Uproszczona metoda stosowania rachunku zdań

Rachunek zdań nieraz jest stosowany do bardzo rozbudowanych zdań wielokrotnie złożonych. Skromną próbkę takich zdań przedstawiliśmy już w ćwiczeniach do tematu Negacja i koniunkcjaP5K0w5df9Negacja i koniunkcja. W jednym z ćwiczeń pojawia się następujące zdanie:

Na pewno chwilę zajęło wam ustalenie, czy jest to zdanie prawdziwe na bazie przyjętych założeń. Pomocna w badaniach tego rodzaju zdań jest pewna uproszczona metoda. Warunkiem jej zastosowania jest wyróżnienie głównych części składowych zdania (tutaj wyróżnionych nawiasami), a potem wyodrębnienie części składowych tych części składowych, idąc za tą metodą aż do najdrobniejszych części, a następnie przyporządkowanie im wartości logicznych i sumowanie ich na każdym poziomie analizy. Oto, jak można to przeprowadzić.

Załóżmy, że:

Teraz musimy podstawić 1 pod każde p i q, a następnie sprawdzić, jak wpływa na to dodany funktor prawdziwościowyfunktor prawdziwościowyfunktor prawdziwościowy.

Wartość podana w ostatnim wierszu tabeli to wartość logiczna całego równania. Metodę tę można z powodzeniem stosować do wszystkich zdań złożonych, jakkolwiek duża nie byłaby liczba ich zdań podrzędnych. Warunkiem przeprowadzenia tej operacji jest, rzecz jasna, znajomość wartości logicznych zdań wyjściowych. Czasami wszak, jeśli znamy wartość logiczną tylko jednego z takich zdań, i tak warto przeprowadzić taką analizę, ponieważ możemy wtedy poznać warunki prawdziwości danego zdania. Przykładowo, może się zdarzyć, że zdanie będzie prawdziwe nawet wtedy, gdy jeden z jego argumentów – ten, którego wartości nie znamy – jest fałszywy.

Alternatywa łączna

W języku polskim do wyrażenia alternatywy używamy wielu słów, np. lub, albo, bądź, a niekiedy czy („ten czy tamten”). Jednak najczęściej używamy lub lub albo. Stosując te wyrazy, nie zawsze sobie uświadamiamy, że mają one nieco odmienny sens, a w logice używa się ich do wyrażenia dwu różnych prawidłowości logicznych, dwu różnych funktorów prawdziwościowych. Pierwszy z nich (lub) to alternatywa łączna, nazywana także zwykłą alternatywą i wyrażana zazwyczaj za pomocą symbolu ∨.

Prawidłowość logiczną, wyrażaną przez lub, a więc funktor prawdziwościowy alternatywy łącznej, ujmujemy za pomocą następującej matrycy:

Przykładowo, weźmy zdanie języka naturalnego:

Karolina lub Karol spędzą w tym roku wakacje w Grecji.

Dla pełni jasności alternatywy powinniśmy je zapisać następująco:

Karolina spędzi w tym roku wakacje w Grecji lub Karol spędzi w tym roku wakacje w Grecji.

Z przytoczonej tu matrycy funktora alternatywy łącznej wynika, że zdanie to jest fałszywe tylko w jednym przypadku, mianowicie kiedy ani Karolina, ani Karol nie spędzą wakacji w Grecji. W każdym innym przypadku zdanie to jest prawdziwe. W przypadku alternatywy łącznej wystarczy, że jeden jej człon jest prawdziwy, żeby całe zdanie było prawdziwe. Oba jej człony również mogą być naraz prawdziwe.

Alternatywa rozłączna

Niekiedy zależy nam, żeby użyć alternatywy w innym, nieco węższym znaczeniu. Wąskość tego znaczenia polega na tym, że zdanie powstałe w wyniku alternatywy w tym znaczeniu jest prawdziwe tylko w dwóch przypadkach, a nie – jak to miało miejsce w alternatywie łącznej – w trzech przypadkach. Alternatywę taką oddajemy najczęściej za pomocą słowa albo (chociaż można też ujmować ją za pomocą bądź) i wyrażamy symbolem ┴. Nazywamy ją rozłączną dlatego, że oddziela od siebie oba zdania podrzędne, ustanawiając, że tylko jedno z nich może być prawdziwe, nigdy oba naraz.

Matryca alternatywy rozłącznej ma następującą postać:

Z powyższej matrycy wynika, że zdanie powstałe na skutek użycia tego funktora prawdziwościowego będzie fałszywe zarówno wtedy, gdy fałszywe okażą się oba jej człony, jak i wtedy, gdy oba jej człony okażą się prawdziwe. Przykładowo weźmy zdanie z poprzedniej części wykładu, tyle że teraz użyjmy słowa albo. Otrzymamy wtedy zdanie:

Karolina spędzi w tym roku wakacje w Grecji albo Karol spędzi w tym roku wakacje w Grecji.

W obecnej postaci zdanie to będzie fałszywe, kiedy okaże się, że zarówno Karolina, jak i Karol spędzą wakacje w Grecji.

Słownik