma skierowana jest w prawo i oznaczono ją małą literą x. zaznaczono na niej wartości jeden i dwa. W punkcie mała litera x równa się zero i mała litera y równa się sześć zaznaczono czarny punkt. Przez ten punkt przechodzi cienka, czarna i przerywana linia pozioma. W punkcie mała litera x równa się jeden i mała litera y równa się zero także zaznaczono czarny punkt. Przez ten punkt przechodzi druga cienka i przerywana linia tym razem pionowa. Linie te stanowią asymptoty funkcji narysowanej na wykresie niebieską linią. Funkcja ta dla dodatnich wartości na osiach jest malejąca asymptotycznie do przerywanych linii. Dla ujemnych wartości również jest malejąca. Funkcja ta określona jest wzorem mała litera równa się sześć dodać pięć dzielone na w nawiasie mała litera x minus jeden. Do wykresu tej funkcji należą punkty mała litera x równa się zero i mała litera y równa się jeden, oraz mała litera x równa się dwa i mała litera y równa się jedenaście.

Dla x = 2, czyli przy sile odbicia dwukrotnie większej od ciężaruciężarciężaru skoczka na Ziemi, y = 11, a dla małych wartości x   (1 < x < 2) y silnie rośnie.

Dla przykładu przyjmijmy, że siła odbicia skoczka o wysokości 200 cm i masie 80 kg, który skacze z miejsca na wysokość 50 cm, wynosi 2000 N. Wtedy

a stosunek wysokości skoków na Księżycu i Ziemi wynosi:

Oznacza to, że na Księżycu skoczek podskoczy na wysokość 465 cm! Czy to możliwe?

RmqsPrHhoOoyC

Rys. 5. Na ilustracji widoczne jest zdjęcie astronauty w białym kombinezonie kosmicznym. Astronauta ma wyciągnięte do przodu ręce a na plecach trzyma biały plecak. Astronauta stoi na niewielkim metalowym podnośniku.

Ciekawostka: czy wiesz dlaczego kombinezony astronautów zawsze są białe?
Odpowiedź jest bardzo prosta. W przestrzeni kosmicznej nie ma atmosfery a zatem nic nie chroni astronautów przed promieniowaniem elektromagnetycznym ze Słońca. Kolor biały najlepiej odbija promieniowanie a zatem chroni astronautów. Ten kolor nie jest przypadkowy.

Zwróćmy uwagę, że opis ten jest uproszczony – założyliśmy m. in., że siła odbicia na Ziemi i Księżycu jest taka sama, nie uwzględniliśmy też, że skafander kosmiczny ogranicza ruchy astronauty i zwiększa masę.

Słowniczek