Janek, wyjeżdżając na wycieczkę dostał pewną kwotę kieszonkowego. Pierwszego dnia wydał połowę tej kwoty, drugiego dnia trzecią część tego, co mu się zostało. Trzeciego dnia zauważył, że ma w portfelu nie więcej niż $20 \mathrm{zł}$.

Jaka jest maksymalna kwota kieszonkowego, którą mógł otrzymać Janek?

Rozwiązanie:

Przeprowadzimy najpierw analizę zadania:

$x$ – kwota kieszonkowego Jacka,
$\frac{1}{2}x$ – kwota pieniędzy, które Jacek wydał pierwszego dnia,
$\frac{1}{3} ·\frac{1}{2}x$ – kwota pieniędzy, które Jacek wydał drugiego dnia,
$20 \mathrm{zł}$ – maksymalna kwota, jaka została Jankowi w portfelu trzeciego dnia.

Zapiszemy teraz nierówność opisującą sytuację w zadaniu.

$x-\frac{x}{2}-\frac{1}{3}·\frac{1}{2}x\le 20$

$x-\frac{x}{2}-\frac{x}{6}\le 20$

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i przekształcamy nierówności metodą nierówności równoważnych.

$\frac{6x}{6}-\frac{3x}{6}-\frac{x}{6}\le 20$

$\frac{2}{6}x\le 20$

$\frac{1}{3}x\le 20$

$x\le 60$

Czyli maksymalna kwota kieszonkowego Jacka to $60 \mathrm{zł}$.

Zosia na wycieczce wydała czwartą część swojego kieszonkowego i jeszcze $35 \mathrm{zł}$. Zostało jej nie więcej niż $55 \mathrm{zł}$.

Ile pieniędzy kieszonkowego mogła mieć Zosia?

Rozwiązanie:

Niech:

$x$ – oznacza kwotę pieniędzy kieszonkowego Zosi,

$\frac{1}{4}x+35$ – pieniądze wydane przez Zosię na wycieczce.

Zatem możemy ułożyć nierówność, którą rozwiążemy metodą nierówności równoważnychnierówności równoważnenierówności równoważnych.

$x-\left(\frac{1}{4}x+35\right)\le 55$

$x-\frac{1}{4}x-35\le 55$

$\frac{3}{4}x\le 90 |:\frac{3}{4}$

$x\le 120$

Oznacza to, że Zosia miała nie więcej niż $120 \mathrm{zł}$ kieszonkowego. Nie mogła jednak wydać więcej pieniędzy, niż wynosiło jej kieszonkowe. Należy zatem zapisać jeszcze nierówność:

$x\ge \frac{1}{4}x+35$

$x-\frac{1}{4}x\ge 35$

$\frac{3}{4}x\ge 35 |:\frac{3}{4}$

$x\ge 46\frac{2}{3}$

Zatem Zosia miała nie mniej niż $46\frac{2}{3} \mathrm{zł}$ i nie więcej niż $120 \mathrm{zł}$ kieszonkowego.

Niedaleko muzeum znajdują się dwa parkingi. Na parkingu $A$ za pierwszą godzinę parkowania pobiera się opłatę $6 \mathrm{zł}$, a za każdą następną godzinę $3,40 \mathrm{zł}$. Na parkingu $B$ za pierwszą godzinę płaci się $4 \mathrm{zł}$ i $4,20 \mathrm{zł}$ za każdą następną godzinę. Ile co najmniej godzin parkował samochód na parkingu $A$, jeżeli wiadomo, że za tę samą liczbę godzin na parkingu $B$ zapłaciłby więcej?

Rozwiązanie:

Niech:

$6 \mathrm{zł}$ – opłata stała za pierwszą godzinę postoju na parkingu $A$,

$3,40 \mathrm{zł}$ – opłata za każdą godzinę postoju na parkingu $A$, poza pierwszą godziną,

$4 \mathrm{zł}$ – opłata stała za pierwszą godzinę postoju na parkingu $B$,

$4,20 \mathrm{zł}$ – opłata za każdą godzinę postoju na parkingu $B$, poza pierwszą godziną,

$n$ – liczba godzin postoju samochodu na parkingu $A$, za które zapłacono $3,40 \mathrm{zł}$ za godzinę.

Zapiszemy nierówność opisującą warunki zadania.

$6+3,40·n<4+4,20·n$

Rozwiążemy nierówność metodą nierówności równoważnych. Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą stronę nierówności.

Pamiętamy o zmianie znaku na przeciwny.

$3,4n-4,2n<4-6$

$-0,8n<-2$

Dzielimy obie strony nierówności przez $\left(-0,8\right)$ i zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

$-0,8n<-2 |:\left(-0,8\right)$

$n>\frac{-2}{-0,8}$

$n>2,5$

Ponieważ samochód zatrzymał się na parkingu $A$ jeszcze przez pierwszą godzinę w cenie $6 \mathrm{zł}$, zatem

$n+1>3,5$

Odpowiedź:

Samochód na parkingu $A$ parkował co najmniej $4$ godziny.

nierówności, które posiadają taki sam zbiór rozwiązań