Ciąg określamy zwykle podając wzór na n–ty wyraz tego ciągu. Można jednak określić ciąg w inny sposób – na przykład rekurencyjnie. Określając ciąg rekurencyjnie, podajemy najczęściej jego pierwszy wyraz (lub kilka początkowych wyrazów) oraz związek między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym.

definicja rekurencyjna ciągu
Definicja: definicja rekurencyjna ciągu

Mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

  • określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),

  • pozostałe wyrazy ciągu są zdefiniowane za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu.

Ten sposób określania ciągu nie jest jednak zbyt wygodny, bo określenie na przykład wyrazu dziesiątego, wymaga znalezienia aż dziewięciu wyrazów go poprzedzających.

Dobrze jest więc umieć znaleźć wzór ogólny danego ciągu, określonego wzorem rekurencyjnym.

Przykład 1

Ciąg an określony jest dla n1 wzorem rekurencyjnym a1=4an+1=an+2.

Znajdziemy wzór na n–ty wyraz tego ciągu.

Wyznaczymy kilka początkowych wyrazów ciągu i ustalimy zależność między wartością wyrazu ciągu, a jego wskaźnikiem.

a1=4

a2=4+2=6=2·2+2

a3=6+2=8=2·3+2

a4=8+2=10=2·4+2

a5=10+2=12=2·5+2

a6=12+2=14=2·6+2

Możemy sformułować hipotezę:

an=2·n+2.

Gdybyśmy chcieli formalnie udowodnić, że ustalony przez nas wzór jest prawdziwy, należałoby skorzystać na przykład z indukcji matematycznej, co jednak wykracza pozna proponowany tu materiał.

Przyjmujemy zatem, że szukany wzór ogólny to

an=2n+2, gdy n1.

Przykład 2

Ciąg an określony jest za pomocą wzoru rekurencyjnego a1=1an+1=5·an, n1.

Podamy wzór na n–ty wyraz tego ciągu.

1 Sposób

Wyznaczamy kilka początkowych wyrazów ciągu i staramy się odkryć zależność między wyrazem ann.

n

an

1

a1=1=50=51-1

2

a2=5·1=5=52-1

3

a3=5·5=25=53-1

4

a4=5·25=125=54-1

5

a5=5·125=625=55-1

...

...

n

an=5n-1

Zauważmy, że poszczególne wyrazy ciągu można zapisać w postaci potęgi liczby 5. Zatem wzór ogólny ciągu to:

an=5n-1 dla n+.

2 Sposób

Na podstawie wzoru rekurencyjnego zapisujemy zależności między wyrazami ciągu.

a2=5a1

a3=5a2

a4=5a3

a5=5a4

a6=5a5

...

an-1=5an-2

an=5an-1

Mnożymy stronami zapisane równości (jest ich n-1).

a2a3a4·...·an-1an=5a1·5a2·...·5an-2·5an-1

Każdy wyraz ciągu an jest różny od zera, zatem możemy obie strony otrzymanej równości  podzielić przez a2a3a4·...·an-1.

Stąd

an=5n-1·a1.

Ponieważ a1=1, więc ostatecznie

an=5n-1 dla n+.

Badanie własności ciągu określonego rekurencyjniedefinicja rekurencyjna ciąguciągu określonego rekurencyjnie jest dość trudne, zatem warto najpierw znaleźć wzór ogólny tego ciągu, a dopiero następnie określać jego własności.

Przykład 3

Zbadamy monotoniczność ciągu an określonego za pomocą wzoru rekurencyjnego a1=9an+1=an+2, n1.

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu i staramy się odkryć zależność między wyrazem ann.

n

an

1

a1=9=9+1-1·2

2

a2=9+2=11=9+2=9+2-1·2

3

a3=11+2=13=9+4=9+3-1·2

4

a4=13+2=15=9+6=9+4-1·2

5

a5=15+2=17=9+8=9+5-1·2

...

...

n

an=9+n-1·2

Znaleziony wzór ogólny ciągu zapiszemy w prostszej postaci.

an=9+n-1·2

an=2n+7

Określamy monotoniczność ciągu.

an+1-an=2n+1+7-2n-7

an+1-an=2n+2-2n=2>0

Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest dodatnia – ciąg jest rosnący.

Przykład 4

Ustalimy, ile wyrazów ciągu an określonego za pomogą wzoru rekurencyjnego a1=15an+1=an+2n-9, n1 jest ujemnych.

Postępując podobnie, jak w poprzednich przykładach, znajdziemy najpierw wzór ogólny ciągu.

Tym razem zauważenie analogicznych zależności między kolejnymi wyrazami ciągu jest trudne.

a1=15=12-10·1+24

a2=15+2·1-9=8=22-10·2+24

a3=8+2·2-9=3=32-10·3+24

a4=3+2·3-9=0=42-10·4+24

a5=0+2·4-9=-1=52-10·5+24

a6=-1+2·5-9=0=62-10·6+24

Na podstawie zapisanych wyżej zależności formułujemy wzór ogólny ciągu.

an=n2-10n+24

Sprawdzimy, czy dla an+1 otrzymamy taki wzór, jak zapisany we wzorze rekurencyjnym.

an+1=n+12-10n+1+24

an+1=n2+2n+1-10n-10+24

an+1=n2-10n+24+2n-9

an+1=an+2n-9a1=1-10+24=15.

Sprawdziliśmy, że otrzymany wzór ogólny jest poprawny.

Określimy teraz, ile wyrazów ciągu jest ujemnych. Rozwiążemy w tym celu nierówność kwadratową

n2-10n+24<0

=100-96=4

n1=10-22=4

n2=10+22=6

Zatem n4,6

Ponieważ n jest liczbą naturalną, więc n=5.

Wynika z tego, że tylko jeden wyraz ciągu jest ujemny. Jest to piąty wyraz ciągu:

a5=-1<0.

Przykład 5

Wykażemy, że żaden wyraz ciągu bn określonego wzorem b1=2bn+1=3bn-2, n1 nie jest równy 0.

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu, aby znaleźć wzór ogólny ciągu.

b1=2

b2=3·2-2=4=3+1=31+1

b3=3·4-2=10=32+1

b4=3·10-2=28=33+1

b5=3·28-2=82=34+1

Formułujemy wzór ogólny ciągu.

bn=3n-1+1 dla n1.

Szukamy wyrazów ciągu, które są równe 0.

3n-1+1=0

13·3n=-1

3n=-3

Dla każdej liczby naturalnej n liczba 3n jest dodatnia. Zatem zapisane równanie jest sprzeczne. Czyli dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność bn>0. Wykazaliśmy więc, że każdy wyraz ciągu bn jest różny od 0, co należało wykazać.

Słownik

definicja rekurencyjna ciągu
definicja rekurencyjna ciągu

mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

  • określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),

  • pozostałe wyrazy ciągu są zdefiniowane za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu