Przeczytaj
Parametry statystyczne
Dane statystyczne przedstawione w postaci uporządkowanego szeregu statystycznego, tablic bądź wykresów, można poddać analizie, której zadaniem jest wykrycie prawidłowości i związków zachodzących w badanej zbiorowości, co w konsekwencji może posłużyć do ustalenia przyczyn kształtowania się danego zjawiska.
Do analizy danych wykorzystywane są parametry statystyczne (zwane też miarami statystycznymi lub charakterystykami liczbowymi).
Do podstawowych parametrów opisujących strukturę zbiorowości statystycznych należą miary tendencji centralnej (np. średnia arytmetycznaśrednia arytmetyczna, średnia ważona, dominanta) i miary rozproszenia (np. wariancja, odchylenie standardowe).
Miary tendencji centralnej (zwane miarami średnimi, przeciętnymi) charakteryzują przeciętny poziom badanego zjawiska. Przyjmują takie wartości, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy statystycznej. Są to miary mianowane, wyznaczane dla cech mierzalnych.
Miary rozproszenia (miary rozrzutu, odchylenia, dyspersji) informują jakie są różnice między poszczególnymi wartościami jednostek statystycznych, a ich wartością średnią. Pokazują stopień zróżnicowania między sobą jednostek statystycznych pod względem badanej cechy.
Średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna (zwana też krótko średnią) jest jedną z miar tendencji centralnej, umożliwiającą formułowanie obiektywnych wniosków dotyczących zebranych danych liczbowych.
Średnią arytmetyczną liczb nazywamy liczbę określoną wzorem
Średnia arytmetyczna może przyjmować wartości, nie występujące w badanym zbiorze danych. Jest wielkością mianowaną, czyli jest wyrażona w takich samych jednostkach jak badana cecha.
Pewien zakład pracy zatrudnia pracowników. W maju pracownicy przepracowali odpowiednio: godzin, godzin, godzin, godzin. Obliczymy średnią godzin przepracowanych w maju przez jednego pracownika.
Rozwiązanie:
Zbiorowość statystyczną tworzą pracownicy zakładu pracy. Jest pracowników, zatem liczba jednostek statystycznych to .
Badana cecha to liczba przepracowanych godzin. Wartości tej cechy:
godzin, godzin, godzin, godzin.
Wykonujemy obliczenia, podstawiając wyznaczone liczby do wzoru na średnią arytmetyczną.
godzin
Odpowiedź:
Średnio w maju pracownik przepracował godzin. Dwóch pracowników przepracowało mniej godzin, a dwóch więcej od średniej.
Obliczając średnią arytmetyczną, należy uwzględnić wszystkie wartości danego zbioru. Oznacza to, że zmiana któregokolwiek z elementów zbioru danych prowadzi do zmiany wartości średniej.
Należy przy tym pamiętać, że średnia arytmetycznaśrednia arytmetyczna nie może przyjmować wartości niższej niż najmniejsza wartość badanej cechy oraz wyższej niż największa wartość badanej cechy.
Średnie miesięczne wynagrodzenie w firmie zatrudniającej pracowników wynosiło . Zatrudniono nowego pracownika i teraz średnie miesięczne wynagrodzenie wzrosło o . Obliczymy ile zarabia nowo zatrudniony pracownik.
Rozwiązanie:
Oznaczmy:
– zarobki pierwszego pracownika,
– zarobki drugiego pracownika,
...
– zarobki dziewiątego pracownika,
– zarobki dziesiątego, nowo przyjętego pracownika.
Wtedy:
Stąd:
Po zatrudnieniu nowego pracownika średnia arytmetyczna zarobków wzrosła i wynosi teraz:
Podstawiając uzyskane dane do wzoru na średnią arytmetyczną, wyznaczymy wynagrodzenie nowo zatrudnionego pracownika.
Odpowiedź:
Nowo zatrudniony pracownik zarabia .
W niektórych przypadkach średnią możemy obliczyć korzystając z tego, że jeżeli każdą z liczb zwiększymy (lub zmniejszymy) o liczbę , to średnia zwiększy się (lub zmniejszy) również o liczbę .
Obliczymy średnią arytmetyczną liczb: , , , , , , .
Rozwiązanie:
Zauważmy, że wszystkie liczby z rozważanego zestawu są „bliskie” liczbie .
Zapisujemy więc każdą z tych liczb w postaci sumy (różnicy), której jednym ze składników jest liczba .
Obliczamy średnią arytmetyczną tak zapisanych liczb.
Odpowiedź:
Średnia arytmetycznaŚrednia arytmetyczna zestawu podanych liczb jest równa .
Niech i będą zbiorami dwóch różnych danych liczbowych. Średnia niech będzie średnią arytmetyczną liczb ze zbioru , średnia niech będzie średnią arytmetyczną liczb ze zbioru .
Niech będzie zbiorem utworzonym ze wszystkich liczb zbioru i zbioru oraz niech będzie średnią liczb ze zbioru . Wtedy średnia arytmetyczna liczb i nie musi być równa liczbie .
W grupie znajomych są kobiety i mężczyzn. Każda z kobiet ma lat. Natomiast każdy z mężczyzn ma lat.
Średnia wieku kobiet wynosi więc lat, a mężczyzn lat. Czy z tego wynika, że średnia wieku całej grupy jest równa lat?
Obliczmy:
Otrzymaliśmy inny wynik, gdyż liczba kobiet nie była równa liczbie mężczyzn!
Dotychczas określaliśmy średnią arytmetyczną zestawu danych przedstawionego w postaci szeregu indywidualnego, teraz pokażemy, jak można wyznaczyć średnią liczb zapisanych w postaci szeregu rozdzielczego punktowego.
Piotrek obliczył, że na początkowych stronach książki, którą czyta, znajduje się następująca liczba wierszy: , , , , , , , , , , , , , , .
Obliczymy średnią liczbę wierszy na jednej stronie tej książki.
Rozwiązanie:
I sposób:
Obliczamy średnią, korzystając z danych indywidualnych.
II sposób:
Zapisujemy dane w postaci szeregu rozdzielczego.
Argumenty i Wartości | ||||
---|---|---|---|---|
Liczba wierszy na stronie | ||||
Liczba stron |
Zauważmy, że sumę wierszy możemy teraz obliczyć jako sumę iloczynów liczb wierszy na stronie i liczb stron.
Obliczamy średnią.
Odpowiedź:
Średnia liczba wierszy na początkowych stronach książki wynosi .
Słownik
średnia arytmetyczna liczb to liczba określona wzorem