Warto przeczytać

Gotując obiad, piekąc mięso czy doprawiając sałatkę, możemy dodać szczyptę soli. Nie jest to jednak miara precyzyjna. Gdyby soli było kilka gramów więcej (lub mniej), nic strasznego by się nie stało. Nieco przesoloną zupę też da się zjeść. Jeśli jednak bylibyśmy farmaceutami przygotowującymi lekarstwa dla chorych, owe kilka gramów miałoby ogromne znaczenie, mogłoby nawet pozbawić kogoś zdrowia lub życia.

Jak widać na podstawie tego przykładu, niektóre wielkości należy obliczać i wyznaczać bardzo dokładnie, wartość innych możemy zaś określać i podawać z dokładnością mniejszą. Zanim jednak przyjrzymy się temu tematowi dokładnie, przypomnijmy sobie, w jaki sposób dokonuje się tych przybliżeń.

Przybliżenia i zaokrąglanie

Z lekcji matematyki wiadomo, że cyfry, w zależności od położenia względem przecinka określane są różnymi mianami, na przykład cyfry: jedności, dziesiątek, setek, tysięcy itd. w przypadku cyfr znajdujących się przed przecinkiem. Gdy  zaś mamy na myśli cyfry po przecinku, to mówimy o częściach dziesiętnych, setnych, tysięcznych itd. Tę strukturę, na przykładzie liczby 348,537 przedstawia rys. 1.

RLCC2OuGCJJYt

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na który widoczny jest schemat zapisu liczby trzysta czterdzieści osiem i pięćset trzydzieści siedem tysięcznych. Rysunek składa się z pionowych, kolorowych prostokątów przyległych do siebie w których dolnych częściach zaznaczono kwadraty o czarnych krawędziach. W kwadratach od lewej widoczne są cyfry odpowiadające poszczególnym cyfrom zapisanej liczby. Pierwszy od lewej prostokąt jest jasnozielony a na jego tle widać czarny napis setki. W kwadracie umieszczonym w dolnej części tego prostokąta widać cyfrę trzy. Jest to liczba setek w zapisie liczby. Drugi od lewej prostokąt jest ciemnozielony a na jego tle widać czarny napis dziesiątki. W kwadracie umieszczonym w dolnej części tego prostokąta widać cyfrę cztery. Jest to liczba dziesiątek w zapisie liczby. Trzeci od lewej prostokąt jest jasnozielony a na jego tle widać czarny napis jednostki. W kwadracie umieszczonym w dolnej części tego prostokąta widać cyfrę osiem. Jest to liczba jednostek w zapisie liczby. Czwarty od lewej prostokąt jest jasnożółty a na jego tle widać czarny napis część dziesiętna. W kwadracie umieszczonym w dolnej części tego prostokąta widać cyfrę pięć. Jest to liczba części dziesiątych w zapisie liczby. Piąty od lewej prostokąt jest żółty a na jego tle widać czarny napis część setna. W kwadracie umieszczonym w dolnej części tego prostokąta widać cyfrę trzy. Jest to liczba części setnych w zapisie liczby. Czwarty od lewej prostokąt jest jasnożółty a na jego tle widać czarny napis część tysięczna. W kwadracie umieszczonym w dolnej części tego prostokąta widać cyfrę siedem. Jest to liczba części tysięcznych w zapisie liczby. Trzy ostatnie cyfry zapisane w prostokątach koloru żółtego i jasnożółtego stanowią cyfry zapisane na miejscach po przecinku. Zaprezentowaną liczbę podano z dokładnością do trzech miejsc po przecinku czyli do jednej tysięcznej części całości.

Zaokrąglając wyniki do wybranej z nich, kierujemy się dwiema regułami:

• gdy następna cyfra po tej, do której zaokrąglamy jest mniejsza od 5 (czyli równa 0, 1, 2, 3 lub 4), to zaokrąglamy w dół (czyli z tak zwanym niedomiarem) – po prostu „odcinając” końcówkę.

• jeżeli cyfra po tej, do której zaokrąglamy jest większa lub równa 5 (5, 6, 7, 8 lub 9), to zaokrąglamy w górę (z nadmiarem) – „odcinając” końcówkę dodajemy wówczas jeden do ostatniej cyfry.

