Przeczytaj
Warto przeczytać
Zaokrąglanie jako element ludzkiej kultury
Zaokrąglanie liczb jest ludzką tendencją, należy do ludzkiej kultury. Jest tak stara, jak umiejętność zliczania. Tendencją starszą zapewne od umiejętności nazywania takich liczb jak tysiąc czy milion. Świadectwem tego jest obecność – we wszystkich bodaj językach – wyrazów zastępujących konkretne liczebniki: dużo, mało, kilka oraz związków frazeologicznych wprost związanych z zaokrąglaniem: mniej więcej dziesięć, około tuzina, niecały mendel, ponad setkę.
W życiu codziennym zaokrąglamy bez stosowania konkretnych reguł – kierujemy się intuicją, obowiązującym nas wzorem kulturowymwzorem kulturowym (Rys. 1.). Oczekujemy przy tym, że takimi samymi, niepisanymi regułami kieruje się nasz rozmówca.
Przykład:
Gdy mówisz, że na spodeczku zostało około tuzina orzeszków, to nikt nie pomyśli, że zostało ich siedem, ani że zostało ich dwadzieścia. Gdy przybywający z odsieczą twierdzi, że przyprowadził ponad setkę wojów, to oblężeni nie spodziewają się ich stu osiemdziesięciu. Nikt nie pyta o dokładne granice przedziału, w którym mieści się liczebność „mniej więcej dziesięć”. Takie pytanie wykracza poza pojęcie zaokrąglania na bazie wzoru kulturowego.
Góral z przypowieści przytoczonej we Wprowadzeniu postąpił niezgodnie ze wzorem kulturowym. Nie zaokrąglił bowiem liczby 100 000 000 3/52 - „sto milionów i trzy pięćdziesiąte drugie”. A turysta miał prawo oczekiwać odpowiedzi „około sto milionów lat”.
Cyfry znaczące jako element ludzkiej kultury
Pierwszym krokiem w kierunku sformalizowania zaokrąglania jest korzystanie – nadal w ramach wzoru kulturowego, a więc nieformalnie i często bezwiednie – z pojęcia cyfr znaczących. Jeśli w sklepie kupujemy jajka i płacimy za tuzin, to wolimy ich dostać dokładnie dwanaście sztuk, a nie około tuzina. To pomaga uniknąć nieporozumień. Ale producent sprzedający hurtowo jajka nie musi być aż tak drobiazgowy – podobnie jego kontrahent. W hurtowym handlu jajkami może panować obyczaj, że pakujemy je w tzw. wytłaczanki po 30 sztuk (Rys. 2.) i sprzedajemy w zgrzewkach zawierających po pięć wytłaczanek.
Gdy kontrahent kupuje kilka takich zgrzewek, to nie przelicza każdego jajka – szkoda na to czasu. Dostawca z kolei, dbając o swe dobre imię, dokłada starań, by każda zgrzewka była pełna, choć raz na jakiś czas może się zdarzyć, że w jakiejś wytłaczance jednego jajka brakuje. Obie strony ufają, że w zgrzewce jajek będzie co najmniej 148, chętniej 149, do 150. Dlatego w ramach tego niepisanego porozumienia producenta z kontrahentem, w liczbie 150 dla obu stron znaczące są: cyfra setek (jedynka) oraz cyfra dziesiątek (piątka). Ostatnia cyfra, jedności, nie jest aż tak znacząca, jak dwie pierwsze.
Uprzedzając nieco wypadki, musimy w tym miejscu zaznaczyć, że taki sposób myślenia powinien wzbudzić sprzeciw fizyka. Kontrahent i jego dostawca łączą w jednym dwa różne pojęcia: cyfry nieznaczącej i cyfry znaczącej niepewnej. Takie postępowanie jest jednak uzasadnione i usankcjonowane w ramach wzoru kulturowego.
Cyfry znaczące a wynik pomiaru
Bardziej obiektywny sposób określania cyfr znaczących związany jest z ich podziałem na pewne i niepewne. Taka możliwość pojawia się, gdy liczby, którymi operujemy, reprezentują wielkości fizyczne i są wynikami pomiarupomiaru. Każdy przyrząd pomiarowy ma określoną rozdzielczośćrozdzielczość, która wynika z jego budowy i sposobu prezentacji wyniku. W przyrządach analogowych jest to najmniejszy odstęp pomiędzy kreskami na podziałce. W przyrządach cyfrowych rozdzielczość odpowiada przeskokowi pomiędzy kolejnymi wartościami na ostatniej, prawej cyfrze wyświetlacza. Tę cyfrę odczytu określamy mianem znaczącej, ale niepewnej. Pozostałe cyfry są znaczące i pewne.
