Równaniem wielomianowym stopnia $n$ ($n\in \mathrm{\mathbb{N}}$), nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $W\left(x\right)=0$, gdzie $W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$.

Rozwiążemy równanie $x^3+3x^2-2x-6=0$ metodą grupowania wyrazów.

$x^3+3x^2-2x-6=0$

Grupujemy wyrazy pierwszy z drugim oraz trzeci z czwartym. Z pierwszej pary wyłączamy przed nawias jednomian $x^2$, z drugiej pary liczbę $\left(-2\right)$.

$x^2\left(x+3\right)-2·\left(x+3\right)=0$

Następnie wspólny czynnik $\left(x+3\right)$ wyłączamy przed nawias.

$\left(x+3\right)\left(x^2-2\right)=0$

Otrzymaliśmy równanie wielomianowe zapisane w postaci iloczynowejpostać iloczynowa równaniapostaci iloczynowej. Aby iloczyn dwóch wyrażeń był równy zero, przynajmniej jedno z tych wyrażeń musi być równe zero.

$x+3=0$ lub $x^2-2=0$

$x=3$ lub $x=-\sqrt{2}$ lub $x=\sqrt{2}$

Rozwiązaniem równania są liczby $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $3$.

Rozwiążemy równanie $x^5+x^3-x^2-1=0$metodą grupowania wyrazówmetoda grupowania wyrazówmetodą grupowania wyrazów.

$x^5+x^3-x^2-1=0$

Grupujemy wyrazy.

$x^3\left(x^2+1\right)-\left(x^2+1\right)=0$

Wyłączamy wspólny czynnik $\left(x^2+1\right)$ przed nawias.

$\left(x^2+1\right)\left(x^3-1\right)=0$

$x^2+1=0$ lub $x^3-1=0$

Suma algebraiczna $x^2+1$ przyjmuje zawsze wartości dodatnie.

$x^2+1>0$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$

Zatem równanie $x^2+1=0$ nie posiada rozwiązań.

$x^3-1=0$

$x^3=1$

$x=1$

Równanie ma jedno rozwiązanie $x=1$.

Rozwiążemy równanie $x^2-7x+6=0$ metodą grupowania wyrazów.

$x^2-7x+6=0$

Jednomian $-7x$ zapiszemy jako sumę algebraiczną $-x-6x$.

$x^2-x-6x+6=0$

Grupujemy wyrazy.

$x\left(x-1\right)-6·\left(x-1\right)=0$

Wyłączamy wspólny czynnik $\left(x-1\right)$ przed nawias.

$\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0$

$x-1=0$ lub $x-6=0$

$x=1$ lub $x=6$

Równanie ma dwa rozwiązania $x=1$, $x=6$.

Rozwiążemy równanie $x^5+x^4+x^3+8x^2+8x+8=0$.

Tym razem równanie jest sumą sześciu jednomianów.

Z pierwszych trzech jednomianów wyłączymy przed nawias $x^3$, zaś z pozostałych jednomianów wyłączymy przed nawias liczbę $8$.

$x^3\left(x^2+x+1\right)+8·\left(x^2+x+1\right)=0$

$\left(x^2+x+1\right)\left(x^3+8\right)=0$

$x^2+x+1=0$ lub $x^3+8=0$

Rozwiążemy najpierw równanie $x^2+x+1=0$.

$∆=1-4=-3<0$

Równanie nie posiada rzeczywistych rozwiązań.

Zajmiemy się teraz rozwiązaniem drugiego równania.

$x^3=-8$

$x=-2$

Równanie ma jedno rozwiązanie $x=-2$.

zapisanie równania za pomocą iloczynu czynników, z których każdy jest niższego stopnia niż dane równanie

polega na takim pogrupowaniu wyrazów, aby można było wyłączyć przed nawias wspólny czynnik