Przeczytaj

Wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , dla $a \neq 0$ jest parabola. Wykres funkcji kwadratowej może mieć z osią $X$ dwa punkty wspólne, jeden punkt wspólny lub nie posiadać punktów wspólnych. Położenie paraboli w układzie współrzędnych jest uzależnione od współczynnika $a$ oraz liczby miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Podczas rozwiązywania nierówności kwadratowej pomocne jest odczytywanie z wykresu, dla jakich argumentów odpowiednia funkcja kwadratowa przyjmuje wartości ujemne, dodatnie, nieujemne lub niedodatnie.

Interpretacja graficzna rozwiązań nierówności kwadratowej $a x^{2} + b x + c > 0$ :

R1bGX9dAIrBYT

Grafika przedstawia interpretacje graficzne rozwiązań nierówności kwadratowej. Wzór rozpatrywanej nierówności kwadratowej: ax^2+bx+c>0. Wymienione zostało 6 przypadków rozwiązań. Każdy z rysunków, które odpowiadają przypadkom znajduje się na układzie współrzędnych, gdzie oś pionowa podpisana jest literą y, a oś pozioma podpisana jest literą x. Przypadek 1: Δ>0, x_1=(-b-√Δ)/2a , x_2=(-b+√Δ)/2, Δ=b^2-4ac, oraz a>0. W tym przypadku na osi x zaznaczone zostały dwa punkty x_1 oraz x_2. Punkt x_1 znajduje się po lewej stronie osi y. Punkt x_2 znajduje się po prawej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do góry i przechodzi przez punkty x_1 oraz x_2. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_1 znajduje się nad osią x i jest zaznaczona na kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pomiędzy tymi punktami x_1 i x_2 parabola znajduje się pod osią x i jest zaznaczona na kolor niebieski. Za punktem x_2 parabola znajduje się nad osią x i ma kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈(-∞,x_1 )∪(x_2,+∞).Przypadek 2: Δ>0, x_1=(-b-√Δ)/2a , x_2=(-b+√Δ)/2, Δ=b^2-4ac, oraz a<0. W tym przypadku na osi x zaznaczone zostały dwa punkty x_1 oraz x_2. Punkt x_1 znajduje się po lewej stronie osi y. Punkt x_2 znajduje się na przecięciu osi x oraz y. Parabola ma ramiona skierowane do dołu i przechodzi przez punkty x_1 oraz x_2. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_1 znajduje się pod osią x i jest zaznaczona kolorem niebieskim. Pomiędzy tymi punktami x_1 i x_2 parabola znajduje się nad osią x i jest zaznaczona na kolor różowy, obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony na kolor niebieski. Za punktem x_2 parabola znajduje się pod osią x i ma kolor niebieski. Obok rysunku znajduje się podpis: x∈(x_1,x_2 ). Przypadek 3: Δ=0, x_0=(-b)/2a oraz a>0. W tym przypadku na osi x zaznaczony został jeden punkt x_0.Punkt x_0 znajduje się po lewej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do góry i jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_0 znajduje się nad osią x i jest zaznaczona kolorem różowym. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Za punktem x_0 parabola również znajduje się nad osią x i ma kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈R∖(x_0 ). Przypadek 4: Δ=0, x_0=(-b)/2a oraz a<0. W tym przypadku na osi x zaznaczony został jeden punkt x_0.Punkt x_0 znajduje się po lewej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do dołu a jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Cała parabola znajduje się pod osią x i ma kolor niebieski. Obok rysunku znajduje się podpis: nie ma rozwiązań. Przypadek 5: Δ0. Parabola znajduje się ponad osią x i nie ma z nią żadnych punktów wspólnych. Parabola ma ramiona skierowane do góry i kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony na kolor niebieski. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈R. Przypadek 6: Δ<0 oraz a<0. W tym przypadku cała parabola znajduje się pod osią x i nie ma z nią żadnych punktów wspólnych. Ramiona paraboli są skierowane w dół i ma ona kolor niebieski. Obok rysunku jest napis: nie ma rozwiązań.

Interpretacja graficzna rozwiązań nierówności kwadratowej $a x^{2} + b x + c < 0$ :

RxXddwQ4UJjf7

Przykład 1

Korzystając z wykresu funkcji f rozwiążemy nierówność $f (x) > 0$ .