Cyfry znaczące - formalizm rachunku niepewności pomiarowej

Czym są cyfry znacząceZaokrąglanie niepewności pomiarowejcyfry znaczące? Według definicji są to wszystkie cyfry (oprócz zer na początku), których rząd jest większy od niepewności pomiarowej. Nie martwmy się jednak, jeśli niewiele nam mówi to pojęcie. Bardziej obrazowo możemy wytłumaczyć je na prostym przykładzie. Wyobraźmy sobie, że wykonujemy pomiar, którego wynikiem jest 321,57 cm. Niepewność pomiaru wynosi zaś 0,1 cm. Zatem – według definicji – cyframi znaczącymi będą: trzy, dwa, jeden i pięć. Liczbę cyfr znaczących określa się, licząc cyfry od lewej strony z pominięciem występujących na początku zer, zatem liczba 1,23 ma trzy cyfry znaczące, zaś 0,052 – dwie.

Jak to się ma do fizyki? Podając zmierzoną wielkość, zapisujemy liczbę oraz jej niepewność (także jednostki wyniku). Według ogólnie przyjętych zasad niepewność zaokrągla sięZaokrąglanie niepewności pomiarowejniepewność zaokrągla się do dwóch cyfr znaczących. Następnie liczbę otrzymaną w wyniku pomiaru (bezpośredniego lub pośredniego) zaokrągla się do tej samej cyfry, do której wcześniej zaokrągliliśmy niepewność. Brzmi to trochę skomplikowanie, ale jeśli przyjrzymy się przykładowi, okaże się całkiem proste.

Przykład

W wyniku pomiaru wyznaczyliśmy wielkość $g=\mathrm{9,876258}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$ wraz z niepewnością $u\left(g\right)=\mathrm{0,325}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$. W jaki sposób dokonać zaokrągleń?

Należy zaokrąglić niepewność do dwóch cyfr znaczących: $u\left(g\right)=\mathrm{0,33}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$. W tym przypadku jest to zaokrąglenie do części setnych metra na sekundę kwadrat. Następnie zaokrąglamy wynik do tej samej cyfry, czyli do setnych części metra na sekundę kwadrat: $g=\mathrm{9,88}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Cyfry znaczące - zdrowy rozsądek, praktyka i potrzeba

Wiemy już, jak zapisywać i zaokrąglać liczby będące wynikami pomiarów. Każdą wielkość można podać z większym lub mniejszym przybliżeniem. W życiu codziennym bardzo często stosujemy zaokrąglenia, przybliżenia czy szacujemy pewne wielkości. Jednak nie zawsze można tak postępować. Należy kierować się zdrowym rozsądkiem, biorąc pod uwagę to, jaki jest cel postępowania. Podobnie w fizyce. Przyjrzyjmy się kilku przykładom.

Dwa przykłady – obliczanie masy

1. Jeśli mamy za zadanie wyznaczyć masę samochodu poruszającego się z określonym przyspieszeniem a pod wpływem siły F, możemy podać wynik z dokładnością nawet do kilku procent. Przeszacowanie czy niedoszacowanie masy półtoratonowego samochodu o kilkadziesiąt kilogramów nie musi mieć wielkiego znaczenia.
Kto zaś wynik dzielenia 4700 N przez 2,9 m/sIndeks górny 2² (w takim zadaniu) podałby jako 1 620,689655 kg, naraziłby się na śmieszność. Nawet wynik 1621 kg wygląda „podejrzanie”. Bardziej zgodne ze zdrowym rozsądkiem jest 1620 kg albo wręcz 1600 kg.

2. Jeśli jednak będziemy obliczać defekt masy jądra atomowego (Rys. 2.), musimy przyjąć większą dokładność, niż jeden procent.

