Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Podczas tej lekcji nauczymy się rozwiązywać równania typu: cosx>a, cosx<a, cosxa, cosxa, gdzie a jest liczbą rzeczywistą. W tym celu będziemy korzystać z metody rozwiązywania równań trygonometrycznych typu cosx=a. Przypomnijmy stosowne twierdzenie:

o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego cosx=a
Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego cosx=a

Algorytm szukania rozwiązań równania cosx=a.

1) Znajdujemy jedno rozwiązanie x0, dla którego cosx0=a. Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: x=x0+2kπ, gdzie k.

2) Znajdujemy drugie rozwiązanie x0. Zapisujemy drugą serię rozwiązań: x=-x0+2kπ, gdzie k.

Pokażemy, jak rozwiązać nierówność cosx>a.

Rozważmy przypadki:

  1. Niech a<-1. Wówczas nierówność cosx>a jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

  2. Niech a1. Wówczas rozwiązaniem nierówności cosx>a jest zbiór pusty.

  3. Niech a-1,1).

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale -π,π.

Dlaczego wybieramy taki przedział?

Po pierwsze okresem zasadniczym funkcji cosinus jest T=2π, a wybrany przedział ma długość 2π. Po drugie, jak zobaczymy na rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności cosx>a będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); będzie to dawało wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.

RySvU8gAH5457

Spójrzmy na rysunek. Skoro chcemy rozwiązać nierówność cosx>a, będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja y=cosx przyjmuje wartości większe od wartości funkcji y=a.

Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji y=cosx, który leży powyżej prostej y=a. Zauważmy, że prosta y=a przecina wykres funkcji y=cosx w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to x1x2 – są to rozwiązania równania cosx=a. Zatem w przedziale -π,π funkcja y=cosx przyjmuje wartości większe od wartości funkcji y=a dla argumentów x(x1,x2). Wykorzystując okresowość funkcji cosinus podajemy rozwiązanie nierówności cosx>a: jest to suma wszystkich przedziałów (x1+2kπ,x2+2kπ), gdzie k.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność cosx>32.

Rozwiązanie:

Spójrzmy na poniższy wykres.

RO2d6AVD5YQZI

Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równań z funkcją cosinusrozwiązywanie równań z funkcją cosinuso rozwiązywaniu równań z funkcją cosinus najpierw rozwiązujemy równanie cosx=32 w przedziale -π,π: x=-π6 lub x=π6.

Zatem w przedziale -π,π rozwiązaniem nierówności cosx>32 jest przedział(-π6,π6).

Wykorzystując okresowość funkcji cosinus podajemy rozwiązanie nierówności cosx>32: jest to suma wszystkich przedziałów (-π6+2kπ,π6+2kπ), gdzie k.

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność cosx32.

Rozwiązanie:

Rozwiążemy tę nierówność, bazując na nierówności poprzedniej. Skoro rozwiązaniem nierówności cosx>32 była suma wszystkich przedziałów (-π6+2kπ,π6+2kπ), gdzie k, to rozwiązaniem nierówności cosx32 jest suma wszystkich przedziałów -π6+2kπ,π6+2kπ, gdzie k.

Pokażemy, jak rozwiązać nierówność cosx<a.

Rozważmy przypadki:

  1. Niech a>1. Wówczas nierówność cosx<a jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

  2. Niech a-1. Wówczas rozwiązaniem nierówności cosx<a jest zbiór pusty.

  3. Niech a(-1,1.

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale 0,2π. Wybieramy taki przedział, gdyż okresem zasadniczym funkcji cosinus jest T=2π, a wybrany przedział ma długość 2π. Jak zobaczymy na rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności cosx<a będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); to będzie dawało wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.

R1DzZtWTEzmrm

Spójrzmy na rysunek.

Skoro chcemy rozwiązać nierówność cosx<a, będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja y=cosx przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji y=a.

Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji y=cosx, który leży poniżej prostej y=a. Zauważmy, że prosta y=a przecina wykres funkcji y=cosx w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to x1x2 - są to rozwiązania równania cosx=a. Zatem w przedziale 0,2π funkcja y=cosx przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji y=a dla argumentów x(x1,x2).

Wykorzystując okresowość funkcji cosinus, podajemy rozwiązanie nierówności cosx<a: jest to suma wszystkich przedziałów (x1+2kπ,x2+2kπ), gdzie k.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność cosx<22.

Rozwiązanie:

Spójrzmy na poniższy wykres.

R1OBCYwj7zor3

Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równań z funkcją cosinusrozwiązywanie równań z funkcją cosinuso rozwiązywaniu równań z funkcją cosinus, najpierw rozwiązujemy równanie cosx=22 w przedziale 0,2π: x=π4 lub x=7π4.

Zatem w przedziale 0,2π rozwiązaniem nierówności cosx<22 jest przedział (π4,7π4).

Wykorzystując okresowość funkcji cosinus, podajemy rozwiązanie nierówności cosx<22: jest to suma wszystkich przedziałów (π4+2kπ,7π4+2kπ), gdzie k.

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność cosx22.

Rozwiążemy tę nierówność, bazując na nierówności z poprzedniego przykładu. Skoro rozwiązaniem nierówności cosx<22 była suma wszystkich przedziałów (π4+2kπ,7π4+2kπ), gdzie k, to rozwiązaniem nierówności cosx22 będzie suma wszystkich przedziałów π4+2kπ,7π4+2kπ, gdzie k.

Słownik

rozwiązywanie równań z funkcją cosinus
rozwiązywanie równań z funkcją cosinus

Algorytm szukania rozwiązań równania cosx=a.

1) Znajdujemy jedno rozwiązanie x0 takie, że cosx0=a. Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: x=x0+2kπ, gdzie k.

2) Znajdujemy drugie rozwiązanie x0. Zapisujemy drugą serię rozwiązań: x=-x0+2kπ, gdzie k.