Przeczytaj

Liczba niewymierna

Definicja: Liczba niewymierna

Liczbą niewymiernąliczba niewymiernaLiczbą niewymierną nazwiemy każdą liczbę, której nie można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych przy założeniu, że dzielnik jest różny od zera.

Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy najczęściej symbolem $ℝ ∖ ℚ$ lub $ℝ - ℚ$ , rzadziej przez $𝕀ℚ$ .

Własności i wartości przybliżone

Własność: Własności i wartości przybliżone

Przypomnijmy, że rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych są nieskończone i nieokresowe. Z tego powodu często (zwłaszcza w zadaniach praktycznych lub gdy potrzebne jest oszacowanie jakiejś wielkości) podajemy przybliżenia liczb niewymiernych. Poniżej podamy początek rozwinięcia dziesiętnego dla kilku liczb niewymiernych

\sqrt{2} = 1, 41421356237 . . .

\sqrt{3} = 1, 73205080757 . . .

\sqrt{5} = 2, 2360679775 . . .

\sqrt{6} = 2, 44948974278 . . .

\sqrt{7} = 2, 64575131106 . . .

\sqrt{10} = 3, 16227766017 . . .

π = 3, 14159265359 . . .

Przykład 1

Wyznaczymy rozwinięcia dziesiętne z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku podanych liczb:

\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \approx 2 \cdot 1, 414 = 2, 828 \approx 2, 83

\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \approx \frac{2 \cdot 1, 732}{3} = \frac{3, 464}{3} \approx 1, 1547 \approx 1, 15

Przykład 2

Aby oszacować wartość liczby $5 \sqrt{3}$ , możemy zauważyć, że $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$ .

Stąd:

1 < \sqrt{3} < 2

zatem $5 \sqrt{3}$ znajduje się na osi między liczbami $5$ i $10$ .

Ponieważ wykonane oszacowanie nie jest zbyt dokładne, możemy wykonać szacowanie nieco inaczej.

Najpierw wykonamy przekształcenie

5 \sqrt{3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75} .

Ponieważ

\sqrt{64} < \sqrt{75} < \sqrt{81},

więc

8 < \sqrt{75} < 9 .

Zatem $5 \sqrt{3}$ znajduje się na osi liczbowej między $8$ a $9$ .

Ciekawostka

Ułamkiem łańcuchowym nazywamy wyrażenie postaci

a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{\frac{\dots}{a_{k - 2} + \frac{1}{a_{k - 1} + \frac{1}{a_{k}}}}}}}

gdzie:

$a_{0}$ – jest liczbą całkowitą,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $. . .$ , $a_{k - 2}$ , $a_{k - 1}$ , $a_{k}$ – są liczbami naturalnymi dodatnimi.

Liczba jest niewymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie w ułamek łańcuchowy jest nieskończone.

Przykład 3

\sqrt{11} = 3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + \frac{1}{6 + \frac{1}{. . .}}}}}

π = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1 + \frac{1}{292 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{. . .}}}}}}}}}

Dowody niewymierności liczb

Dowody niewymierności liczb często przeprowadzamy metodą nie wprost. W metodzie tej zaprzeczamy tezie, którą chcemy udowodnić i wyciągamy z tego zaprzeczenia wnioski. Jeżeli otrzymane wnioski stoją w sprzeczności z założeniami twierdzenia lub innymi faktami matematycznymi, oznacza to, że teza jest prawdziwa.

Udowodnimy, że liczba $\sqrt{2}$ jest liczbą niewymierną.

Sprawdźmy, do czego doprowadzi nas zaprzeczenie tezy.

Do czego doprowadziłoby przypuszczenie, że $\sqrt{2}$ jest liczbą wymierną?

