Przeczytaj

Algorytm to zbiór określonych reguł postępowania, które realizowane zgodnie z ustalonym porządkiem umożliwiają rozwiązanie określonego zadania. Jednym z takich algorytmów jest wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Teraz poznasz zastosowanie tego wzoru w obliczeniach arytmetycznych i algebraicznych.

Obliczenia arytmetyczne

Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówWzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów można wykorzystać do szybkiego mnożenia niektórych liczb.

Przykład 1

Aby obliczyć $21 \cdot 19$ przedstawimy jedną z tych liczb w postaci sumy, a drugą w postaci różnicy liczby $20$ i liczby $1$ . W ten sposób otrzymamy iloczyn sumy przez różnicę tych samych wyrażeń i skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

21 \cdot 19 = (20 + 1) (20 - 1) = 20^{2} - 1^{2} = 400 - 1 = 399

Przykład 2

W podobny sposób jak w przykładzie $1$ pomnożymy $98 \cdot 102$ .

98 \cdot 102 = (100 - 2) (100 + 2) = 100^{2} - 2^{2} = 10000 - 4 = 9996

Przykład 3

Stosując poznany wzór skróconego mnożenia, usuniemy niewymierność z mianowników podanych ułamków.

Rozszerzamy ułamek przez $2 + \sqrt{5}$ , aby zastosować wzór skróconego mnożenia.

\frac{1}{2 - \sqrt{5}} = \frac{1}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = \frac{2 + \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{2 + \sqrt{5}}{- 1} = - 2 - \sqrt{5}

W mianowniku ułamka znajduje się suma, zatem rozszerzmy ułamek przez $9 - 3 \sqrt{7}$ , czyli przez różnicę.

\frac{\sqrt{7}}{9 + 3 \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{9 + 3 \sqrt{7}} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{7}}{9 - 3 \sqrt{7}} = \frac{9 \sqrt{7} - 21}{81 - 63} = \frac{9 \sqrt{7} - 21}{18}

Przykład 4

Wykażemy, że liczba $K = \frac{1 - 2 \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} - \frac{1 + 9 \sqrt{5}}{3}$ jest liczbą wymierną.

Usuniemy niewymierność z mianownika pierwszego ułamka i wykonujemy wskazane działania.

K = \frac{1 - 2 \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} - \frac{1 + 9 \sqrt{5}}{3}

K = \frac{1 - 2 \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} - \frac{1 + 9 \sqrt{5}}{3} =

= \frac{2 + \sqrt{5} - 10 - 4 \sqrt{5}}{4 - 5} - \frac{1 + 9 \sqrt{5}}{3} = 3 \sqrt{5} + 8 - 3 \sqrt{5} - \frac{1}{3} = 7 \frac{2}{3}

Liczbę $7 \frac{2}{3}$ można zapisać w postaci ilorazu liczb całkowitych $\frac{23}{3}$ , jest to więc liczba wymierna, co należało wykazać.

Przykład 5

Obliczymy wartość wyrażenia

$W = \sqrt{113^{3} - 112^{2}} \cdot \sqrt{13^{2} - 12^{2}} + \sqrt{1600 + 720 + 81}$ .

Przekształcamy najpierw każdy z pierwiastków.

Zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu, wykonujemy mnożenie i obliczamy pierwiastek.

\sqrt{113^{3} - 112^{2}} = \sqrt{(113 - 112) (113 + 112)} = \sqrt{1 \cdot 225} = 15

Postępujemy podobnie – zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu, wykonujemy mnożenie i obliczamy pierwiastek.

\sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{(13 - 12) (13 + 12)} = \sqrt{1 \cdot 25} = 5

Wyrażenie $1600 + 720 + 81$ zapisujemy w postaci kwadratu sumy (korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy) i obliczamy pierwiastek.

\sqrt{1600 + 720 + 81} = \sqrt{{(40 + 9)}^{2}} = \sqrt{49^{2}} = 49

Wyznaczamy teraz wartość wyrażenia $W$ .

W = 15 \cdot 5 + 49 = 124

Przekształcenia algebraiczne

Wzór $a^{2} - b^{2}$ zastosujemy teraz do zapisu sum algebraicznych w postaci iloczynów, czyli do rozkładu sum na czynniki.

Przykład 6

Rozłożymy na czynniki podane sumy algebraiczne.

$9 x^{2} - 4 y^{2} = (3 x - 2 y) (3 x + 2 y)$

$81 a^{6} - y^{2} = (9 a^{3} - y) (9 a^{3} + y)$

$7 m^{2} - 2 t^{2} = (\sqrt{7} m + \sqrt{2} t) (\sqrt{7} m - \sqrt{2} t)$

$a^{2} b^{2} - 144 = (a b - 12) (a b + 12)$

$15 - y^{8} = (\sqrt{15} - y^{4}) (\sqrt{15} + y^{4})$

$x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})$ , jeśli $x > 0$ , $y > 0$

Przykład 7

Pokażemy teraz, jak szybko można rozłożyć na czynniki wielodziałaniowe wyrażenia algebraiczne.

{(3 a - 2 b)}^{2} - 4 b^{2} = (3 a - 2 b + 2 b) (3 a - 2 b - 2 b) = 3 a (3 a - 4 b)

{(5 a + 6 b)}^{2} - {(5 a - 6 b)}^{2} = (5 a + 6 b + 5 a - 6 b) (5 a + 6 b - 5 a + 6 b) =

= 10 a \cdot 12 b = 120 a b

Wzór $a^{2} - b^{2}$ jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Przykład 8

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $K = \frac{18 x^{2} - 8 y^{2}}{6 y - 9 x}$ , gdy $y \neq 1,5 x$ .

Wyłączamy wspólny czynnik w liczniku i mianowniku wyrażenia.

K = \frac{18 x^{2} - 8 y^{2}}{6 y - 9 x} = \frac{2 (9 x^{2} - 4 y^{2})}{3 (2 y - 3 x)}

W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci iloczynu.

K = \frac{2 (3 x - 2 y) (3 x + 2 y)}{3 (3 x - 2 y)}

Skracamy.

K = \frac{2 (3 x + 2 y)}{3}

Dowodzenie twierdzeń

Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów pozwala na uniknięcie pracochłonnych mnożeń, co jest szczególnie istotne, gdy chcemy szybko uzyskać wynik.

Przykład 9

Uzasadnimy, że dla dowolnych liczb całkowitych $x$ , $y$ liczba $M = {(5 + 2 x + y)}^{2} - {(5 - 2 x - y)}^{2}$ jest podzielna przez $20$ .

Zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu i redukujemy wyrazy podobne.

M = {(5 + 2 x + y)}^{2} - {(5 - 2 x - y)}^{2} =

= (5 + 2 x + y - 5 + 2 x + y) (5 + 2 x + y + 5 - 2 x - y)

M = (4 x + 2 y) \cdot 10

Wyłączamy $2$ przed nawias i mnożymy przez $10$ .

M = (4 x + 2 y) \cdot 10 = 2 (2 x + y) \cdot 10 = 20 (2 x + y)

Liczba $M$ jest iloczynem liczb $20$ oraz $2 x + y$ . Ponieważ $2 x + y$ to liczba całkowita, zatem liczba $M$ jest podzielna przez $20$ .

Słownik

wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Obliczenia arytmetyczne

Przekształcenia algebraiczne

Dowodzenie twierdzeń

Słownik