Na Rys. 3. analogowy woltomierz pozwala na odczyt położenia wskazówki z rozdzielczością deltaU = 1 V. Wskutek tego odczytane napięcia są podawane z jedną cyfrą znaczącą (w zakresie do 9 V) albo dwiema cyframi znaczącymi (w zakresie od 10 V). Wskazywane napięcie odczytujemy jako 7 V. Cyfrowy miernik pokazuje to samo napięcie, podając trzy cyfry znaczące: 6,89 V. Napięcia od 10 V (do 20 V, na tym zakresie) podawałby z czterema cyframi znaczącymi, np. 16,89 V.
Przykład:
Rys. 4. przedstawia fragment nieco archaicznego prędkościomierza, pokazującego prędkość pojazdu w kilometrach na godzinę. RozdzielczośćRozdzielczość prędkościomierza to 1 km/h. Na górnym rysunku odczytujemy prędkość vIndeks dolny 11 = 39 km/h (takie zaokrąglenie należy do wzoru kulturowego), na dolnym równie dobrze można odczytać vIndeks dolny 22 = 71 km/h jak i vIndeks dolny 22 = 72 km/h. Ten dylemat, który nie ma jednoznacznego rozstrzygnięcia, nie występuje przy korzystaniu z przyrządów cyfrowych.
Warto wspomnieć, że dopuszcza się intuicyjne interpolowanieinterpolowanie położenia wskazówki w mierniku analogowym; w ten sposób odczytuje się wynik z dodatkową cyfrą znaczącą. Wtedy górny rysunek pozwala odczytać wartość vIndeks dolny 11 = 38,7 km/h (ale wartości 38,6 i 38,8 km/h też byłyby dobre), zaś dolny pokazuje vIndeks dolny 22 = 71,5 km/h. Trzeba jednak pamiętać, że takie interpolowanie nie polepsza ani rozdzielczości, ani dokładności przyrządu – nie zmienia niepewności granicznejniepewności granicznej odczytu.
Wykorzystajmy wartości interpolowaneinterpolowane - odczytane „pomiędzy kreskami” - i obliczmy ile razy szybciej jechał samochód przy drugim odczycie w porównaniu z pierwszym. Obliczamy krotność k, korzystając z kalkulatora:
Czy potrafisz wypowiedzieć tę liczbę? Ale nie w postaci ułamka dziesiętnego („jeden przecinek osiem cztery siedem pięć itd.”), tylko zwykłego: „jeden i 84 biliony 754 miliardy 521 milionów 963 tysiące 824 stubilionowe”. Czy potrafisz ją zinterpretować? Czy nie czujesz się jak turysta z przypowieści? Takie coś na pewno nie należy do wzoru kulturowego. Zapytasz może: czy taka kilkunastocyfrowa dokładność, precyzja, szczegółowość nie są w cenie z naukowego punktu widzenia? Odpowiedź jest prosta: nie! Dlaczego? Bo ta liczba powstała z podzielenia dwóch liczb, które miały po trzy cyfry znaczące. Powinna zostać zaokrąglona, w tej sytuacji najlepiej do takiej samej liczby cyfr znaczących,
Pozostałe cyfry są nieznaczące; dosłownie: nic nie znaczą. Z naukowego punktu widzenia nie wnoszą żadnej informacji – nikt z nich nie ma żadnej korzyści. A poza tym, taki wynik z kilkunastoma cyframi jest nieczytelny i bardzo trudny do przekazania innej osobie.
A na koniec zastanów się, jaki wynik powinien zostać podany zgodnie ze wzorem kulturowymwzorem kulturowym. Czy nie przypadkiem „Za drugim razem prędkość była nieco ponad siedemdziesiąt na godzinę, czyli prawie dwa razy większa niż niecałe czterdzieści, za pierwszym razem.”?
Cyfry znaczące niepewne a niepewność pomiarowa.
Gdy operujemy wielkościami, będącymi wynikiem pomiaru, to dysponujemy także informacją o ich niepewności pomiarowejniepewności pomiarowej. Ta informacja nie tylko wskazuje, które cyfry są znaczące, ale pokazuje także, które z nich są niepewne i na ile są niepewne. Zasady określania takiej niepewności są opisane w e‑materiałach „Jak w praktyce prowadzić pomiar i szacować niepewności pomiarowe?” oraz „Niepewność całkowita”. Przypomnijmy, w punktach, te zasady, które odnoszą się do pojedynczego pomiaru wielkości fizycznej. Wykorzystamy przykład odczytu prędkości v z prędkościomierza opisanego wyżej.
Użycie przyrządu pomiarowego i dokonanie jednego odczytu pozwala bezpośrednio określić niepewność graniczną pomiaruniepewność graniczną pomiaru.
Jest ona oznaczana symbolem deltav.
Wynika ona z właściwości przyrządu, jego konstrukcji i sposobu odczytu.
Przy braku innych informacji (powinien je dostarczyć producent urządzenia) utożsamia się niepewność graniczną z rozdzielczością przyrządu.
Przyjmiemy więc, do dalszych obliczeń, deltav = 1 km/h, niezależnie od wartości v.
Niepewność standardowąNiepewność standardową u(v) określa się za pomocą związku
Tak obliczoną niepewność standardową zaokrągla się do jednej cyfry znaczącej (dopuszczalne jest zaokrąglenie do dwóch cyfr znaczących).
Odczyt, czyli wynik pojedynczego pomiaru podaje się w jednej z dwóch postaci:
Powyższy zapis oznacza, że cyfry dziesiątek oraz jedności są znaczące i pewne, zaś cyfra części dziesiątych jest znacząca, choć niepewna.
Przenoszenie cyfr znaczących i niepewności pomiarowych w operacjach matematycznych
Z wynikami pomiarów możemy wykonywać takie same operacje matematyczne, jak z liczbami, pod warunkiem, że wynikowi operacji będziemy mogli przypisać odpowiednie jednostki.
Przykład
Pierwiastek kwadratowy z prędkości nie może mieć fizycznej interpretacji, gdyż wynik takiej operacji byłby wyrażany w jednostkach „pierwiastek z metra dzielony przez pierwiastek z sekundy”. Taka jednostka nie istnieje, więc pierwiastek z prędkości nie jest wielkością fizyczną. Natomiast kwadrat prędkości jest często używaną wielkością. Za jego pomocą wyrażamy m.in. energię kinetyczną ciała czy siłę dośrodkową.
Uzyskana w wyniku operacji wielkość jest wielkością mierzoną pośrednio, dla której także obliczamy niepewność standardową. Zasady obliczania i zaokrąglania tej niepewności oraz zaokrąglania i zapisywania wyniku są opisane w e‑materiale „Niepewność wielkości mierzonej pośrednio”.
Przykład
Obliczmy, zgodnie z zasadami przytoczonymi w tym e‑materiale, iloraz k prędkości vIndeks dolny 11 i vIndeks dolny 22 oraz jego niepewność pomiarową u(k).
Wynik tej operacji zaokrąglamy z większą liczbą cyfr znaczących, niż trzy. Ostatecznego zaokrąglenia dokonamy po obliczeniu i zaokrągleniu niepewności u(k).
Zaokrąglamy niepewność wyniku do jednej cyfry znaczącej:
Jest to cyfra części setnych, więc wartość k zaokrąglamy do tejże cyfry setnych
Ostateczny wynik podajemy w postaci
Wynik ten potwierdza wcześniejsze przypuszczenie, że iloraz prędkości warto zaokrąglić do trzech cyfr znaczących, z których ostatnia jest niepewna.
Słowniczek
(ang: culture pattern) tutaj: sposób zachowywania się, myślenia, wnioskowania obowiązujący w danej zbiorowości. Sposób ten nie ma formalnego umocowania, wynika bardziej z tradycji, wspólnych doświadczeń historycznych niż ze ścisłych przesłanek naukowych, jest za to akceptowany przez większość członków zbiorowości i stosowany w codziennej praktyce.