Gdyby $\sqrt{2}$ był liczbą wymierną, wówczas (z definicji) istniałyby liczby całkowite $m$ i $n$ takie, że $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ , przy czym $n \neq 0$ . Ponieważ $\sqrt{2}$ jest liczbą dodatnią możemy przyjąć, że $m$ i $n$ są liczbami naturalnymi dodatnimi. Ponadto przyjmijmy, że $\frac{m}{n}$ jest ułamkiem nieskracalnym, czyli że jedynym wspólnym dzielnikiem liczb $m$ i $n$ jest liczba $1$ (o takich liczbach mówimy, że są to liczby względnie pierwszeliczby względnie pierwszeliczby względnie pierwsze). Ponieważ obie strony równości $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ są dodatnie, można je podnieść do kwadratu otrzymując $2 = \frac{m^{2}}{n^{2}}$ , co jest równoważne równości $2 n^{2} = m^{2}$ . Zauważmy, że lewa strona równości jest liczbą podzielną przez $2$ .

Aby równość była prawdziwa, prawa strona też musi dzielić się przez $2$ . Ponieważ prawa strona jest pełnym kwadratem, więc dzieli się przez $4$ . Wynika stąd, że lewa strona również dzieli się przez $4$ , czyli $2$ dzieli $n^{2}$ . Zatem $2$ dzieli $n$ . Okazuje się, że zarówno $n$ jaki i $m$ są podzielne przez $2$ , co jest sprzeczne z założeniem, że ułamek $\frac{m}{n}$ jest nieskracalny. Do sprzeczności doprowadziło nas założenie, że $\sqrt{2}$ jest liczbą wymierną.

Oznacza to, że $\sqrt{2}$ nie jest liczbą wymierną, czyli jest liczbą niewymierną.

Przykład 4

Wiedząc że $\sqrt{7}$ jest liczbą niewymierną, udowodnimy, że $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3}$ jest liczbą niewymierną.

Dowód ponownie przeprowadzimy metodą nie wprost.

Zbadajmy, do czego doprowadziłoby założenie, że $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3}$ jest liczbą wymierną. Wówczas istniałaby taka liczba wymierna $w$ , dla której $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3} = w$ .

Otrzymaną równość możemy przekształcić następująco:

\sqrt{7} - 2 = w (\sqrt{7} + 3)

\sqrt{7} - 2 = w \sqrt{7} + 3 w

\sqrt{7} - w \sqrt{7} = 2 + 3 w

\sqrt{7} (1 - w) = 2 + 3 w

\sqrt{7} = \frac{2 + 3 w}{1 - w}

Ponieważ iloczyn, iloraz, suma i różnica liczb wymiernych są liczbami wymiernymi, zatem cała prawa strona równości jest liczbą wymierną. Ponieważ $\sqrt{7}$ jest liczbą niewymierną, otrzymujemy sprzeczność (liczba wymierna nie jest równa żadnej liczbie niewymiernej). Do sprzeczności doprowadziło nas założenie, że liczba $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3}$ jest wymierna.

Oznacza to, że liczba $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3}$ jest niewymierna.

Działania na liczbach niewymiernych

Zbiór liczb niewymiernych nie jest zamknięty na żadne z działań: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Oznacza to, że suma, różnica iloczyn i iloraz liczb niewymiernych może być wymierny.

Przykład 5

Podamy przykłady par liczb niewymiernych, dla których iloczyn, iloraz, suma i różnica są liczbami wymiernymi, oraz par liczb niewymiernych, dla których iloczyn, iloraz, suma i różnica są liczbami niewymiernymi.

Przykłady par liczb niewymiernych, dla których suma, różnica, iloczyn i iloraz są liczbami niewymiernymi	Przykłady par liczb niewymiernych, dla których suma, różnica, iloczyn i iloraz są liczbami wymiernymi
$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$	$(1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2$
$2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$	$(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 1$
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$	$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$
$\sqrt{10} : \sqrt{2} = \sqrt{10 : 2} = \sqrt{5}$	$\sqrt{8} : \sqrt{2} = \sqrt{8 : 2} = \sqrt{4} = 2$

Słownik

liczby względnie pierwsze

przynajmniej dwie liczby naturalne, których największy wspólny dzielnik to $1$

liczba niewymierna

liczba rzeczywista, której nie można przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych

Wprowadzenie

Animacja

Dowody niewymierności liczb

Działania na liczbach niewymiernych

Słownik