Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$ to równanie

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$.

Rozwiążemy równanie $\frac{3}{x}+\frac{2}{x-1}=0$.

Ustalimy najpierw dziedzinę równania.

$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x-1\ne 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 1\end{array}\right.\right.$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{\mathrm{0,} 1\right\}$

Lewa strona równania jest zapisana za pomocą sumy ułamków algebraicznych.

Sprowadzimy te ułamki do wspólnego mianownika.

$\frac{3\left(x-1\right)+2x}{x\left(x-1\right)}=0$

$\frac{3x-3+2x}{x\left(x-1\right)}=0$

$\frac{5x-3}{x\left(x-1\right)}=0$

Ułamek równa się zero jeżeli licznik ułamka równa się zero.

$5x-3=0$

$5x=3$

$x=\frac{3}{5}\in D$

Rozwiązaniem równania jest liczba $\frac{3}{5}$.

Rozwiążemy równanie wymierne $\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x+4}=2$.

Wyznaczymy dziedzinę równania.

$x+2\ne 0$ i $x+4\ne 0$

$x\ne -2$ i $x\ne -4$

$D=R\setminus \{-4,-2\}$

Sprowadzimy ułamki algebraiczne występujące z lewej strony równania do wspólnego mianownika.

$\frac{\left(x+1\right)\left(x+4\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}=2$

$\frac{x^2+4x+x+4+x^2+2x-x-2}{x^2+4x+2x+8}=2$

$\frac{2x^2+6x+2}{x^2+6x+8}=\frac{2}{1}$

Korzystając z własności proporcji mnożymy „na krzyż”.

$2x^2+6x+2=2x^2+12x+16$

$-6x=14 |:\left(-6\right)$

$x=-\frac{7}{3}\in D$.

Rozwiązaniem równania jest liczba $\left(-\frac{7}{3}\right)$.

Rozwiążemy równanie wymiernerównanie wymiernerównanie wymierne $\frac{2}{x^2-x-2}+\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{x^2-4x+4}$.

Najpierw zapiszemy mianowniki ułamków algebraicznych w postaci iloczynowej.

$\frac{2}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}$

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2, -1, 2\right\}$.

Przeniesiemy wyrażenia na jedną stronę równania i ustalimy wspólny mianownik.

$\frac{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)+\left(x+1\right)\left(x-2\right)-\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right){\left(x-2\right)}^2}=0$

$\frac{2\left(x^2-4\right)+x^2-2x+x-2-x^2-2x-x-2}{\left(x+1\right)\left(x+2\right){\left(x-2\right)}^2}=0$

$\frac{2x^2-8-4x-4}{\left(x+1\right)\left(x+2\right){\left(x-2\right)}^2}=0$

$\frac{2x^2-4x-12}{\left(x+1\right)\left(x+2\right){\left(x-2\right)}^2}=0$

$2x^2-4x-12=0$

$x^2-2x-6=0$

$∆=4+24=28\Rightarrow \sqrt{∆}=2\sqrt{7}$

$x_1=\frac{2-2\sqrt{7}}{2}=1-\sqrt{7}\in D$

$x_2=\frac{2+2\sqrt{7}}{2}=1+\sqrt{7}\in D$

Równanie ma dwa rozwiązania: $1-\sqrt{7}$, $1+\sqrt{7}$.

Rozwiążemy równanie $\frac{2}{x^3+8}-\frac{3}{x^2-4}=\frac{4}{x^2-2x+4}$.

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2, 2\right\}$

Zapiszemy mianowniki ułamków algebraicznych w postaci iloczynowej, wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

$\frac{2}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}-\frac{3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{4}{x^2-2x+4}$.

Najmniejszym wspólnym mianownikiem trzech ułamków będzie iloczyn

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$.

$\frac{2\left(x-2\right)-3\left(x^2-2x+4\right)-4\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=0$

$\frac{2x-4-3x^2+6x-12-4x^2+16}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=0$

$\frac{-7x^2+8x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=0$

$-7x^2+8x=0$

$-x\left(7x-8\right)=0$

$x=0$ lub $x=\frac{8}{7}$

Rozwiązaniem równania są liczby $0$ i $1\frac{1}{7}$.

Rozwiążemy równanie

$\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}+\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}=3$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-6, -5, -4, -3\right\}$.

W rozwiązaniu równania skorzystamy z własności $\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$.

Czyli:

$\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}=3$

$\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+6}=3$

Sprowadzimy lewą stronę równania do wspólnego mianownika.

$\frac{x+6-x-3}{\left(x+3\right)\left(x+6\right)}=3$

$\frac{3}{\left(x+3\right)\left(x+6\right)}=3$

$\left(x+3\right)\left(x+6\right)=1$

$x^2+6x+3x+18=1$

$x^2+9x+17=0$

$∆=81-68=13$

$x_1=\frac{-9-\sqrt{13}}{2}$

$x_2=\frac{-9+\sqrt{13}}{2}$

Rozwiązaniami równania są liczby  $\frac{-9-\sqrt{13}}{2}$, $\frac{-9+\sqrt{13}}{2}$.

równanie $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$ z jedną niewiadomą $x$, gdzie $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$