Jeśli $a>0$ oraz $k$ jest liczbą całkowitą, zaś $m$ liczbą naturalną większą niż $1$, to:

Zapiszemy w postaci jednej potęgi wyrażenie $\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}}$.

Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:

$\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}}={[5\cdot {(5\cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}$.

Z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

${[5\cdot {(5\cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}={[5\cdot {\left(5^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}$.

Z własności potęgowania potęgi:

${[5\cdot {\left(5^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}={(5\cdot 5^{\frac{3}{4}})}^{\frac{1}{2}}$.

Z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

${(5\cdot 5^{\frac{3}{4}})}^{\frac{1}{2}}={\left(5^{\frac{7}{4}}\right)}^{\frac{1}{2}}$.

Z własności potęgowania potęgi:

${\left(5^{\frac{7}{4}}\right)}^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{7}{8}}$.

Uprościmy wyrażenie $\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}$.

Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:

$\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}={[2\cdot 2^{\frac{1}{3}}]}^{\frac{1}{4}}$.

Z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

${[2\cdot 2^{\frac{1}{3}}]}^{\frac{1}{4}}={\left[2^{\frac{4}{3}}\right]}^{\frac{1}{4}}$.

Z własności potęgowania potęgi:

${\left[2^{\frac{4}{3}}\right]}^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{3}}$.

Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:

$2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}$.

Uprościmy wyrażenie $\frac{2^{32}\cdot \sqrt{2}\cdot 2^{-\frac{5}{6}}}{4^{15}\cdot \sqrt[3]{2}}$.

Zamienimy najpierw pierwiastki na potęgi

$\frac{2^{32}\cdot \sqrt{2}\cdot 2^{-\frac{5}{6}}}{4^{15}\cdot \sqrt[3]{2}}=\frac{2^{32}\cdot 2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{-\frac{5}{6}}}{4^{15}\cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Liczbę $4^{15}$ możemy przedstawić jako potęgę o podstawie $2$: $4^{15}={\left(2^2\right)}^{15}=2^{2\cdot 15}=2^{30}$. Zatem:

$\frac{2^{32}\cdot 2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{-\frac{5}{6}}}{4^{15}\cdot 2^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{32}\cdot 2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{-\frac{5}{6}}}{2^{30}\cdot 2^{\frac{1}{3}}}$.

Możemy teraz, korzystając z własności ilorazu potęg o tych samych podstawach, uprościć iloraz liczb $2^{32}$ i $2^{30}$, otrzymując $2^2$:

$\frac{2^{32}\cdot 2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{-\frac{5}{6}}}{2^{30}\cdot 2^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^2\cdot 2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{-\frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}$

Do licznika powyższego ułamka zastosujemy własność iloczynu potęg o tych samych podstawach:

$\frac{2^2\cdot 2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{-\frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{2+\frac{1}{2}-\frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{2+\frac{3}{6}-\frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{1\frac{4}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{1\frac{2}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}$

Pozostaje już tylko zastosować własność ilorazu potęg o tych samych podstawach

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}=2^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}=2^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$

Zatem rozważane wyrażenie ma wartość równą $2\sqrt[3]{2}$.

Rozważymy wyrażenie nieskończone $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}$. Zauważmy, że jego wartość jest liczbą dodatnią i oznaczmy jego wartość przez $x$:

$x=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}$

Ponieważ wyrażenie po prawej stronie jest liczbą dodatnią, więc możemy obie strony powyższej równości podnieść do kwadratu otrzymując

$x^2=2\sqrt{2\sqrt{2...}} \left(*\right)$

Zauważmy teraz, że po prawej stronie ponownie pojawiło się początkowe wyrażenie $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}$, które oznaczyliśmy przez $x$. Zatem równość $\left(*\right)$ przyjmuje postać

$x^2=2x$, co przekształca się jak następuje:

$x^2-2x=0$

$x\left(x-2\right)=0$

Korzystając z własności iloczynu równego zeru otrzymujemy, że $x=0$ lub $x-2=0$, czyli $x=2$.

Ponieważ $x>0$, więc $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}=x=2$.

W powyższym przykładzie mamy do czynienia z wyrażeniem, które można zdefiniować rekurencyjnierekurencjarekurencyjnie.

