Przeczytaj

W pierwszej części materiału będziemy posługiwać się pojęciami związanymi z lokatami zakładanymi w banku. Kwotę, którą wpłacamy na lokatę, nazywamy kapitałem początkowymkapitał początkowykapitałem początkowym. W czasie trwania lokaty do kapitału początkowego dodawane są odsetkiodsetkiodsetki, które zależą od oprocentowania lokaty, jej rodzaju i czasu trwania. Gdy likwidujemy lokatę lub upływa jej termin, zgromadzone na lokacie środki nazywamy kapitałem końcowym.kapitał końcowykapitałem końcowym.

Lokatę zakładamy po to, aby nasze oszczędności rosły. Zwracamy wtedy uwagę na to, o ile procent w czasie roku zwiększy się kwota wpłacona na lokatę – o tym informuje nas roczna stopa procentowaroczna stopa procentowaroczna stopa procentowa. W zależności od rodzaju lokaty odsetki mogą być dopisywane raz w roku lub częściej. Ten proces nazywamy kapitalizacją odsetek. Poniższe przykłady i zadania pozwolą lepiej Ci zrozumieć wszystkie te pojęcia.

Przykład 1

W ofercie banku znajdują się trzy rodzaje lokat, na których oprocentowanie kapitału jest równe $5 %$ w stosunku rocznym:

lokata $1$ – kapitalizacja odsetekkapitalizacja odsetekkapitalizacja odsetek ma miejsce po roku;
lokata $2$ – kapitalizacja odsetek ma miejsce co pół roku;
lokata $3$ – kapitalizacja odsetek ma miejsce co kwartał.

Sprawdzimy, która lokata jest najbardziej korzystna, jeżeli chcemy na nią wpłacić $1000 zł$ na okres jednego roku.

Rozwiązanie

Lokata $1$

Kapitał początkowy jest równy $1000 zł$ . Po roku klient banku otrzymuje odsetki w wysokości $5 %$ z $1000 zł$ , czyli:

$5 % \cdot 1000 = 0, 05 \cdot 1000 = 50$ .

Oznacza to, że kapitał końcowy jest równy $1050 zł$ .

Lokata $2$

Kapitał początkowy jest równy $1000 zł$ . Oprocentowanie roczne jest równe $5 %$ , ale kapitalizacja następuje co pół roku, czyli dwa razy w czasie trwania lokaty.

Po pół roku do kwoty na lokacie zostają dopisane odsetki w wysokości $\frac{1}{2} \cdot 5 %$ z $1000 zł$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5 % \cdot 1000 = \frac{1}{2} \cdot 0, 05 \cdot 1000 = 0, 025 \cdot 1000 = 25$ .

Oznacza to, że po pół roku środki zgromadzone na lokacie są równe $1025 zł$ .

$1000 + \frac{1}{2} \cdot 5 % \cdot 1000 = 1000 (1 + \frac{1}{2} \cdot 0, 05) = 1000 \cdot 1, 025 = 1025$

Mija drugie półrocze, pod koniec którego następuje kolejna kapitalizacja odsetek. Klient za ten czas otrzymuje drugą część należnych odsetek w wysokości $\frac{1}{2} \cdot 5 %$ z $1025 zł$ , ponieważ na początku drugiego półrocza wartość lokaty była równa $1025 zł$ . Stąd po drugiej kapitalizacji odsetki są równe:

$\frac{1}{2} \cdot 5 % \cdot 1025 = \frac{1}{2} \cdot 0, 05 \cdot 1025 = 0, 025 \cdot 1025 = 25, 625$ .

Kwota zgromadzona na lokacie jest więc równa $1025 + 25, 625 = 1050, 625$ .

Inaczej możemy to zapisać w postaci:

$1025 + \frac{1}{2} \cdot 5 % \cdot 1025 = 1025 (1 + \frac{1}{2} \cdot 5 %) = 1000 (1 + \frac{1}{2} \cdot 5 %) (1 + \frac{1}{2} \cdot 5 %) =$ $= 1000 {(1 + \frac{1}{2} \cdot 5 %)}^{2}$ .

Wartość tego wyrażenia jest równa:

$1000 {(1 + \frac{1}{2} \cdot 5 %)}^{2} = 1000 {(1 + 2, 5 %)}^{2} = 1000 {(1 + 0, 025)}^{2} =$ $= 1000 \cdot 1, 050625 = 1050, 625$

Lokata $3$

Kapitał początkowy jest równy $1000 zł$ . Oprocentowanie roczne jest równe $5 %$ , ale kapitalizacja następuje co kwartał, czyli cztery razy w czasie trwania lokaty.

Po pierwszym kwartale do kwoty na lokacie zostają dopisane odsetki w wysokości $\frac{1}{4} \cdot 5 %$ z $1000 zł$ .

$1012, 50 zł$ .

Oznacza to, że po pół roku środki zgromadzone na lokacie są równe $1012, 50 zł$ .

$1000 + \frac{1}{4} \cdot 5 % \cdot 1000 = 1000 (1 + \frac{1}{4} \cdot 0, 05) = 1000 \cdot 1, 0125 = 1012, 50$ .

Pod koniec drugiego kwartału następuje kolejna kapitalizacja odsetek. Do środków zgromadzonych na lokacie dodawane są odsetki w wysokości $\frac{1}{4} \cdot 5 %$ z $1012, 5 zł$ , ponieważ na początku drugiego kwartału wartość lokaty była równa $1012, 5 zł$ . Stąd po drugiej kapitalizacji odsetki są równe:

$\frac{1}{4} \cdot 5 % \cdot 1012, 5 = \frac{1}{4} \cdot 0, 05 \cdot 1012, 5 = 0, 0125 \cdot 1012, 5 = 12, 65625 \approx 12, 656$ .

Kwota zgromadzona na lokacie jest więc równa $1012, 5 + 12, 65625 = 1025, 15625 \approx 1025, 156$ .

Inaczej możemy to zapisać w postaci:

$1012, 5 + \frac{1}{4} \cdot 5 % \cdot 1012, 5 = 1012, 5 (1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %) = 1000 (1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %)$ $(1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %) = 1000 {(1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %)}^{2}$

Wartość tego wyrażenia jest równa:

$1000 {(1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %)}^{2} = 1000 {(1 + 1, 25 %)}^{2} = 1000 {(1 + 0, 0125)}^{2} \approx 1025, 156$ .

Po trzecim kwartale do kwoty $1025, 156 zł$ zostaną dopisane odsetki w wysokości $\frac{1}{4} \cdot 5 %$ z kwoty $1025, 156 zł$ .

$\frac{1}{4} \cdot 5 % \cdot 1025, 156 = 12, 81445 \approx 12, 814$ .

Kwota zgromadzona na lokacie po trzecim kwartale jest więc równa:

$1025, 156 + 12, 81445 = 1037, 97045 \approx 1037, 97$

Inaczej możemy to zapisać w postaci:

$1025, 156 + \frac{1}{4} \cdot 5 % \cdot 1025, 156 = 1025, 156 (1 + \frac{1}{4} \cdot 0, 05) =$ $= 1000 {(1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %)}^{2} (1 + \frac{1}{4} \cdot 0, 05) = 1000 {(1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %)}^{3}$

$1000 {(1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %)}^{3} = 1000 {(1 + 1, 25 %)}^{3} = 1000 {(1 + 0, 0125)}^{3} \approx 1037, 97$ .

Po czwartym kwartale odsetki są równe:

$\frac{1}{4} \cdot 5 % \cdot 1037, 97 = \frac{1}{4} \cdot 0, 05 \cdot 1037, 97 = 0, 0125 \cdot 1037, 97 = 12, 974625 \approx$ $\approx 12, 975$

Kwota zgromadzona na lokacie po trzecim kwartale jest więc równa:

$1037, 97 + 12, 974625 = 1050, 944625 \approx 1050, 94$

Inaczej możemy to zapisać w postaci:

$1037, 97 + \frac{1}{4} \cdot 5 % \cdot 1037, 97 = 1037, 97 (1 + \frac{1}{4} \cdot 0, 05) =$ $= 1000 {(1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %)}^{3} (1 + \frac{1}{4} \cdot 0, 05) = 1000 {(1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %)}^{4}$

$1000 {(1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %)}^{4} = 1000 {(1 + 1, 25 %)}^{4} = 1000 {(1 + 0, 0125)}^{4} \approx 1050, 94$ .

Podsumujmy informacje na temat lokat w tabeli.

	lokata $1$	lokata $2$	lokata $3$
kapitał początkowy	$1000 zł$	$1000 zł$	$1000 zł$
oprocentowanie roczne	$5 %$	$5 %$	$5 %$
liczba kapitalizacji w czasie roku	$1$	$2$	$4$
kapitał końcowy	$1050 zł$	$1050, 63 zł$	$1050, 94 zł$
wzór na kapitał końcowy	$1000 (1 + 5 %)$	$1000 {(1 + \frac{1}{2} \cdot 5 %)}^{2}$	$1000 {(1 + \frac{1}{4} \cdot 5 %)}^{4}$

Wnioski

Przy takim samym kapitale początkowym oraz oprocentowaniu rocznym największe zyski (odsetki) uzyska klient, który założy lokatę z większą liczbą kapitalizacji odsetek w czasie trwania lokaty.

Aby obliczyć kapitał końcowy zgromadzony na lokacie w czasie roku, możemy skorzystać ze wzoru:
$K_{n} = K_{p} {(1 + \frac{p}{n})}^{n}$ ,
gdzie:
$K_{n}$ – kapitał końcowy,
$K_{p}$ – kapitał początkowy,
$p$ – oprocentowanie roczne (zapisane w postaci ułamka dziesiętnego),
$n$ – liczba kapitalizacji w czasie roku.

Oznaczmy $(1 + \frac{p}{n})$ jako $q$ , wtedy:
$K_{p} \overset{\cdot q}{⟶} K_{1} \overset{\cdot q}{⟶} K_{2} \overset{\cdot q}{⟶} K_{3} \overset{\cdot q}{⟶} \dots \overset{\cdot q}{⟶} K_{n} = K_{p} \cdot q^{n}$

Z otrzymanego wzoru i schematu wynika, że kapitał zgromadzony na lokacie rośnie wykładniczo.

procent składany

Definicja: procent składany

Procentem składanym nazywamy sposób oprocentowania wkładu pieniężnego $K_{p}$ (kapitału początkowego). Polega on na tym, że dochód w postaci odsetek jest doliczany do kapitału początkowego po każdym okresie oszczędzania i wraz z tym wkładem początkowym procentuje w następnym okresie oszczędzania.

Przykład 2

Na dwie lokaty w banku wpłacono $10000 zł$ na okres pięciu lat. Oprocentowanie roczne obu lokat jest takie samo i jest równe $4 %$ . W przypadku pierwszej lokaty kapitalizacja odsetek następuje po każdym roku, natomiast w przypadku drugiej lokaty odsetki zostają obliczone na koniec okresu oszczędzania. Obliczymy wartość kapitału końcowego w przypadku każdej z lokat.

Rozwiązanie

Lokata $1$

W przypadku pierwszej lokaty kapitalizacja odsetek następuje po każdym roku oszczędzania.

Po pierwszym roku kwota zgromadzona na lokacie jest równa:

$10000 + 4 % \cdot 10000 = 10000 \cdot (1 + 0, 04) = 10000 \cdot 1, 04 = 10400$ .

Po drugim roku kwota lokaty ma wartość:

$10400 + 4 % \cdot 10400 = 10400 \cdot (1 + 0, 04) = 10000 \cdot (1 + 0, 04) (1 + 0, 04) =$ $= 10000 \cdot {(1 + 0, 04)}^{2} = 10816$ .