(ang.: measurement) zespół czynności, których celem jest wyznaczenie wartości określonych wielkości, będących przedmiotem pomiaru. Wyznaczona wartość zawiera informację, ile razy dana wielkość jest większa lub mniejsza od wartości przyjętej za jednostkę.
(ang.: resolution) najmniejsza zmiana wielkości mierzonej, która wywołuje mierzalną reakcję tego przyrządu. Wyraża się ona w jednostkach wielkości mierzonej.
(ang. interpolation) szacowanie lub obliczanie wartości funkcji f(x) dla argumentu z przedziału (xIndeks dolny 11; xIndeks dolny 22), na podstawie znajomości wartości f(xIndeks dolny 11) oraz f(xIndeks dolny 22). Interpolacja może być stosowana do uzupełnienia brakujących informacji w sposób wiarygodny. Z j. łacińskiego interpolar(e): ‘inter’ – pomiędzy, wewnątrz, ‘polar(e)’ – odnosi się do bieguna (biegunów); tym mianem określano wielkości znane, pomiędzy którymi dokonywano interpolacji.
(ang. measurement uncertainty) wielkość charakteryzująca dokładność wykonanego pomiaru, uwzględniająca ilościowo różne czynniki wpływające na tę dokładność.
(ang. maximum measurement uncertainty) niepewność pomiaru, wykonanego jednokrotnie, wynikająca z konstrukcyjnych cech przyrządu pomiarowego (w tym z jego rozdzielczości) i związanej z nimi skończonej dokładności. Niepewność tę określa producent przyrządu. Niepewność graniczna jest także nazywana niepewnością maksymalną pojedynczego pomiaru.
(ang. uncertainty of measurment) zwana również niepewnością standardową - niepewność pomiaru wielkości fizycznej , oznaczana symbolem u, związana zarówno z rozrzutem wyników (uzyskanych w serii niezależnych pomiarów, dokonanych w powtarzalnych warunkach), jak i z właściwościami przyrządu pomiarowego.
Na zakończenie wróćmy do naszej anegdoty. Profesor w rozmowie z góralem nie podał dokładności wieku góry, a góra faktycznie „zestarzała się” o trzy tygodnie. Zgoda, skoro jednak podał ten wiek nie w dniach czy tygodniach, ale w milionach lat, to jeszcze przynajmniej przez milion lat informacja ta zachowa swą aktualność, pomimo, że miną trzy tygodnie, miesiące, lata czy tysiące lat. Możemy więc „spać spokojnie”, bo przynajmniej przez milion lat góra wciąż będzie liczyć te same 100 milionów.
Z tego typu podawaniem wyników pomiarów spotykamy się często. Pogodynka wyświetla nam na ekranie mnóstwo liczb stanowiących wyniki pomiarów. Wyniki badań i analiz lekarskich też nie zawierają informacji o ich dokładności, podobnie jak wyniki na zawodach sportowych. Podobnych przykładów można podać wiele.
Ale czy na pewno nie zawierają? Owszem, zawierają, ale musimy umieć je zobaczyć w postaci podanego wyniku. Długość skoków narciarskich podawana jest z dokładnością do połowy metra, ale czas biegu na 100 metrów z dokładnością do setnej części sekundy. Wyniki analiz lekarskich zawierają liczby podawane raz z kilkoma cyframi po przecinku, raz ograniczają się do liczby całkowitej. Oznacza to, że kiedy niepewność wyniku pomiaru nie jest podana jako oddzielna liczba, to ostatnia cyfra podawanej wartości charakteryzuje jej niepewność. Jest to oczywiście mniej precyzyjna charakterystyka niż wyliczona wartość niepewności, bo ogranicza się do rzędu wielkości, ale w praktyce ta konwencja jest często stosowana. Wpisał się w nią także nasz profesor z anegdoty o góralu, a u nas omawiamy to w zadaniu 8.
Pamiętaj więc i Ty, kiedy po zakończeniu pomiarów i obliczeń widzisz na ekranie komputera wynik z dokładnością do 12 cyfr znaczących. Czy aby na pewno „znaczących”? Najpierw oszacuj dokładność, a dopiero potem zapisuj wynik, bo wszystkie te cyfry, które odpowiadają wartościom mniejszym od dokładności pomiaru są liczbami przypadkowymi i ich podawanie nie ma żadnego sensu.
To są po prostu te trzy tygodnie górala z naszej anegdoty !