Zauważmy, że wyrażenie nieskończone $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}$ to nic innego jak nieskończona sekwencja (ciągciągciąg) liczb: $\sqrt{2}$, $\sqrt{2\sqrt{2}}$, $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$, $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}$, $...$

Wprowadźmy oznaczenia $a_1=\sqrt{2}$, $a_2=\sqrt{2\sqrt{2}}$, $a_3=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$, $a_4=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}$, $...$

Przy takich oznaczeniach możemy zauważyć, że dla dowolnej naturalnej dodatniej liczby $n$ prawdziwa jest zależność $a_{n+1}=\sqrt{2a_n}$ oraz $a_1=\sqrt{2}$.

Ogólnie mówiąc wzór rekurencyjny to taki, w którym każdy wyraz, poza pierwszym, jest uzależniony od poprzednich.

Rozważmy liczbę $x=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{2\sqrt{3...}}}}$.

Po podniesieniu każdej ze stron do kwadratu otrzymujemy równość $x^2=2\sqrt{3\sqrt{2\sqrt{3...}}}$, w której ponownie za wyrażenie $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{2\sqrt{3...}}}}$ możemy podstawić $x$ otrzymując równość $x^2=2\sqrt{3x}$.

Po podniesieniu obu stron do kwadratu, otrzymujemy $x^4=4\cdot 3x$, czyli $x^4-12x=0$, co jest równoważne $x\left(x^3-12\right)=0$.

Ponieważ $x$ jest liczbą dodatnią, więc $x^3=12$, czyli $x=\sqrt[3]{12}$.

Wykażemy, że jeśli $x=3^{4\sqrt{2}+2}$ i $y=3^{2\sqrt{2}+3}$, to $y=9\sqrt{x}$.

Założenia: $x=3^{4\sqrt{2}+2}$ i $y=3^{2\sqrt{2}+3}$.

Teza: $y=9\sqrt{x}$.

Dowód

Rozważmy prawą stronę tezy. Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym mamy $9\sqrt{x}=9x^{\frac{1}{2}}$.

Po podstawieniu danej wartości $x$, otrzymujemy $9x^{\frac{1}{2}}=9\cdot {\left(3^{4\sqrt{2}+2}\right)}^{\frac{1}{2}}$.

Możemy teraz skorzystać z własności potęgowania potęgi $9\cdot {\left(3^{4\sqrt{2}+2}\right)}^{\frac{1}{2}}=9\cdot 3^{\left(4\sqrt{2}+2\right)\cdot \frac{1}{2}}=9\cdot 3^{2\sqrt{2}+1}$.

Zamienimy liczbę $9$ na potęgę o podstawie $3$ i skorzystamy z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

$9\cdot 3^{2\sqrt{2}+1}=3^2\cdot 3^{2\sqrt{2}+1}=3^{2+2\sqrt{2}+1}=3^{3+2\sqrt{2}}=y$, co kończy dowód.

Korzystając ze wzoru ${\left(a+b\right)}^2=a^2+{2ab+b}^2$, przekształcimy wyrażenie ${\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}\right)}^2$.

${\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}\right)}^2={\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2+2\cdot \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{5}+{\left(\sqrt[3]{5}\right)}^2=\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25}$.

Korzystając ze wzoru ${\left(a-b\right)}^2=a^2-{2ab+b}^2$, przekształcimy wyrażenie ${\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{5}\right)}^2$.

${\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{5}\right)}^2={\left(\sqrt[4]{2}\right)}^2-2\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{5}+{\left(\sqrt[4]{5}\right)}^2={\left(2^{\frac{1}{4}}\right)}^2-2\sqrt[4]{10}+{\left(5^{\frac{1}{4}}\right)}^2=$

$=2^{\frac{1}{2}}-2\sqrt[4]{10}+5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}-2\sqrt[4]{10}+\sqrt{5}$.

Korzystając ze wzoru ${\left(a+b\right)}^2=a^2+{2ab+b}^2$, uprościmy wyrażenie $\sqrt{\sqrt{5}+2\sqrt[4]{15}+\sqrt{3}}$.

$\sqrt{\sqrt{5}+2\sqrt[4]{15}+\sqrt{3}}=\sqrt{{\left(\sqrt[4]{5}\right)}^2+2\sqrt[4]{15}+{\left(\sqrt[4]{3}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{3}\right)}^2}=$$=\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{3}$.

przyporządkowanie pewnych obiektów kolejnym liczbom naturalnym dodatnim

odwoływanie się definicji do samej siebie