Przeczytaj
Podczas tej lekcji nauczymy się rozwiązywać równania typu: , , , , gdzie jest liczbą rzeczywistą. W tym celu będziemy korzystać z metody rozwiązywania równań trygonometrycznych typu . Przypomnijmy stosowne twierdzenie:
Algorytm szukania rozwiązań równania .
1) Znajdujemy jedno rozwiązanie , dla którego . Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: , gdzie .
2) Znajdujemy drugie rozwiązanie . Zapisujemy drugą serię rozwiązań: , gdzie .
Pokażemy, jak rozwiązać nierówność .
Rozważmy przypadki:
Niech . Wówczas nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Niech . Wówczas rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty.
Niech .
Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale .
Dlaczego wybieramy taki przedział?
Po pierwsze okresem zasadniczym funkcji cosinus jest , a wybrany przedział ma długość . Po drugie, jak zobaczymy na rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); będzie to dawało wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.
Spójrzmy na rysunek. Skoro chcemy rozwiązać nierówność , będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja przyjmuje wartości większe od wartości funkcji .
Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji , który leży powyżej prostej . Zauważmy, że prosta przecina wykres funkcji w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to i – są to rozwiązania równania . Zatem w przedziale funkcja przyjmuje wartości większe od wartości funkcji dla argumentów . Wykorzystując okresowość funkcji cosinus podajemy rozwiązanie nierówności : jest to suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie:
Spójrzmy na poniższy wykres.
Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równań z funkcją cosinuso rozwiązywaniu równań z funkcją cosinus najpierw rozwiązujemy równanie w przedziale >: lub .
Zatem w przedziale rozwiązaniem nierówności jest przedział .
Wykorzystując okresowość funkcji cosinus podajemy rozwiązanie nierówności : jest to suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie:
Rozwiążemy tę nierówność, bazując na nierówności poprzedniej. Skoro rozwiązaniem nierówności była suma wszystkich przedziałów , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Pokażemy, jak rozwiązać nierówność .
Rozważmy przypadki:
Niech . Wówczas nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Niech . Wówczas rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty.
Niech .
Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale . Wybieramy taki przedział, gdyż okresem zasadniczym funkcji cosinus jest , a wybrany przedział ma długość . Jak zobaczymy na rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); to będzie dawało wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.
Spójrzmy na rysunek.
Skoro chcemy rozwiązać nierówność , będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji .
Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji , który leży poniżej prostej . Zauważmy, że prosta przecina wykres funkcji w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to i - są to rozwiązania równania . Zatem w przedziale funkcja przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji dla argumentów .
Wykorzystując okresowość funkcji cosinus, podajemy rozwiązanie nierówności : jest to suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie:
Spójrzmy na poniższy wykres.
Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równań z funkcją cosinuso rozwiązywaniu równań z funkcją cosinus, najpierw rozwiązujemy równanie w przedziale : lub .
Zatem w przedziale rozwiązaniem nierówności jest przedział .
Wykorzystując okresowość funkcji cosinus, podajemy rozwiązanie nierówności : jest to suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiążemy tę nierówność, bazując na nierówności z poprzedniego przykładu. Skoro rozwiązaniem nierówności była suma wszystkich przedziałów , gdzie , to rozwiązaniem nierówności będzie suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Słownik
Algorytm szukania rozwiązań równania .
1) Znajdujemy jedno rozwiązanie takie, że . Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: , gdzie .
2) Znajdujemy drugie rozwiązanie . Zapisujemy drugą serię rozwiązań: , gdzie .