Rozwiążmy graficznie nierówność wymiernąnierówność wymiernanierówność wymierną: $\frac{2x-6}{x-5}\le 4x-18$.

Rozwiązanie:

Niech $f\left(x\right)=\frac{2x-6}{x-5}$, gdzie $x\ne 5$ i $g\left(x\right)=4x-18$.

Przekształćmy wzór funkcji  $f\left(x\right)=\frac{2x-6}{x-5}$ do postaci kanonicznej

$\frac{2x-6}{x-5}=\frac{2\left(x-5\right)+4}{x-5}=\frac{2\left(x-5\right)}{x-5}+\frac{4}{x-5}=\frac{4}{x-5}+2$.

Zatem wykres funkcji $f$ powstaje w następujący sposób:

$y_1=\frac{4}{x}\stackrel{\overrightarrow{U}=\left[5;2\right]}{\to }f\left(x\right)=\frac{4}{x-5}+2$.

Sporządzamy wykres funkcji $f$ i $g$ w układzie współrzędnych.

RNl05lgN7IHxL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią Y od minus 4 do siedmiu oraz poziomą osią X od minus 3 do dziewięciu. Zaznaczono na nim hiperbolę f z asymptotami $y=2$ oraz $x=5$ przecinającymi się w pierwszej ćwiartce układu. Hiperbole f przecina prosta g. Punkty przecięcia to $\left(4;-2\right)$ i $\left(6;6\right)$ prosta przechodzi również przez punkt przecięcia asymptot.

Rozwiążmy nierówność $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$.

RtceC4ePUByFT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią Y od minus 4 do siedmiu oraz poziomą osią X od minus 3 do dziewięciu. Zaznaczono na nim hiperbolę f z asymptotami $y=2$ oraz $x=5$ przecinającymi się w pierwszej ćwiartce układu. Hiperbole f przecina prosta g. Punkty przecięcia to $\left(4;-2\right)$ i $\left(6;6\right)$ prosta przechodzi również przez punkt przecięcia asymptot. Punkty przecięcia hiperbol zaznaczono żółtym punktem.

Odpowiedź: Wszystkie rozwiązania nierówności należą do zbioru $\left.⟨4;5\right)\cup \left.⟨6;+\infty \right)$.

Rozwiążmy graficznie nierówność $\left|\frac{6x+6}{x-1}\right|\ge \left|x+1\right|$.

Rozwiązanie:

Niech $f\left(x\right)=\left|\frac{6x+6}{x-1}\right|$, gdzie $x\ne 1$ i $g\left(x\right)=\left|x+1\right|$.

Przekształćmy wzór funkcji $f\left(x\right)=\left|\frac{6x+6}{x-1}\right|$ :

$f\left(x\right)=\left|\frac{6x+6}{x-1}\right|=\left|\frac{6\left(x-1\right)+12}{x-1}\right|=\left|\frac{12}{x-1}+6\right|$

Wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|\frac{6x+6}{x-1}\right|$ powstaje w następujący sposób

$y_1=\frac{12}{x}\stackrel{\overrightarrow{u}=\left[1;6\right]}{\to }{y}_2=\frac{12}{x-1}+6\stackrel{\left|f_2\left(x\right)\right|}{\to }f\left(x\right)=\left|\frac{12}{x-1}+6\right|$, gdzie $x\ne 1$.

Sporządzamy wykres funkcji $f$ i $g$.

R1PDB1LlhlAnl

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 12 do 7 i pionową osią y od minus 2 do dziewięć. W układzie zaznaczono wykresy dwóch funkcji f oraz g. Wykres funkcji f składa się z trzech części i posiada dwie asymptoty. Asymptota pozioma ma równanie: $y=6$ z kolei asymptota pionowa ma równanie <mathx=1. Wykres ten pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu tuż pod poziomą asymptotą, następnie biegnie po łuku do punktu nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie wzdłuż pionowej asymptoty, przecina oś y w punkcie nawias zero średnik sześć zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu. Pojawia się z powrotem na płaszczyźnie w pierwszej ćwiartce i wychodzi poza płaszczyznę w tej samej ćwiartce nad pozioma asymptotą. Wykres g ma kształt litery V, jego lewe ramię przechodzi przez punkt nawias minus siedem średnik sześć zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, z tego punktu wychodzi drugie ramię, które przecina oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu i przechodzi przez punkt nawias pięć średnik sześć zamknięcie nawiasu.

Rozwiążmy nierówność $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$.

R14ftBySPO0JE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 12 do 7 i pionową osią y od minus 2 do dziewięć. W układzie zaznaczono wykresy dwóch funkcji f oraz g. Wykres funkcji f składa się z trzech części i posiada dwie asymptoty. Asymptota pozioma ma równanie: $y=6$ z kolei asymptota pionowa ma równanie <mathx=1. Wykres ten pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu tuż pod poziomą asymptotą, następnie biegnie po łuku do punktu nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie wzdłuż pionowej asymptoty, przecina oś y w punkcie nawias zero średnik sześć zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu. Pojawia się z powrotem na płaszczyźnie w pierwszej ćwiartce i wychodzi poza płaszczyznę w tej samej ćwiartce nad pozioma asymptotą. Wykres g ma kształt litery V, jego lewe ramię przechodzi przez punkt nawias minus siedem średnik sześć zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, z tego punktu wychodzi drugie ramię, które przecina oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu i przechodzi przez punkt nawias pięć średnik sześć zamknięcie nawiasu. Wykresy przecinają się w punktach: nawias minus pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias siedem średnik osiem zamknięcie nawiasu. Fragmenty wykresy f znajdujące się ponad ramionami wykresu g zostały zaznaczone kolorem.

Odpowiedź: Rozwiązanie nierówności:  $x\in ⟨-5;1)\cup (1;7⟩$.

Rozwiążmy graficznie nierówność $\left|\frac{6x+6}{x-1}\right|>-\left|x-5\right|+2$.

Rozwiązanie:

Postępując analogicznie jak w przykładzie powyżej, sporządzamy wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|\frac{6x+6}{x-1}\right|$, gdzie $x\ne 1$ i $g\left(x\right)=-\left|x-5\right|+2$.

R1ZIwj0NjpJde

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 12 do 7 i pionową osią y od minus 2 do dziewięć. W układzie zaznaczono wykresy dwóch funkcji f oraz g. Wykres funkcji f składa się z trzech części i posiada dwie asymptoty. Asymptota pozioma ma równanie: $y=6$ z kolei asymptota pionowa ma równanie <mathx=1. Wykres ten pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu tuż pod poziomą asymptotą, następnie biegnie po łuku do punktu nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie wzdłuż pionowej asymptoty, przecina oś y w punkcie nawias zero średnik sześć zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu. Pojawia się z powrotem na płaszczyźnie w pierwszej ćwiartce i wychodzi poza płaszczyznę w tej samej ćwiartce nad pozioma asymptotą. Wykres g ma kształt odwróconej litery V, jego wierzchołek znajduje się w punkcie nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu. Lewe ramię przecina oś y  w punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przecina oś x w punkcie nawias siedem średnik zero zamknięcie nawiasu.

Rozwiążmy nierówność $f\left(x\right)>g\left(x\right)$

R1VuG1otR81yx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 12 do 7 i pionową osią y od minus 2 do dziewięć. W układzie zaznaczono wykresy dwóch funkcji f oraz g. Wykres funkcji f składa się z trzech części i posiada dwie asymptoty. Asymptota pozioma ma równanie: $y=6$ z kolei asymptota pionowa ma równanie <mathx=1. Wykres ten pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu tuż pod poziomą asymptotą, następnie biegnie po łuku do punktu nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie wzdłuż pionowej asymptoty, przecina oś y w punkcie nawias zero średnik sześć zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu. Pojawia się z powrotem na płaszczyźnie w pierwszej ćwiartce i wychodzi poza płaszczyznę w tej samej ćwiartce nad pozioma asymptotą. Wykres g ma kształt odwróconej litery V, jego wierzchołek znajduje się w punkcie nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu. Lewe ramię przecina oś y  w punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przecina oś x w punkcie nawias siedem średnik zero zamknięcie nawiasu. Wykresy nie mają punktów wspólnych, wykres f znajdujący się ponad wykresem g został zaznaczony kolorem.

Odpowiedź: Rozwiązanie nierówności: $x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ 1\right\}$.

Dana nierówność jest nierównością tożsamościową.

Nierównością tożsamościową nazywamy nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierównościdziedzina nierówności wymiernejdziedziny tej nierówności.

Rozwiążmy graficznie nierówność $\left|\frac{6x+6}{x-1}\right|<-\left|x-5\right|+2$.

Rozwiązanie:

Postępując analogicznie jak powyżej, sporządzamy wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|\frac{6x+6}{x-1}\right|$, gdzie $x\ne 1$ i $g\left(x\right)=-\left|x-5\right|+2$.

R1ZIwj0NjpJde

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 12 do 7 i pionową osią y od minus 2 do dziewięć. W układzie zaznaczono wykresy dwóch funkcji f oraz g. Wykres funkcji f składa się z trzech części i posiada dwie asymptoty. Asymptota pozioma ma równanie: $y=6$ z kolei asymptota pionowa ma równanie <mathx=1. Wykres ten pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu tuż pod poziomą asymptotą, następnie biegnie po łuku do punktu nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie wzdłuż pionowej asymptoty, przecina oś y w punkcie nawias zero średnik sześć zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu. Pojawia się z powrotem na płaszczyźnie w pierwszej ćwiartce i wychodzi poza płaszczyznę w tej samej ćwiartce nad pozioma asymptotą. Wykres g ma kształt odwróconej litery V, jego wierzchołek znajduje się w punkcie nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu. Lewe ramię przecina oś y  w punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przecina oś x w punkcie nawias siedem średnik zero zamknięcie nawiasu.

Zbiór rozwiązań  nierówności $f\left(x\right)<g\left(x\right)$ jest zbiorem  pustym.

Odpowiedź: Zbiór rozwiązań nierówności:  $\varnothing$.

Dana nierówność jest nierównością sprzeczną.

Nierównością sprzeczną nazywamy nierówność, której nie spełniona żadna liczba należącą do dziedziny tej nierówności.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=2x-2$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$. Rozwiążmy nierówność $f\left(\frac{1}{\left|x\right|-1}\right)+3\ge 2$.

Rozwiązanie:

Obliczamy $f\left(\frac{1}{\left|x\right|-1}\right)=2·\frac{1}{\left|x\right|-1}-2=\frac{2}{\left|x\right|-1}-2$.

Wówczas

$f\left(\frac{1}{\left|x\right|-1}\right)+3\ge 2$,

możemy zapisać jako

$\frac{2}{\left|x\right|-1}-2+3\ge 2$,

$\frac{2}{\left|x\right|-1}+1\ge 2$.

Naszkicujmy wykresy funkcji $g\left(x\right)=\frac{2}{\left|x\right|-1}+1$, gdzie $x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1; 1\right\}$ oraz $h\left(x\right)=2$.

R1NafyMixFMY8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 3 do siedmiu. W układzie zaznaczono dwa wykresy h oraz g. Wykres h jest poziomą prostą o równaniu $y=1$. Wykres g składa się z trzech części i posiada trzy asymptoty. Dwie pionowe, pierwsza o równaniu $x=-1$ oraz $x=1$ oraz asymptotę poziomą o równaniu $y=1$. Pierwsza część zaczyna w drugiej ćwiartce tuż nad poziomą asymptotą i wychodzi poza płaszczyznę również w drugiej ćwiartce po lewej stronie asymptoty $y=-1$. Druga część wykresu pojawia się w trzeciej ćwiartce układu z prawej strony asymptoty $y=-1$ i biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik minu jeden zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie wzdłuż lewej strony asymptoty $y=1$ i wychodzi poza płaszczyznę w czwartej ćwiartce układu. Trzecie część pojawia się na płaszczyźnie w pierwszej ćwiartce układu z prawej strony asymptoty $y=1$ i wychodzi poza płaszczyznę układu w tej samej ćwiartce tuż nad poziomą asymptotą. Punkty wspólne dwóch wykresów mają współrzędne: nawias minus trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu. Fragmenty wykresu g znajdujące się nad wykresem h zaznaczono kolorem.

Z wykresu możemy odczytać rozwiązanie nierówności $g\left(x\right)\ge h\left(x\right)$.

R1ZdS66h0QgAp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 3 do siedmiu. W układzie zaznaczono dwa wykresy h oraz g. Wykres h jest poziomą prostą o równaniu $y=1$. Wykres g składa się z trzech części i posiada trzy asymptoty. Dwie pionowe, pierwsza o równaniu $x=-1$ oraz $x=1$ oraz asymptotę poziomą o równaniu $y=1$. Pierwsza część zaczyna w drugiej ćwiartce tuż nad poziomą asymptotą i wychodzi poza płaszczyznę również w drugiej ćwiartce po lewej stronie asymptoty $y=-1$. Druga część wykresu pojawia się w trzeciej ćwiartce układu z prawej strony asymptoty $y=-1$ i biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik minu jeden zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie wzdłuż lewej strony asymptoty $y=1$ i wychodzi poza płaszczyznę w czwartej ćwiartce układu. Trzecie część pojawia się na płaszczyźnie w pierwszej ćwiartce układu z prawej strony asymptoty $y=1$ i wychodzi poza płaszczyznę układu w tej samej ćwiartce tuż nad poziomą asymptotą. Punkty wspólne dwóch wykresów mają współrzędne: nawias minus trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu. Fragmenty wykresu g znajdujące się nad wykresem h zaznaczono kolorem.

Zatem $g\left(x\right)\ge h\left(x\right)$ dla $x\in \left.⟨-3;-1\right)\cup \left(1;3\right.⟩$.

Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań  nierówności $f\left(\frac{1}{\left|x\right|-1}\right)+3\ge 2$, gdzie $f\left(x\right)=2x-2$ jest zbiór:  $\left.⟨-3;-1\right)\cup \left(1;3\right.⟩$.

dziedziną nierówności wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu $W_2\left(x\right)$ znajdującego się w mianowniku danego wyrażenia $\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}$

$D=\mathrm{ℝ} \setminus \left\{x: W_2\left(x\right)=0\right\}$

nierównością wymierną z niewiadomą $x$ nazywamy nierówność, którą można sprowadzić do postaci

$\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}>0$ lub $\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}\ge 0$ lub $\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}<0$ lub $\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}\le 0$,

gdzie $W_1$, $W_2$ są wielomianami, przy czym $W_2$ nie jest wielomianem zerowym $W_2\left(x\right)\ne 0$