Przeczytaj
Proste o równaniach w postaci kierunkowej oraz są równoległe, gdy zachodzi warunek (czyli, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy).
Równanie nazywamy równaniem ogólnym prostej, gdy i nie są jednocześnie równe .
Proste o równaniach w postaci ogólnej oraz są równoległe, gdy zachodzi warunek:
Sprowadzimy równania ogólne prostych oraz do postaci kierunkowej.
Otrzymujemy następujące równania kierunkowe prostych : oraz .
Wiemy, że proste w postaci kierunkowej są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy.
Wykorzystując ten warunek otrzymujemy równanie , a dalej , co po przekształceniu daje .
Proste o równaniach ogólnych:
i są zawsze równoległe, gdy i ,
i są zawsze równoległe, gdy i .
Sprawdzimy, czy proste o równaniach oraz są równoległe.
Otrzymujemy dane: , , oraz .
Podstawiamy dane do równania .
Otrzymujemy w ten sposób .
Warunek nie jest spełniony, zatem proste o podanych równaniach nie są równoległe.
Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru , proste o równaniach oraz są równoległerównoległe.
Otrzymujemy dane: , , , .
Podstawiamy dane do warunku .
Otrzymujemy równanie , które sprowadzamy do postaci .
Równanie jest spełnione dla lub .
Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru proste o równaniach oraz są równoległe.
Przekształcimy równanie drugiej prostej do postaci ogólnej: .
Otrzymujemy dane: , , , .
Podstawiając do równania , otrzymujemy, że , zatem .
Wyznaczymy równanie ogólne prostej równoległej do prostej o równaniu , przechodzącej przez punkt .
Prostą daną równaniem w postaci ogólnej oznaczymy jako .
Wykorzystamy warunek równoległości .
Otrzymujemy dane: i .
Po podstawieniu do warunku równoległości otrzymujemy, że .
Przekształcając równanie otrzymujemy .
Zauważmy, że jest to wartość współczynnika kierunkowego (na podstawie dowodu twierdzenia) dla prostej .
Zatem prosta równoległa jest postaci .
Jeżeli do równania podstawimy punkt , to otrzymujemy, że .
Szukana prosta ma zatem postać ogólną .
Wyznaczymy równanie prostej, której miejscem zerowym jest liczba , równoległej do prostej .
Prosta równoległa ma równanie .
Wykorzystamy warunek .
Z treści zadania wiemy, że , .
Po podstawieniu do równania otrzymujemy, że , stąd obliczamy współczynnik kierunkowy prostej .
Korzystając z postaci kierunkowej, możemy zapisać, że .
Wiemy, że liczba jest miejscem zerowym, a zatem współczynnik .
Po przekształceniu do postaci ogólnej, szukana prosta równoległa to .
Słownik
proste oraz są równoległe, gdy