R14WZudfnzNCT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 i pionową osią y od minus 3 do 4. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwa punkty x_1 i x_2 oraz parabola. Punkt x_1 ma współrzędne: minus 1, 0. Punkt x_2 ma współrzędne: 2, 0. Parabola ma ramiona skierowane do góry i przechodzi przez punkty x_1 i x_2. Parabola jest podpisana literą f.

ParabolaparabolaParabola ma dwa punkty wspólne z osią odciętych - funkcja ma dwa miejsca zerowe $- 1$ i $2$ , czyli $∆ > 0$ . Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się powyżej osi $X$ .

Zatem zbiorem rozwiązań nierówności są wszystkie liczby $x$ takie, że

$x \in (- \infty, - 1) \cup (2, \infty)$ .

Przykład 2

Korzystając z wykresu funkcji f rozwiążemy nierówność ${(x - 4)}^{2} > 0$ .

RGOkmhaBIThLv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 7 i pionową osią y od minus 2 do 5. Na płaszczyźnie zaznaczony jest jeden punkt x_0 oraz parabola. Punkt x_0 ma współrzędne: 4, 0. Parabola ma ramiona skierowane do góry i jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Parabola jest podpisana literą f.

Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe równe $4$ , czyli $∆ = 0$ .

Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się powyżej osi $X$ .

Zatem zbiorem rozwiązań nierówności są wszystkie liczby $x$ takie, że

$x \in (- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

Zbiór rozwiązań możemy zapisać również w postaci $x \in ℝ ∖ \{4\}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność $- x^{2} + 4 \leq 0$ , korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji.

RurX2vrt64iGg

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do 5. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwa punkty x_1 i x_2 oraz parabola. Punkt x_1 ma współrzędne: minus 2, 0. Punkt x_2 ma współrzędne: 2, 0. Parabola ma ramiona skierowane do dołu i przechodzi przez punkty x_1 i x_2. Wierzchołek paraboli ma współrzędne: 0, 4. Parabola jest podpisana literą f.

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, zatem $a < 0$ .

Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe $- 2$ i $2$ , czyli $∆ > 0$ .

Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się poniżej osi $X$ wraz z punktami leżącymi na osi $X$ .

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby $x$ takie, że

$x \in (- \infty, - 2⟩ \cup ⟨2, \infty)$ .

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność $- x^{2} - 4 < 0$ , korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji.

Rl07Cr4KCnzpV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 7 do 1. Na płaszczyźnie zaznaczona jest parabola. Parabola ma ramiona skierowane do dołu. Wierzchołek paraboli ma współrzędne: 0, minus 4. Parabola jest podpisana literą f.

Ramiona paraboliparabolaparaboli są skierowane do dołu, zatem $a < 0$ .

Funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych, czyli $∆ < 0$ .

Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się poniżej osi $X$ .

Zatem zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby $x$ takie, że $x \in ℝ$ .

Przykład 5

Korzystając z wykresu funkcji $f$ , obliczymy wartość parametru $m$ i rozwiążemy nierówność ${- x}^{2} + m x - 9 < 0$ .

R1K8SCbSVUh0w

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 7 i pionową osią y od minus 5 do 1. Na płaszczyźnie zaznaczony jest jeden punkt x_0 oraz parabola. Punkt x_0 ma współrzędne: 3, 0. Parabola ma ramiona skierowane do dołu a jej wierzchołek znajduje się punkcie x_0. Parabola w całości znajduje się pod osią x, obszar pomiędzy osią x a parabola jest zaznaczony kolorem niebieskim. Parabola podpisana jest literą f.

Z wykresu odczytujemy, że miejscem zerowym funkcji kwadratowej $f (x) = {- x}^{2} + m x - 9$ jest liczba $3$ , natomiast współczynnik $a = - 1$ .

Zatem funkcja kwadratowa ma postać $f (x) = - {(x - 3)}^{2}$ .

Czyli nierówność kwadratowa to $- {(x - 3)}^{2} < 0$ .

Przekształcając równoważnie wzór funkcji otrzymujemy:

$f (x) = - {(x - 3)}^{2} = - (x^{2} - 6 x + 9) = - x^{2} + 6 x - 9$

Z treści zadania wiemy, że nierówność ma postać

${- x}^{2} + m x - 9 < 0$ .

Czyli $m = 6$ .

Słownik

parabola

wykres funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , dla $a \neq 0$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik