Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Doświadczeniem losowym nazywamy taki eksperyment, który można powtarzać wielokrotnie w jednakowych (lub bardzo zbliżonych warunkach) i którego wyniku nie można jednoznacznie przewidzieć.

Każdy wynik doświadczenia losowego to zdarzenie elementarne. Jeśli w doświadczeniu losowym podamy wszystkie możliwe zdarzenia, to mówimy, że określiliśmy przestrzeń zdarzeń elementarnych. Przestrzeń zdarzeń elementarnychprzestrzeń zdarzeń elementarnychPrzestrzeń zdarzeń elementarnych może być zbiorem skończonym bądź nieskończonym.

W aksjomatycznym ujęciu rachunku prawdopodobieństwa zdarzenie elementarne i przestrzeń zdarzeń elementarnych to pojęcia pierwotne. Aby jednak przybliżyć to ostatnie pojęcie, często przyjmuje się opisową definicję przestrzeni zdarzeń elementarnych.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Definicja: Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzenią zdarzeń elementarnych lub zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych oznaczamy Ω.

W zastosowaniach praktycznych najczęściej interesuje nas nie pojedyncze zdarzenie elementarne rozpatrywanego doświadczenia losowego, ale zbiory tych zdarzeń, czyli podzbiory zbioru Ω. Każdy taki podzbiór (gdy przestrzeń Ω jest skończona), nazywamy zdarzeniem losowym (związanym z rozpatrywanym doświadczeniem losowym).

W dalszych rozważaniach będziemy zakładać, że zbiór Ω jest zbiorem skończonym, a liczbę jego elementów oznaczymy Ω.

Przykład 1

Rzucamy jednocześnie dwoma monetami. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wyników: reszka lub orzeł na pierwszej monecie, reszka lub orzeł na drugiej monecie. Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne.

Ω=R, R, R, O, O, R, O, O

Są cztery zdarzenia elementarne, zatem

Ω=4.

Przykład 2

Rzucamy jednocześnie czworościenną kostką do gry, na ściankach której zapisane są liczby: 1, 1, 3, 5 oraz monetą.

Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary: 1, 3 lub 5 na kostce do gry, reszka lub orzeł na monecie.

Ω=1, R, 3, R, 5, R, 1, O, 3, O, 5, O

Jest sześć zdarzeń elementarnych.

Ω=6.

Przykład 3

Trzy osoby rzucają pierwszy raz w życiu piłką do kosza.

Rzut celny oznaczmy jako 1, niecelny jako 0. Za zdarzenie elementarne przyjmujemy uporządkowane trójki wyników rzutów danych osób.

Przy czym np. zapis 1, 1, 0 oznacza, że dwie pierwsze osoby trafiły piłką do kosza, a trzecia nie trafiła.

Ω=1,1,1, 1,1,0, 1,0,1, 0,1,1, 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1, 0,0,0

Zbiór zdarzeń elementarnych składa się z ośmiu elementów.

Ω=8

W przypadku, gdy liczba zdarzeń elementarnych jest duża, nie wypisujemy ich bezpośrednio, ale staramy się znaleźć ich liczbę. Możemy wtedy posłużyć się modelem graficznym lub wzorami kombinatorycznymi.

Przykład 4

Rzucamy dwa razy kostką do gry.

Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wyników rzutów: w pierwszym rzucie wypadła 1, 2, 3, 4, 5 lub 6, w drugim rzucie wypadła 1, 2, 3, 4, 5 lub 6.

Zbiór Ω określimy najpierw za pomocą tabelki.

W wierszach zapisujemy wyniki pierwszego rzutu, w kolumnach – drugiego rzutu.

Wyniki po dwóch rzutach kostką

1

2

3

4

5

6

1

1,1

2,1

3,1

4,1

5,1

6,1

2

1,2

2,2

3,2

4,2

5,2

6,2

3

1,3

2,3

3,3

4,3

5,3

6,3

4

1,4

2,4

3,4

4,4

5,4

6,4

5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

6

1,6

2,6

3,6

4,6

5,6

6,6

Na podstawie tabelki określamy liczbę zdarzeń elementarnych: Ω=36.

Do określenia liczby zdarzeń elementarnych możemy wykorzystać też informację, że pierwszy element pary wyników wybieramy spośród liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6, więc można go wybrać na 6 sposobów.

Drugi element pary można wybrać również na 6 sposobów.

Zatem liczba wszystkich możliwych par, które możemy uzyskać jest równa 6·6.

Ω=W62=62=36

Przestrzeń zdarzeń elementarnychprzestrzeń zdarzeń elementarnychPrzestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z 36 elementów.

Czasem do określenia liczby elementów przestrzeni zdarzeń elementarnych używamy określenia: moc zbioru.

Czyli w tym przypadku moc zbioru zdarzeń elementarnych jest równa 36.

Przykład 5

Doświadczenie losowe polega na wyborze spośród  12 dziewcząt i 8 chłopców delegacji pięcioosobowej. Obliczymy, z ilu elementów składa się zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.

Mamy obliczyć, na ile sposobów można wybrać delegację spośród 12 dziewcząt i 8 chłopców, czyli spośród 20 osób.

Zauważmy najpierw, że przy wyborze delegacji kolejność wyboru nie jest istotna. Możemy więc skorzystać z kombinacji.

Delegację można więc wybrać na 205 sposobów.

Ω=205=20!5!·15!=16·17·18·19·201·2·3·4·5=15504

Odpowiedź:

Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z 15504 elementów.

Przykład 6

W pudełku leży 6 karteczek, na których zapisane są koleje cyfry: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Wyjmujemy kolejno z pudełka (bez zwracania) trzy karteczki i układamy je w kolejności losowania, tworząc liczby trzycyfrowe. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy utworzone w ten sposób liczby. Obliczymy, ile jest zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

Dokonujemy wyboru kolejno – najpierw pierwszej cyfry, następnie drugiej i wreszcie trzeciej. Tworzymy więc 3 – wyrazowe ciągi z elementów zbioru 6 – elementowego.

Pierwszą cyfrę wybieramy spośród sześciu, drugą spośród pięciu, trzecią spośród czterech.

Ω=6·5·4=120

Odpowiedź:

Zbiór zdarzeń elementarnych składa się ze 120 elementów.

Słownik

przestrzeń zdarzeń elementarnych
przestrzeń zdarzeń elementarnych

przestrzenią  zdarzeń elementarnych lub zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego