Równanie $Ax+By+C=0$ nazywamy równaniem ogólnym prostej, gdy $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe $0$.

Proste o równaniach w postaci ogólnej $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ oraz $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ są równoległe, gdy zachodzi warunek:

Sprawdzimy, czy proste o równaniach $2x-3y+5=0$ oraz $-3x+2y-1=0$ są równoległe.

Otrzymujemy dane: $A_1=2$, $A_2=-3$, $B_1=-3$ oraz $B_2=2$.

Podstawiamy dane do równania $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$.

Otrzymujemy w ten sposób $2·2-\left(-3\right)·\left(-3\right)=4-9=-5\ne 0$.

Warunek nie jest spełniony, zatem proste o podanych równaniach nie są równoległe.

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$, proste o równaniach $3x+\left(2-m\right)y+1=0$ oraz $\left(2+m\right)x-4y-3=0$ są równoległewarunek równoległości prostychrównoległe.

Otrzymujemy dane: $A_1=3$, $A_2=2+m$, $B_1=2-m$, $B_2=-4$.

Podstawiamy dane do warunku $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$.

Otrzymujemy równanie $(-4)\cdot 3-(2-m)(2+m)=0$, które sprowadzamy do postaci $m^2=16$.

Równanie jest spełnione dla $m=4$ lub $m=-4$.

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $a$ proste o równaniach $-4x+y-3=0$ oraz $y=ax+1$ są równoległe.

Przekształcimy równanie drugiej prostej do postaci ogólnej: $ax-y+1=0$.

Otrzymujemy dane: $A_1=-4$, $B_1=1$, $A_2=a$, $B_2=-1$.

Podstawiając do równania $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$, otrzymujemy, że $(-4)\cdot (-1)-a=0$, zatem $a=4$.

Wyznaczymy równanie ogólne prostej równoległej do prostej o równaniu $2x-y+5=0$, przechodzącej przez punkt $A=\left(1,2\right)$.

Prostą daną równaniem w postaci ogólnej oznaczymy jako $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$.

Wykorzystamy warunek równoległości $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$.

Otrzymujemy dane: $A_1=2$ i $B_1=-1$.

Po podstawieniu do warunku równoległości otrzymujemy, że $2B_2+A_2=0$.

Przekształcając równanie otrzymujemy $-\frac{A_2}{B_2}=2$.

Zauważmy, że jest to wartość współczynnika kierunkowego $a$ (na podstawie dowodu twierdzenia) dla prostej $y=ax+b$.

Zatem prosta równoległa jest postaci $y=2x+b$.

Jeżeli do równania podstawimy punkt $A=\left(1,2\right)$, to otrzymujemy, że $b=0$.

Szukana prosta ma zatem postać ogólną $2x-y=0$.

Wyznaczymy równanie prostej, której miejscem zerowym jest liczba $2$, równoległej do prostej $x-3y+1=0$.

Prosta równoległa ma równanie $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$.

Wykorzystamy warunek $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$.

Z treści zadania wiemy, że $A_1=1$, $B_1=-3$.

Po podstawieniu do równania otrzymujemy, że $B_2+3A_2=0$, stąd obliczamy współczynnik kierunkowy prostej $-\frac{A_2}{B_2}=\frac{1}{3}$.

Korzystając z postaci kierunkowej, możemy zapisać, że $y=\frac{1}{3}x+b$.

Wiemy, że liczba $2$ jest miejscem zerowym, a zatem współczynnik $b=-\frac{2}{3}$.

Po przekształceniu do postaci ogólnej, szukana prosta równoległa to $x-3y-2=0$.

proste $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ oraz $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ są równoległe, gdy $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$