R19i3lrolql4P

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczna jest hipotetyczna reakcja polegająca na zderzeniu dwóch neutronów i dwóch protonów. Po lewej stronie ilustracji widać dwa neutrony w postaci niebieskich kulek z białymi literami mała litera n w środku. Jeden z nich widoczny jest w lewej i dolnej części rysunku a drugi w prawej i górnej części rysunku. Z ich środka wychodzą czarne strzałki skierowane do środka tej części ilustracji. Dwa protony widoczne są w postaci czerwonych kulek z czarnymi i małymi literami mała litera p w środku. Jeden z protonów widoczny jest w prawej i górnej części ilustracji a drugi w lewej i dolnej części. Z protonów wychodzą także czarne strzałki skierowane do centrum tej części ilustracji. W środku, pomiędzy nukleonami widoczny jest nieregularny, kanciasty i żółty kształt symbolizujący ich zderzenie. Obok tej części ilustracji, po prawej stronie widoczna jest zielona, pozioma i gruba strzałka skierowana w prawo. Wskazuje ona na rezultat zderzenia. Wynik zderzenia to powstanie jądra helu cztery, dwa. Widoczna jest ona jako zlepione dwie czerwone i dwie niebieskie kulki. Czerwone kulki symbolizują protony a niebieskie neutrony składające się na jądro helu. Jądro helu podpisane jest czarnym kolorem indeks górny cyfra cztery, indeks dolny cyfra dwa i wielka litera H i mała litera e. W górnej i dolnej części jądra helu widoczne są dwie zielone gwiazdki przypominające rozbłysk. Z gwiazdek wychodzą czarne strzałki, skierowane do zewnątrz i podpisane małymi greckimi literami gamma. Symbolizują one emisję dwóch kwantów promieniowania elektromagnetycznego, z zakresu promieniowania małą grecka litera gamma, które postały w wyniku zderzenia nukleonów. Po rysunkiem widoczna jest nierówność zapisana czarnym kolorem. Wynika z niej, że suma mas dwóch neutronów dwa razy mała litera m z indeksem dolnym mała litera n i dwóch protonów dwa razy mała litera m z indeksem dolnym mała litera p biorących udział w zderzeniu jest większa niż masa jądra helu małą litera m z indeksem dolnym wielka litera H i małą litera e.

Gdy obliczamy defekt masy jądra ${}_2^4\mathrm{\text{He}}$ przyjmujemy największą dokładność dostępną w tablicach.

Masa produktu (${}_2^4\mathrm{\text{He}}$) wynosi $m_{{}_2^4\mathrm{\text{He}}}=4,\mathrm{00150\; u}.$ Jądro to zawiera dwa protony o masie $m_p=1,\mathrm{00727\; u}$ i dwa neutrony o masie $m_n=1,\mathrm{00866\; u}$.
Zatem suma mas nukleonów (składników jądra) to $\mathrm{4,03186\; u}$, a deficyt masy to

Gdybyśmy zaś zastosowali zaokrąglenia do dwóch cyfr znaczących:

dałoby nam - w tym przybliżeniu - zerowy deficyt masy:

i uniemożliwiłoby przeprowadzanie dalszych obliczeń i wyciąganie wniosków.

Podsumowanie

Nie tylko w fizyce jądrowej, ale także i w innych dziedzinach nauki i techniki, nie można swobodnie stosować zaokrągleń. Z jednej strony ważna może być jak największa dokładność, dostępna w zadanych warunkach. Z drugiej strony zdrowy rozsądek i praktyka podpowiadają, że wynik w postaci „harmonii cyfr” może być nieczytelny, a przez to nie tylko nieużyteczny, ale czasami także mylący. 
Doskonałym przykładem jest tutaj fizyka medyczna. Specjalistę z tej dziedziny spotkać można w każdym szpitalu. To właśnie on odpowiada - między innymi - za prawidłowe działanie sprzętu służącego do obrazowania, a w przypadku planowania leczenia – za ustalanie sposobu i dawki promieniowania, jaką otrzyma pacjent. Nawet kilkumilimetrowe przesunięcie może być wtedy niebezpieczne – z tego względu, wykonując obliczenia, unika się w takich sytuacjach przybliżeń i zaokrągleń, jeśli to tylko możliwe.

Jak widać powyżej, każdą wielkość można zmierzyć, obliczyć lub po prostu podać z mniejszą bądź większą dokładnością. Decyzja o tym, jak postąpimy, zależy przede wszystkim od sytuacji. W fizyce, tak jak i w życiu codziennym, musimy dokonywać wyborów zarówno uwzględniając wymagania formalne, jak i zdroworozsądkowo. Niepewność pomiaru, zaokrągloną do dwóch cyfr znaczących, przyjmuje się jako wzorzec i przybliża się mierzone wielkości zgodnie z tą niepewnością. W niektórych jednak przypadkach należy zastanowić się, czy większa dokładność nie będzie korzystniejsza. Wtedy jednak musimy powtórzyć pomiar i uzyskać mniejszą jego niepewność.

Słowniczek