Przeczytaj

Metoda prostokątów – implementacja w języku C++

Przykład 1

Napisz program, który wyznaczy pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji $f (x)$ , osią $OX$ oraz równoległymi do osi $OY$ prostymi xPoczatek i xKoniec za pomocą metody prostokątówmetoda prostokątówmetody prostokątów dla liczby przedziałów równej liczbaProstokatow. Wynik zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.

Program przetestuj dla funkcji f(x)=x, xPoczatek = 0, xKoniec = 2 oraz liczby prostokątów równej 2.

Specyfikacja problemu:

Dane:

xPoczatek – liczba rzeczywista; początek przedziału
xKoniec – liczba rzeczywista; koniec przedziału
liczbaProstokatow – liczba naturalna dodatnia; liczba podprzedziałów
f(x) – funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej

Wynik:

Program wypisuje przybliżoną wielkość pola ograniczonego wykresem funkcji f(x), osią $OX$ oraz prostymi xPoczatek i xKoniec wyznaczone metodą prostokątówmetoda prostokątówmetodą prostokątów z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku przy danym przedziale.

Zacznijmy od dołączenia do programu potrzebnych bibliotek i deklaracji przestrzeni nazw. Ponieważ otrzymany wynik mamy zaokrąglić do dwóch miejsc po przecinku, wykorzystamy funkcję round() z biblioteki <cmath>.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

Deklarujemy również funkcję $f (x) = x$ :

double f(double x) {
	return x;
}

W funkcji głównej programu umieścimy dwie zmienne typu double, które będą ograniczeniem rozważanego przedziału. Utworzymy również zmienną wynik, w której będziemy przechowywać przybliżoną wartość pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji $f (x)$ i osią $OX$ w zadanym przedziale [xPoczatek, xKoniec]. Inicjujemy ją wartością zerową:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x) {
	return x;
}
     
int main() {
	double xPoczatek = 0.0, xKoniec = 2.0, wynik = 0.0;
}

Konieczne będzie również zdefiniowanie liczby prostokątów, to znaczy liczby odcinków, na które będziemy dzielić zadany przedział w celu uzyskania dokładniejszego przybliżenia.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x) {
	return x;
}
 
int main() {
	double xPoczatek = 0.0, xKoniec = 2.0, wynik = 0.0;
	int liczbaProstokatow = 2;
}

Następnie obliczamy długość jednego z boków każdego prostokąta. W tym celu przedział [xPoczatek, xKoniec] dzielimy na odcinki o długości równej
(xKoniec - xPoczatek) ÷ liczbaProstokatow. Odcinki te będą podstawami powstałych prostokątów.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x) {
	return x;
}
 
int main() {
	double xPoczatek = 0.0, xKoniec = 2.0, wynik = 0.0;
	int liczbaProstokatow = 2;
     
	double podstawaProstokata = 
		(xKoniec - xPoczatek) / liczbaProstokatow;
}

Tworzymy pętlę iteracyjną, która będzie odpowiadać za obliczanie pól kolejnych prostokątów. Ponieważ zdefiniowaliśmy wcześniej zmienną liczbaProstokatow, musimy zadbać, aby instrukcje w pętli wykonywały się taką samą liczbę razy.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x) {
	return x;
}
 
int main() {
	double xPoczatek = 0.0, xKoniec = 2.0, wynik = 0.0;
	int liczbaProstokatow = 2;
     
	double podstawaProstokata = 
		(xKoniec - xPoczatek) / liczbaProstokatow;
 
	for (int i = 0; i < liczbaProstokatow; i++) {
         
	}
}

Wewnątrz pętli należy dodać do zmiennej wynik obliczone pole aktualnego i-tego prostokąta. Zauważ, że długością wysokości prostokąta jest wartość funkcji w początku przedziału będącego podstawą prostokąta. Jest to wariant metody prostokątów, który nazywamy wariantem lewych prostokątów.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x) {
	return x;
}
 
int main() {
	double xPoczatek = 0.0, xKoniec = 2.0, wynik = 0.0;
	int liczbaProstokatow = 2;
     
	double podstawaProstokata = 
		(xKoniec - xPoczatek) / liczbaProstokatow;
     
	for (int i = 0; i < liczbaProstokatow; i++) {
		wynik += podstawaProstokata * f(xPoczatek + podstawaProstokata * i);
	}
}

Możemy zredukować liczbę zbędnych operacji mnożenia (obliczania pól prostokątów), poprzez wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias. Dzięki temu wewnątrz pętli będą jedynie sumowane wysokości prostokątów, a po jej zakończeniu pomnożymy otrzymaną sumę przez długość podstawy prostokąta.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x) {
	return x;
}
 
int main() {
	double xPoczatek = 0.0, xKoniec = 2.0, wynik = 0.0;
	int liczbaProstokatow = 2;
     
	double podstawaProstokata = 
		(xKoniec - xPoczatek) / liczbaProstokatow;
     
	for (int i = 0; i < liczbaProstokatow; i++) {
		wynik += f(xPoczatek + podstawaProstokata * i);
	}
    
	wynik *= podstawaProstokata;
}

Zaokrąglimy, a następnie wypiszemy wynik stanowiący pole ograniczone wykresem funkcji $f (x)$ w zadanym przedziale za pomocą metody prostokątów.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
double f(double x) {
	return x;
}
 
int main() {
	double xPoczatek = 0.0, xKoniec = 2.0, wynik = 0.0;
	int liczbaProstokatow = 2;
     
	double podstawaProstokata = 
		(xKoniec - xPoczatek) / liczbaProstokatow;
     
	for (int i = 0; i < liczbaProstokatow; i++) {
		wynik += f(xPoczatek + podstawaProstokata * i);
	}
    
	wynik *= podstawaProstokata;
	wynik = round(wynik * 100) / 100;
	cout << wynik << endl;
    
    return 0;
}

Tak napisany program wyznaczy pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji $f (x)$ w zadanym przedziale, czyli w przypadku tego przykładu wartość 1.

Słownik

metoda prostokątów

metoda szacowania wartości całki za pomocą sumy pól prostokątów, będących przybliżeniem obszaru ograniczonego wykresem funkcji i osią $OX$

metoda trapezów

metoda szacowania wartości całki za pomocą sumy pól trapezów, będących przybliżeniem obszaru ograniczonego wykresem funkcji i osią $OX$

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Metoda prostokątów – implementacja w języku C++

Słownik