Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Już wiesz

Proste o równaniach w postaci kierunkowej y=a1x+b1 oraz y=a2x+b2 są równoległe, gdy zachodzi warunek a1=a2 (czyli, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy).

R1DPXkIlE2Pgk
równanie ogólne prostej
Definicja: równanie ogólne prostej

Równanie Ax+By+C=0 nazywamy równaniem ogólnym prostej, gdy AB nie są jednocześnie równe 0.

warunek równoległości prostych
Twierdzenie: warunek równoległości prostych

Proste o równaniach w postaci ogólnej A1x+B1y+C1=0 oraz A2x+B2y+C2=0 są równoległe, gdy zachodzi warunek:

A1B2-A2B1=0.
Dowód

Sprowadzimy równania ogólne prostych A1x+B1y+C1=0 oraz A2x+B2y+C2=0 do postaci kierunkowej.

Otrzymujemy następujące równania kierunkowe prostych : y=-A1B1x-C1B1 oraz y=-A2B2x-C2B2.

Wiemy, że proste w postaci kierunkowej są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy.

Wykorzystując ten warunek otrzymujemy równanie -A1B1=-A2B2, a dalej A1B1=A2B2, co po przekształceniu daje A1B2-A2B1=0.

Ważne!

Proste o równaniach ogólnych:

  • A1x+C1=0A2x+C2=0  są zawsze równoległe, gdy A10A20,

  • B1y+C1=0B2y+C2=0 są zawsze równoległe, gdy B10B20.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy proste o równaniach 2x-3y+5=0 oraz -3x+2y-1=0 są równoległe.

Otrzymujemy dane: A1=2, A2=3, B1=3 oraz B2=2.

Podstawiamy dane do równania A1B2-A2B1=0.

Otrzymujemy w ten sposób 2·2--3·-3=4-9=-50.

Warunek nie jest spełniony, zatem proste o podanych równaniach nie są równoległe.

Przykład 2

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru m, proste o równaniach 3x+2-my+1=0 oraz 2+mx-4y-3=0równoległewarunek równoległości prostychrównoległe.

Otrzymujemy dane: A1=3, A2=2+m, B1=2-m, B2=-4.

Podstawiamy dane do warunku A1B2-A2B1=0.

Otrzymujemy równanie (4)3(2m)(2+m)=0, które sprowadzamy do postaci m2=16.

Równanie jest spełnione dla m=4 lub m=-4.

Przykład 3

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru a proste o równaniach -4x+y-3=0 oraz y=ax+1 są równoległe.

Przekształcimy równanie drugiej prostej do postaci ogólnej: ax-y+1=0.

Otrzymujemy dane: A1=-4, B1=1, A2=a, B2=-1.

Podstawiając do równania A1B2-A2B1=0, otrzymujemy, że (4)(1)a=0, zatem a=4.

Przykład 4

Wyznaczymy równanie ogólne prostej równoległej do prostej o równaniu 2x-y+5=0, przechodzącej przez punkt A=1,2.

Prostą daną równaniem w postaci ogólnej oznaczymy jako A2x+B2y+C2=0.

Wykorzystamy warunek równoległości A1B2-A2B1=0.

Otrzymujemy dane: A1=2B1=-1.

Po podstawieniu do warunku równoległości otrzymujemy, że 2B2+A2=0.

Przekształcając równanie otrzymujemy -A2B2=2.

Zauważmy, że jest to wartość współczynnika kierunkowego a (na podstawie dowodu twierdzenia) dla prostej y=ax+b.

Zatem prosta równoległa jest postaci y=2x+b.

Jeżeli do równania podstawimy punkt A=1,2, to otrzymujemy, że b=0.

Szukana prosta ma zatem postać ogólną 2x-y=0.

Przykład 5

Wyznaczymy równanie prostej, której miejscem zerowym jest liczba 2, równoległej do prostej x-3y+1=0.

Prosta równoległa ma równanie A2x+B2y+C2=0.

Wykorzystamy warunek A1B2-A2B1=0.

Z treści zadania wiemy, że A1=1, B1=-3.

Po podstawieniu do równania otrzymujemy, że B2+3A2=0, stąd obliczamy współczynnik kierunkowy prostej A2B2=13.

Korzystając z postaci kierunkowej, możemy zapisać, że y=13x+b.

Wiemy, że liczba 2 jest miejscem zerowym, a zatem współczynnik b=-23.

Po przekształceniu do postaci ogólnej, szukana prosta równoległa to x-3y-2=0.

Słownik

warunek równoległości prostych
warunek równoległości prostych

proste A1x+B1y+C1=0 oraz A2x+B2y+C2=0 są równoległe, gdy A1B2-A2B1=0

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida