Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Parametry statystyczne

Dane statystyczne przedstawione w postaci uporządkowanego szeregu statystycznego, tablic bądź wykresów, można poddać analizie, której zadaniem jest wykrycie prawidłowości i związków zachodzących w badanej zbiorowości, co w konsekwencji może posłużyć do ustalenia przyczyn kształtowania się danego zjawiska.

Do analizy danych wykorzystywane są parametry statystyczne (zwane też miarami statystycznymi lub charakterystykami liczbowymi).

Do podstawowych parametrów opisujących strukturę zbiorowości statystycznych należą miary tendencji centralnej (np. średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaśrednia arytmetyczna, średnia ważona, dominanta) i miary rozproszenia (np. wariancja, odchylenie standardowe).

Miary tendencji centralnej (zwane miarami średnimi, przeciętnymi) charakteryzują przeciętny poziom badanego zjawiska. Przyjmują takie wartości, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy statystycznej. Są to miary mianowane, wyznaczane dla cech mierzalnych.

Miary rozproszenia (miary rozrzutu, odchylenia, dyspersji) informują jakie są różnice między poszczególnymi wartościami jednostek statystycznych, a ich wartością średnią. Pokazują stopień zróżnicowania między sobą jednostek statystycznych pod względem badanej cechy.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna (zwana też krótko średnią) jest jedną z miar tendencji centralnej, umożliwiającą formułowanie obiektywnych wniosków dotyczących zebranych danych liczbowych.

Średnia arytmetyczna
Definicja: Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb x1, x2, ..., xn nazywamy liczbę x¯ określoną wzorem

x¯=x1+x2+...+xnn

Średnia arytmetyczna może przyjmować wartości, nie występujące w badanym zbiorze danych. Jest wielkością mianowaną, czyli jest wyrażona w takich samych jednostkach jak badana cecha.

Przykład 1

Pewien zakład pracy zatrudnia 4 pracowników. W maju pracownicy  przepracowali odpowiednio: 160 godzin, 220 godzin, 140 godzin, 180 godzin. Obliczymy średnią godzin przepracowanych w maju przez jednego pracownika.

Rozwiązanie:

Zbiorowość statystyczną tworzą pracownicy zakładu pracy. Jest 4 pracowników, zatem liczba jednostek statystycznych to n=4.

Badana cecha to liczba przepracowanych godzin. Wartości tej cechy:

x1=160 godzin, x2=220 godzin, x3=140 godzin, x4=180 godzin.

Wykonujemy obliczenia, podstawiając wyznaczone liczby do wzoru na średnią arytmetyczną.

x¯=160+220+140+1804=7004

x¯=175 godzin

Odpowiedź:

Średnio w maju pracownik przepracował 175 godzin. Dwóch pracowników przepracowało mniej godzin, a dwóch więcej od średniej.

Obliczając średnią arytmetyczną, należy uwzględnić wszystkie wartości danego zbioru. Oznacza to, że zmiana któregokolwiek z elementów zbioru danych prowadzi do zmiany wartości średniej.

Należy przy tym pamiętać, że średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaśrednia arytmetyczna nie może przyjmować wartości niższej niż najmniejsza wartość badanej cechy oraz wyższej niż największa wartość badanej cechy.

Przykład 2

Średnie miesięczne wynagrodzenie w firmie zatrudniającej 9 pracowników wynosiło 3600 . Zatrudniono nowego pracownika i teraz średnie miesięczne wynagrodzenie wzrosło o 5%. Obliczymy ile zarabia nowo zatrudniony pracownik.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
x1  – zarobki pierwszego pracownika,
x2  – zarobki drugiego pracownika,
...
x9  – zarobki dziewiątego pracownika,
x10  – zarobki dziesiątego, nowo przyjętego pracownika.

Wtedy:

x1+x2++x99=3600

Stąd:

x1+x2+...+x9=32400

Po zatrudnieniu nowego pracownika średnia arytmetyczna zarobków wzrosła i wynosi teraz:

105%·3600=3780 

Podstawiając uzyskane dane do wzoru na średnią arytmetyczną, wyznaczymy wynagrodzenie nowo zatrudnionego pracownika.

x1+x2+x9+x1010=3780 |·10

x1+x2+...+x9+x10=37800

32400+x10=37800

x10=5400 

Odpowiedź:

Nowo zatrudniony pracownik zarabia 5400 .

W niektórych przypadkach średnią możemy obliczyć korzystając z tego, że jeżeli każdą z liczb x1, x2, ..., xn zwiększymy (lub zmniejszymy) o liczbę k, to średnia zwiększy się (lub zmniejszy) również o liczbę k.

Przykład 3

Obliczymy średnią arytmetyczną liczb: 16, 15, 18, 24, 26, 19, 22.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wszystkie liczby z rozważanego zestawu są „bliskie” liczbie 20.

Zapisujemy więc każdą z tych liczb w postaci sumy (różnicy), której jednym ze składników jest liczba 20.

16=20-4

15=20-5

18=20-2

24=20+4

26=20+6

19=20-1

22=20+2

Obliczamy średnią arytmetyczną tak zapisanych liczb.

x¯=20-4+20-5+20-2+20+4+20+6+20-1+20+27

x¯=7·20+-4-5-2+4+6-1+27

x¯=20+-12+122=20+0=20

Odpowiedź:

Średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaŚrednia arytmetyczna zestawu podanych liczb jest równa 20.

Niech AB będą zbiorami dwóch różnych danych liczbowych. Średnia xA¯ niech będzie średnią arytmetyczną liczb ze zbioru A, średnia xB¯ niech będzie średnią arytmetyczną liczb ze zbioru B.

Niech C będzie zbiorem utworzonym ze wszystkich liczb zbioru A i zbioru B oraz x¯ niech będzie średnią liczb ze zbioru C. Wtedy średnia arytmetyczna liczb xA¯xB¯ nie musi być równa liczbie x¯.

Przykład 4

W grupie znajomych są 3 kobiety i 5 mężczyzn. Każda z kobiet ma 18 lat. Natomiast każdy z mężczyzn ma 20 lat.

Średnia wieku kobiet wynosi więc 18 lat, a mężczyzn 20 lat. Czy z tego wynika, że średnia wieku całej grupy jest równa 18+202=19 lat?

Obliczmy:

18+18+18+20+20+20+20+203+5=1548=19,25

Otrzymaliśmy inny wynik, gdyż liczba kobiet nie była równa liczbie mężczyzn!

Dotychczas określaliśmy średnią arytmetyczną zestawu danych przedstawionego w postaci szeregu indywidualnego, teraz pokażemy, jak można wyznaczyć średnią liczb zapisanych w postaci szeregu rozdzielczego punktowego.

Przykład 5

Piotrek obliczył, że na 15 początkowych stronach książki, którą czyta, znajduje się następująca liczba wierszy: 30, 26, 26, 32, 26, 26, 30, 30, 24, 32, 26, 26, 24, 30, 32.

Obliczymy średnią liczbę wierszy na jednej stronie tej książki.

Rozwiązanie:

I sposób:

Obliczamy średnią, korzystając z danych indywidualnych.

x¯=30+26+26+32+26+26+30+30+24+32+26+26+24+30+3215

x¯=42015=28

II sposób:

Zapisujemy dane w postaci szeregu rozdzielczego.

Liczba wierszy na stronie

24

26

30

32

Liczba stron

2

6

4

3

Zauważmy, że sumę wierszy możemy teraz obliczyć jako sumę iloczynów liczb wierszy na stronie i liczb stron.

24·2+26·6+30·4+32·3=420

Obliczamy średnią.

x¯=42015=28

Odpowiedź:

Średnia liczba wierszy na 15 początkowych stronach książki wynosi 28.

Słownik

średnia arytmetyczna
średnia arytmetyczna

średnia arytmetyczna liczb x1, x2, ..., xn to liczba x¯ określona wzorem

x¯=x1+x2+...+xnn