Warto przeczytać

RtwvAmrCXYKia

Fot. 1. Zdjęcie przedstawia trening koszykarski odbywający się w zamkniętej hali sportowej. Jeden z koszykarzy uchwycony został w wyskoku podczas rzutu. Podczas pionowego wyskoku, wykonuje rzut ukośny piłką w kierunku kosza. Zawodnik nadaje piłce niezerową prędkość pod kątem w stosunku do kierunku poziomego. Piłka podczas takiego rzutu zbliża się do kosza z prędkością stałą w kierunku poziomym, ale zmienia również swoją wysokość. Ruch w kierunku pionowym nie jest jednostajny, ponieważ na piłkę działa niezrównoważona siła grawitacyjna o przyspieszeniu równym wartości przyspieszenia ziemskiego.

Co to jest rzut ukośny?

To ruch, w którym:

• ciało porusza się w jednorodnym polu grawitacyjnym – czyli takim, w którym przyspieszenie grawitacyjne jest stałe,

• ciało ma prędkośćprędkośćprędkość początkową ${\overrightarrow{v}}_0$, skierowaną pod pewnym kątem do powierzchni Ziemi,

• nie uwzględniamy żadnych oporów ruchu.

Ruch ten odbywa się w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektor przyspieszenia grawitacyjnego oraz wektor prędkości początkowej. Do opisu wielkości wektorowych w tym ruchu wystarczą nam zatem dwie współrzędne.

R7IxP6gVjkgqP

Rys. 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym oś pionowa, oznaczona małą literą y, skierowana w górę, opisuje położenie w pionie, a oś pozioma, opisana małą literą x, skierowana w prawo, symbolizuje położenie w kierunku poziomym. W początku układu współrzędnych widoczny jest czarny punkt symbolizujący położenie początkowe ciała w rzucie ukośnym. Do punktu przyłożono wektor narysowany czerwoną strzałką i opisany jako prędkość początkowa małą literą v z indeksem dolnym zero. Wektor skierowany jest w prawo i w górę, w kierunku dodatnich wartości położenia w pionie i w poziomie.

Przedstawione na Rys. 1. ciało ma prędkość początkową ${\overrightarrow{v}}_0$ skierowaną pod pewnym kątem do powierzchni Ziemi. Przyspieszenie grawitacyjne jest skierowane pionowo w dół. Ruch ciała będziemy rozpatrywać w dwóch kierunkach – oś x umieszczamy równolegle do powierzchni Ziemi, oś y pionowo, a cały układ ustawiamy w taki sposób, by wektor prędkości początkowej znajdował się w płaszczyźnie xy. Początek układu współrzędnych umieszczamy tam, gdzie znajdowało się ciało w chwili t = 0.

Możemy teraz zapisać współrzędne poszczególnych wektorów.

Jedyną siłą działającą na ciało jest siła grawitacji, a więc wartość przyspieszeniaprzyspieszenieprzyspieszenia jest równa przyspieszeniu grawitacyjnemu. Przyspieszenie to skierowane jest pionowo w dół, a więc wektor przyspieszenia będzie miał postać

gdzie g jest wartością przyspieszenia grawitacyjnego.

Prędkość początkowa jest pod pewnym kątem do podłoża, tak więc w ogólności będzie miała niezerowe obie współrzędne.

PołożeniepołożeniePołożenie początkowe to z kolei wektor $\vec{r}_0 = [0;0]$, bo tak zdefiniowaliśmy układ współrzędnych.

Równania ruchu będziemy rozpatrywać oddzielnie dla każdej współrzędnej.

Współrzędna pozioma $a_x$ wektora przyspieszenia wynosi 0, więc wzdłuż osi $x$ ciało porusza się ruchem jednostajnymruch jednostajnyruchem jednostajnym z prędkością $v_{0x}$. Zależność współrzędnej $x$ położenia od czasu wygląda zatem następująco:

Wzdłuż osi $y$ ciało porusza się ruchem jednostajnie zmiennymruch jednostajnie zmiennyruchem jednostajnie zmiennym, a zależności współrzędnej pionowej położenia i prędkości od czasu wyglądają następująco:

Zastanówmy się teraz, jaki jest kształt toru w takim ruchu. Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy wyznaczyć zależność $y(x)$. W tym celu z zależności $x(t)$ wyznaczamy $t$:

i otrzymane wyrażenie wstawiamy do zależności $y(t)$, w ten sposób eliminując z niej czas, a wprowadzając współrzędną $x$:

Otrzymana zależność jest zależnością kwadratową ze względu na $x$, a więc tor rzutu ukośnego jest fragmentem paraboli (Rys. 2.).

RpUH02FVU5N3K

Rys. 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym oś pionowa, opisana małą literą y, skierowana w górę, opisuje położenie w pionie, a oś pozioma, opisana małą literą x, skierowana w prawo, symbolizuje położenie w kierunku poziomym. W początku układu współrzędnych widoczny jest czarny punkt symbolizujący położenie początkowe ciała w rzucie ukośnym. Do punktu przyłożono wektor narysowany czerwoną strzałką i opisany jako prędkość początkowa małą literą v z indeksem dolnym zero. Wektor skierowany jest w prawo i w górę, w kierunku dodatnich wartości położenia w pionie i w poziomie. Na wykresie pokazano funkcję narysowaną niebieską przerywaną linią. Funkcja przedstawia odwróconą parabolę zaczynającą się w początku układu współrzędnych. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie zarówno dla położenia na osi y, jak i na osi x. Najpierw rosnące ramię paraboli pokrywa się z wektorem prędkości początkowej, jednak w miarę wzrostu wartości położenia na osi x, wykres funkcji zaczyna odbiegać w dół od strzałki wektora prędkości początkowej. Punkt, w którym funkcja paraboliczna znów osiąga wartość na osi y równa się zero stanowi koniec wykresu tej funkcji. Punkt ten oznaczono na osi x małą literą x z indeksem dolnym mała litera z. Wartość współrzędnej mała litera x z indeksem dolnym mała litera z stanowi zasięg rzutu ukośnego.

Zasięg rzutu ukośnego to odległość, jaką ciało przebywa w poziomie do momentu upadku na ziemię. Aby tę odległość wyznaczyć, ustalimy najpierw czas trwania ruchu. Ciało zakończy swój ruch na ziemi, tj. gdy jego współrzędna $y$ będzie równa zero. Musimy zatem rozwiązać równanie

Ma ono dwa rozwiązania: $t_0 = 0$, czyli chwila, w której ciało rozpoczyna swój ruch, oraz $t_k=\frac{2v_{0y}}{g}$. To jest właśnie szukany przez nas czas trwania ruchu.

Wyznaczenie zasięgu rzutu sprowadza się więc do obliczenia wartości współrzędnej $x$ w chwili tożsamej z wyznaczonym czasem trwania ruchu,

Słowniczek