Przeczytaj
Algorytm to zbiór określonych reguł postępowania, które realizowane zgodnie z ustalonym porządkiem umożliwiają rozwiązanie określonego zadania. Jednym z takich algorytmów jest wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Teraz poznasz zastosowanie tego wzoru w obliczeniach arytmetycznych i algebraicznych.
Obliczenia arytmetyczne
Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówWzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów można wykorzystać do szybkiego mnożenia niektórych liczb.
Aby obliczyć przedstawimy jedną z tych liczb w postaci sumy, a drugą w postaci różnicy liczby i liczby . W ten sposób otrzymamy iloczyn sumy przez różnicę tych samych wyrażeń i skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.
W podobny sposób jak w przykładzie pomnożymy .
Stosując poznany wzór skróconego mnożenia, usuniemy niewymierność z mianowników podanych ułamków.
Rozszerzamy ułamek przez , aby zastosować wzór skróconego mnożenia.
W mianowniku ułamka znajduje się suma, zatem rozszerzmy ułamek przez , czyli przez różnicę.
Wykażemy, że liczba jest liczbą wymierną.
Usuniemy niewymierność z mianownika pierwszego ułamka i wykonujemy wskazane działania.
Liczbę można zapisać w postaci ilorazu liczb całkowitych , jest to więc liczba wymierna, co należało wykazać.
Obliczymy wartość wyrażenia
.
Przekształcamy najpierw każdy z pierwiastków.
Zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu, wykonujemy mnożenie i obliczamy pierwiastek.
Postępujemy podobnie – zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu, wykonujemy mnożenie i obliczamy pierwiastek.
Wyrażenie zapisujemy w postaci kwadratu sumy (korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy) i obliczamy pierwiastek.
Wyznaczamy teraz wartość wyrażenia .
Przekształcenia algebraiczne
Wzór zastosujemy teraz do zapisu sum algebraicznych w postaci iloczynów, czyli do rozkładu sum na czynniki.
Rozłożymy na czynniki podane sumy algebraiczne.
, jeśli ,
Pokażemy teraz, jak szybko można rozłożyć na czynniki wielodziałaniowe wyrażenia algebraiczne.
Wzór jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.
Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie , gdy .
Wyłączamy wspólny czynnik w liczniku i mianowniku wyrażenia.
W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci iloczynu.
Skracamy.
Dowodzenie twierdzeń
Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów pozwala na uniknięcie pracochłonnych mnożeń, co jest szczególnie istotne, gdy chcemy szybko uzyskać wynik.
Uzasadnimy, że dla dowolnych liczb całkowitych , liczba jest podzielna przez .
Zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu i redukujemy wyrazy podobne.
Wyłączamy przed nawias i mnożymy przez .
Liczba jest iloczynem liczb oraz . Ponieważ to liczba całkowita, zatem liczba jest podzielna przez .
Słownik
różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę