Przeczytaj
Doświadczeniem losowym nazywamy taki eksperyment, który można powtarzać wielokrotnie w jednakowych (lub bardzo zbliżonych warunkach) i którego wyniku nie można jednoznacznie przewidzieć.
Każdy wynik doświadczenia losowego to zdarzenie elementarne. Jeśli w doświadczeniu losowym podamy wszystkie możliwe zdarzenia, to mówimy, że określiliśmy przestrzeń zdarzeń elementarnych. Przestrzeń zdarzeń elementarnychPrzestrzeń zdarzeń elementarnych może być zbiorem skończonym bądź nieskończonym.
W aksjomatycznym ujęciu rachunku prawdopodobieństwa zdarzenie elementarne i przestrzeń zdarzeń elementarnych to pojęcia pierwotne. Aby jednak przybliżyć to ostatnie pojęcie, często przyjmuje się opisową definicję przestrzeni zdarzeń elementarnych.
Przestrzenią zdarzeń elementarnych lub zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego.
Zbiór zdarzeń elementarnych oznaczamy .
W zastosowaniach praktycznych najczęściej interesuje nas nie pojedyncze zdarzenie elementarne rozpatrywanego doświadczenia losowego, ale zbiory tych zdarzeń, czyli podzbiory zbioru . Każdy taki podzbiór (gdy przestrzeń jest skończona), nazywamy zdarzeniem losowym (związanym z rozpatrywanym doświadczeniem losowym).
W dalszych rozważaniach będziemy zakładać, że zbiór jest zbiorem skończonym, a liczbę jego elementów oznaczymy .
Rzucamy jednocześnie dwoma monetami. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wyników: reszka lub orzeł na pierwszej monecie, reszka lub orzeł na drugiej monecie. Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne.
Są cztery zdarzenia elementarne, zatem
.
Rzucamy jednocześnie czworościenną kostką do gry, na ściankach której zapisane są liczby: , , , oraz monetą.
Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary: , lub na kostce do gry, reszka lub orzeł na monecie.
Jest sześć zdarzeń elementarnych.
.
Trzy osoby rzucają pierwszy raz w życiu piłką do kosza.
Rzut celny oznaczmy jako , niecelny jako . Za zdarzenie elementarne przyjmujemy uporządkowane trójki wyników rzutów danych osób.
Przy czym np. zapis oznacza, że dwie pierwsze osoby trafiły piłką do kosza, a trzecia nie trafiła.
Zbiór zdarzeń elementarnych składa się z ośmiu elementów.
W przypadku, gdy liczba zdarzeń elementarnych jest duża, nie wypisujemy ich bezpośrednio, ale staramy się znaleźć ich liczbę. Możemy wtedy posłużyć się modelem graficznym lub wzorami kombinatorycznymi.
Rzucamy dwa razy kostką do gry.
Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wyników rzutów: w pierwszym rzucie wypadła , , , , lub , w drugim rzucie wypadła , , , , lub .
Zbiór określimy najpierw za pomocą tabelki.
W wierszach zapisujemy wyniki pierwszego rzutu, w kolumnach – drugiego rzutu.
Wyniki po dwóch rzutach kostką | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Na podstawie tabelki określamy liczbę zdarzeń elementarnych: .
Do określenia liczby zdarzeń elementarnych możemy wykorzystać też informację, że pierwszy element pary wyników wybieramy spośród liczb: , , , , , , więc można go wybrać na sposobów.
Drugi element pary można wybrać również na sposobów.
Zatem liczba wszystkich możliwych par, które możemy uzyskać jest równa .
Przestrzeń zdarzeń elementarnychPrzestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z elementów.
Czasem do określenia liczby elementów przestrzeni zdarzeń elementarnych używamy określenia: moc zbioru.
Czyli w tym przypadku moc zbioru zdarzeń elementarnych jest równa .
Doświadczenie losowe polega na wyborze spośród dziewcząt i chłopców delegacji pięcioosobowej. Obliczymy, z ilu elementów składa się zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.
Mamy obliczyć, na ile sposobów można wybrać delegację spośród dziewcząt i chłopców, czyli spośród osób.
Zauważmy najpierw, że przy wyborze delegacji kolejność wyboru nie jest istotna. Możemy więc skorzystać z kombinacji.
Delegację można więc wybrać na sposobów.
Odpowiedź:
Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z elementów.
W pudełku leży karteczek, na których zapisane są koleje cyfry: , , , , , .
Wyjmujemy kolejno z pudełka (bez zwracania) trzy karteczki i układamy je w kolejności losowania, tworząc liczby trzycyfrowe. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy utworzone w ten sposób liczby. Obliczymy, ile jest zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.
Dokonujemy wyboru kolejno – najpierw pierwszej cyfry, następnie drugiej i wreszcie trzeciej. Tworzymy więc – wyrazowe ciągi z elementów zbioru – elementowego.
Pierwszą cyfrę wybieramy spośród sześciu, drugą spośród pięciu, trzecią spośród czterech.
Odpowiedź:
Zbiór zdarzeń elementarnych składa się ze elementów.
Słownik
przestrzenią zdarzeń elementarnych lub zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego