Dane są dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi, które dzielą przestrzeń na dwie części.

Kątem dwuściennym nazywamy sumę dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.

RcQrwvQsB3rB9

Ilustracja przedstawia kąt dwuścienny. Składa się on z dwóch ścian, jednej krawędzi łączącej obie półpłaszczyzny oraz z wnętrza. Kąt ten przypomina otwartą książkę.

Wspólną krawędź półpłaszczyzn nazywamy krawędzią kąta dwuściennego, a półpłaszczyzny – ścianami kąta dwuściennego.

Miarą liniową kąta dwuściennego nazywamy miarę kąta płaskiego, będącego częścią wspólną tego kąta dwuściennego oraz płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.

REKR1AwRn9NqY

Ilustracja przedstawia kąt dwuścienny utworzony przez dwie półpłaszczyzny, które mają wspólną krawędź. Od krawędzi poprowadzone są dwie półproste, każda prostopadła do tejże krawędzi i mająca początek w tym samym punkcie. Kąty 90 stopni zaznaczono na obu płaszczyznach. Pomiędzy dwiema półprostymi znajduje się kąt ostry będący miarą liniową kąta dwuściennego.

Dany jest graniastosłup prosty jak na rysunku, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $6$ i $8$. Obliczymy miary kątów między ścianami bocznymi tego graniastosłupa.

RMVPOeyNAC2t5

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego. Dolna podstawa to trójkąt A B C, kąt prosty znajduje się przy punkcie A. Górna podstawa to trójkąt D E F z kątem prostym przy wierzchołku D. Pionowe krawędzie boczne graniastosłupa to: A D, B E, C F.

Rozwiązanie:

Ponieważ kąt $BAC$ jest prosty, zatem kąt pomiędzy ścianami $ABED$ i $ACFD$ również jest prosty.

Wyznaczmy miary liniowe pozostałych kątów. W tym celu rozpatrzmy trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

RjUC9Za0NTiPx

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C z zaznaczonymi kątami 90 stopni przy wierzchołku A, kącie alfa przy wierzchołku B oraz kącie beta przy wierzchołku C. Podane zostały także długości przyprostokątnych trójkąta. Bok A B o długości osiem oraz bok A C o długości 6.

Korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens mamy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{6}{8}=0,75$

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że $\alpha \approx 37°$.

Wobec tego $\beta =90°-37°=53°$.

Miara kąta $ABC$ jest taka sama, jak miara kąta liniowego pomiędzy ścianami $BADE$ i $BCFE$, zatem szukany kąt wynosi około $37°$.

Miara kąta $BCA$ jest taka sama, jak miara kąta liniowego pomiędzy ścianami $BCFE$ i $ACFD$, zatem szukany kąt wynosi około $53°$.

Wyznaczymy miarę liniową kąta dwuściennego pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi w graniastosłupie prawidłowym ośmiokątnym.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy ośmiokątny.

R10gPnGKJlRQp

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy ośmiokątny A B C D E F G H A prim B prim C prim D prim E prim F prim G prim H prim.

Ponieważ podstawą graniastosłupa jest wielokąt foremny, to miara liniowa kąta dwuściennego między ścianami bocznymi tego graniastosłupa będzie taka sama.

Wystarczy zatem wyznaczyć miarę kąta pomiędzy sąsiednimi krawędziamikrawędź graniastosłupakrawędziami w podstawie ośmiokąta foremnego. W tym celu narysujmy ośmiokąt foremny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

RiHZwhEVw9pj2

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny z wyznaczonymi czteroma przekątnymi. Zaznaczone zostały długości boków $a$ oraz kąt alfa znajdujący się przy wierzchołku ośmiokąta. Przecinające się w środku przekątne wraz z bokiem ośmiokąta utworzyły trójkąt równoramienny o kątach beta przy podstawie trójkąta i kącie gamma przy górny wierzchołku trójkąta.

Mamy:

$\gamma =\frac{360°}{8}=45°$

$\beta =\frac{180°-45°}{2}=67,5°$

$\alpha =2·67,5°=135°$

Zatem miara liniowa kąta dwuściennego pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi w graniastosłupie prawidłowym ośmiokątnym wynosi $135°$.

Miara liniowa kąta dwuściennego jest równa $60°$. Na jednej ze ścian leży punkt $A$, którego odległość od drugiej ściany jest równa $12$. Obliczymy odległość punktu $A$ od krawędzi kąta dwuściennego.

Rozwiązanie:

Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1dd1aoOSsWly

Ilustracja przedstawia kąt dwuścienny z miarą liniową kąta 60 stopni. Na jednej z dwóch półprostych wyznaczających liniową miarę kąta dwuściennego znajduje się punkt A, od którego poprowadzono półprostą przechodzącą przez drugą półprostą wyznaczającą miarę liniową kąta dwuściennego tak, że został utworzony trójkąt, w którym dwa ramiona należące do półpłaszczyzn wyznaczających kąt dwuścienny mają długość $a$. Zatem pomiędzy ramionami $a$ znajduje się wspomniany kąt 60 stopni. Z punktu A poprowadzona została półprosta przechodząca przez drugą półprostą należącą do drugiej półpłaszczyzny pod kątem prostym.

Zauważmy, że do wyznaczenia odległości punktu $A$ od krawędzi kąta dwuściennego wystarczy rozpatrzeć trójkąt, jak na poniższym rysunku.

RDPIZ0qOvrz72

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o długości ramion $a$ oraz kącie ostrym pomiędzy nimi wynoszącym 60 stopni. Z wierzchołka A znajdującego się w podstawie trójkąta, poprowadzona została wysokość o długości $a$.

Z treści zadania wynika, że $x=12$.

Otrzymany trójkąt jest równoboczny, a długość odcinka $x$ jest równa jego wysokości.

Jeżeli $a$ jest długością boku trójkąta równobocznego i szukaną odległością, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$12=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Wobec tego $a=8\sqrt{3}$.

Zatem szukana odległość wynosi $8\sqrt{3}$.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakowe długości. Obliczymy cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Narysujmy ostrosłup prawidłowy czworokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1TZaCu1saY4x

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędziach podstawy o długościach wynoszących $a$. Wewnątrz bryły utworzona została płaszczyzna powstała z jednej z przekątnych podstawy oraz dwóch wysokości ścian bocznych o długościach $h$, upuszczonych z obu wierzchołków tworzących przekątną. Pomiędzy dwoma ramionami nowopowstałego trójkąta równoramiennego o długościach ramion wynoszących $h$ zaznaczony został kąt alfa.

Ponieważ ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi, to:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Wobec tego do wyznaczenia miary kąta $\alpha$ korzystamy z trójkąta równoramiennego, jak na poniższym rysunku.

R1WOHhzeqp23u

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o długości ramion $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ oraz podstawie równej $a\sqrt{2}$. Pomiędzy dwoma ramionami trójkąta zaznaczony został także kąt alfa.

Rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia cosinusów:twierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów:

${\left(a\sqrt{2}\right)}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-2·\frac{a\sqrt{3}}{2}·\frac{a\sqrt{3}}{2}·\cos \alpha$

$2a^2=\frac{3}{4}{a}^2+\frac{3}{4}{a}^2-\frac{3a^2}{2}\cos \alpha$

$\frac{1}{2}{a}^2=-\frac{3}{2}{a}^2·\cos \alpha$

Zatem $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym poprowadzono płaszczyznę, jak na poniższym rysunku. Obliczymy miarę liniową kąta dwuściennego pomiędzy tą płaszczyzną i płaszczyzną podstawy graniastosłupa.

R1MZhZ15xA8y1

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Zaznaczono długości jego boków u podstawy wynoszące $a$ oraz wysokość bryły równą $a+2$. Na ilustracji zaznaczono także płaszczyznę zamykającą się pomiędzy dwiema przekątnymi naprzeciwległych boków graniastosłupa oraz dwiema przeciwległych krawędzi obu podstaw bryły. Wspomniane przekątne boków mają długości wynoszące po $a+4$.

Rozwiązanie:

Do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Zatem:

$a^2+{\left(a+2\right)}^2={\left(a+4\right)}^2$

$a^2+a^2+4a+4=a^2+8a+16$

$a^2-4a-12=0$

$a_1=\frac{4-8}{2}=-2<0$

$a_2=\frac{4+8}{2}=6>0$

Niech $\alpha$ będzie miarą liniową rozpatrywanego kąta.

Do wyznaczenia tej miary wystarczy rozpatrzeć trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

RBDAOvHfr6pm7

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. W dolnej części rysunku znajduje się krótsza przyprostokątna, której długość wynosi 6. Długość drugiej przyprostokątnej wynosi osiem, zaś długość przeciwprostokątnej 10. Na rysunku zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy krótszą przyprostokątna i przeciwprostokątną.

Ponieważ $\sin \alpha =\frac{8}{10}$, wobec tego miara kąta $\alpha$ wynosi około $53°$.

bok wielokąta, który jest ścianą graniastosłupa

dwie płaszczyzny są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w pierwszej płaszczyźnie prostopadła do drugiej płaszczyzny

w dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi