Przeczytaj

Doświadczeniem losowym nazywamy taki eksperyment, który można powtarzać wielokrotnie w jednakowych (lub bardzo zbliżonych warunkach) i którego wyniku nie można jednoznacznie przewidzieć.

Każdy wynik doświadczenia losowego to zdarzenie elementarne. Jeśli w doświadczeniu losowym podamy wszystkie możliwe zdarzenia, to mówimy, że określiliśmy przestrzeń zdarzeń elementarnych. Przestrzeń zdarzeń elementarnychprzestrzeń zdarzeń elementarnychPrzestrzeń zdarzeń elementarnych może być zbiorem skończonym bądź nieskończonym.

W aksjomatycznym ujęciu rachunku prawdopodobieństwa zdarzenie elementarne i przestrzeń zdarzeń elementarnych to pojęcia pierwotne. Aby jednak przybliżyć to ostatnie pojęcie, często przyjmuje się opisową definicję przestrzeni zdarzeń elementarnych.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Definicja: Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzenią zdarzeń elementarnych lub zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych oznaczamy $Ω$ .

W zastosowaniach praktycznych najczęściej interesuje nas nie pojedyncze zdarzenie elementarne rozpatrywanego doświadczenia losowego, ale zbiory tych zdarzeń, czyli podzbiory zbioru $Ω$ . Każdy taki podzbiór (gdy przestrzeń $Ω$ jest skończona), nazywamy zdarzeniem losowym (związanym z rozpatrywanym doświadczeniem losowym).

W dalszych rozważaniach będziemy zakładać, że zbiór $Ω$ jest zbiorem skończonym, a liczbę jego elementów oznaczymy $|Ω|$ .

Przykład 1

Rzucamy jednocześnie dwoma monetami. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wyników: reszka lub orzeł na pierwszej monecie, reszka lub orzeł na drugiej monecie. Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne.

$Ω = \{(R, R), (R, O), (O, R), (O, O)\}$

Są cztery zdarzenia elementarne, zatem

$|Ω| = 4$ .

Przykład 2

Rzucamy jednocześnie czworościenną kostką do gry, na ściankach której zapisane są liczby: $1$ , $1$ , $3$ , $5$ oraz monetą.

Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary: $1$ , $3$ lub $5$ na kostce do gry, reszka lub orzeł na monecie.

$Ω = \{(1, R), (3, R), (5, R), (1, O), (3, O), (5, O)\}$

Jest sześć zdarzeń elementarnych.

$|Ω| = 6$ .

Przykład 3

Trzy osoby rzucają pierwszy raz w życiu piłką do kosza.

Rzut celny oznaczmy jako $1$ , niecelny jako $0$ . Za zdarzenie elementarne przyjmujemy uporządkowane trójki wyników rzutów danych osób.

Przy czym np. zapis $(1, 1, 0)$ oznacza, że dwie pierwsze osoby trafiły piłką do kosza, a trzecia nie trafiła.

$Ω = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)\}$

Zbiór zdarzeń elementarnych składa się z ośmiu elementów.

$|Ω| = 8$

W przypadku, gdy liczba zdarzeń elementarnych jest duża, nie wypisujemy ich bezpośrednio, ale staramy się znaleźć ich liczbę. Możemy wtedy posłużyć się modelem graficznym lub wzorami kombinatorycznymi.

Przykład 4

Rzucamy dwa razy kostką do gry.

Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wyników rzutów: w pierwszym rzucie wypadła $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ lub $6$ , w drugim rzucie wypadła $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ lub $6$ .

Zbiór $Ω$ określimy najpierw za pomocą tabelki.

W wierszach zapisujemy wyniki pierwszego rzutu, w kolumnach – drugiego rzutu.

Wyniki po dwóch rzutach kostką
	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$	$1, 1$	$2, 1$	$3, 1$	$4, 1$	$5, 1$	$6, 1$
$2$	$1, 2$	$2, 2$	$3, 2$	$4, 2$	$5, 2$	$6, 2$
$3$	$1, 3$	$2, 3$	$3, 3$	$4, 3$	$5, 3$	$6, 3$
$4$	$1, 4$	$2, 4$	$3, 4$	$4, 4$	$5, 4$	$6, 4$
$5$	$1, 5$	$2, 5$	$3, 5$	$4, 5$	$5, 5$	$6, 5$
$6$	$1, 6$	$2, 6$	$3, 6$	$4, 6$	$5, 6$	$6, 6$

Na podstawie tabelki określamy liczbę zdarzeń elementarnych: $|Ω| = 36$ .

Do określenia liczby zdarzeń elementarnych możemy wykorzystać też informację, że pierwszy element pary wyników wybieramy spośród liczb: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , więc można go wybrać na $6$ sposobów.

Drugi element pary można wybrać również na $6$ sposobów.

Zatem liczba wszystkich możliwych par, które możemy uzyskać jest równa $6 \cdot 6$ .

$|Ω| = W_{6}^{2} = 6^{2} = 36$

Przestrzeń zdarzeń elementarnychprzestrzeń zdarzeń elementarnychPrzestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z $36$ elementów.

Czasem do określenia liczby elementów przestrzeni zdarzeń elementarnych używamy określenia: moc zbioru.

Czyli w tym przypadku moc zbioru zdarzeń elementarnych jest równa $36$ .

Przykład 5

Doświadczenie losowe polega na wyborze spośród $12$ dziewcząt i $8$ chłopców delegacji pięcioosobowej. Obliczymy, z ilu elementów składa się zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.

Mamy obliczyć, na ile sposobów można wybrać delegację spośród $12$ dziewcząt i $8$ chłopców, czyli spośród $20$ osób.

Zauważmy najpierw, że przy wyborze delegacji kolejność wyboru nie jest istotna. Możemy więc skorzystać z kombinacji.

Delegację można więc wybrać na $(\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix})$ sposobów.

$|Ω| = (\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{20!}{5! \cdot 15!} = \frac{16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 15504$

Odpowiedź:

Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z $15504$ elementów.

Przykład 6

W pudełku leży $6$ karteczek, na których zapisane są koleje cyfry: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ .

Wyjmujemy kolejno z pudełka (bez zwracania) trzy karteczki i układamy je w kolejności losowania, tworząc liczby trzycyfrowe. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy utworzone w ten sposób liczby. Obliczymy, ile jest zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

Dokonujemy wyboru kolejno – najpierw pierwszej cyfry, następnie drugiej i wreszcie trzeciej. Tworzymy więc $3$ – wyrazowe ciągi z elementów zbioru $6$ – elementowego.

Pierwszą cyfrę wybieramy spośród sześciu, drugą spośród pięciu, trzecią spośród czterech.

$|Ω| = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$

Odpowiedź:

Zbiór zdarzeń elementarnych składa się ze $120$ elementów.

Słownik

przestrzeń zdarzeń elementarnych

przestrzenią zdarzeń elementarnych lub zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego

Wprowadzenie

Animacja

Słownik