Po trzecim roku oszczędzania kwota lokaty jest równa:

$10816 + 4 % \cdot 10816 = 10816 \cdot (1 + 0, 04) = 10000 \cdot {(1 + 0, 04)}^{2} (1 + 0, 04) =$ $= 10000 \cdot {(1 + 0, 04)}^{3} = 11248, 64$ .

Zauważmy, że po pięciu latach kapitał zgromadzony na lokacie można obliczyć w następujący sposób:

$10000 \cdot {(1 + 0, 04)}^{5} \approx 12166, 53$ .

Lokata $2$

W przypadku drugiej lokaty odsetki są obliczane pod koniec okresu oszczędzania. Za każdy rok dolicza się kwotę $4 %$ z $10000 zł$ .

$10000 + 5 \cdot 4 % \cdot 10000 = 10000 \cdot (1 + 5 \cdot 4 %) = 10000 \cdot (1 + 5 \cdot 0, 04) = 12000 [zł]$ .

Wnioski

Przy takim samym kapitale początkowym oraz oprocentowaniu rocznym korzystniej jest założyć lokatę, w której kapitalizacja odsetek odbywa się po każdym roku.

W Przykładzie 2. w przypadku lokaty pierwszej mamy do czynienia z procentem składanymprocent składanyprocentem składanym, natomiast w przypadku lokaty drugiej – z procentem prostymprocent prostyprocentem prostym.

procent prosty

Definicja: procent prosty

Procentem prostymprocent prostyProcentem prostym nazywamy sposób oprocentowania wkładu pieniężnego $K_{p}$ (kapitału początkowego). Polega on na tym, że dochód w postaci odsetek jest doliczany do kapitału początkowego po każdym okresie oszczędzania i nie jest brany pod uwagę jako wkład w następnym roku – nie jest uwzględniany przy obliczaniu oprocentowania w kolejnym roku.

Zwróćmy uwagę, że w przypadku procentu składanego kapitał rośnie wykładniczo.

R157qsUgRc0hf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, gdzie pozioma oś reprezentuje czas oszczędzania w latach z wartościami od 0 do 25, a pionowa oś reprezentuje kwotę zgromadzoną na koncie od 9000 do 2700 z podziałką co dwa tysiące. W układzie zaznaczono wykres słupkowy. W roku zero słupek znajduje się w połowie wysokości pomiędzy wartością 9000 a 1100, w pierwszym roku wartość sięga niewiele więcej niż w zerowym. W drugim roku oszczędzania kwota zgromadzona na lokacie wynosi prawie tysiąc sto. W trzecim roku kwota przekracza 1100, w czwartym, piątym i szóstym roku oszczędzania kwota zgromadzona na koncie rośnie, ale dopiero w siódmym roku wynosi tysiąc trzysta. W kolejnych latach kwota rośnie, dopiero w roku jedenastym przekracza wartość 1500, dalej rośnie miarowo i w 14 roku przekracza wartość 1700, dalej również rośnie z roku na rok i w roku 17 przekracza kwotę tysiąc dziewięćset. Następnie z każdym kolejnym rokiem wartości rosną, w 19 roku kwota zgromadzona na lokacie wynosi 2100, w 22 roku przekracza kwotę 2300, w roku 24 przekracza kwotę 2500 a w roku 25 wynosi niemal dwa tysiące siedemset.

Z kolei w przypadku procentu prostego kapitał rośnie liniowo.

RlGoZMnDhVJHT

Na podstawie przykładów pierwszego i drugiego można sformułować wzór, który pozwala obliczyć kapitał końcowy, jeżeli lokata została założona na kilka lat i kapitalizacja odsetek ma miejsce kilka razy w czasie jednego roku.

Ważne!

Przyjmijmy, że kapitał początkowy $K_{p}$ został wpłacony na lokatę taką, że:

oprocentowanie roczne jest równe $p %$ ,
kapitalizacja odsetek ma miejsce $n$ razy w ciągu roku,
okres trwania lokaty jest równy $m$ lat.

Wtedy kapitał końcowy obliczamy ze wzoru:

K_{n} = K_{p} {(1 + \frac{p}{n})}^{n \cdot m}

gdzie:
$K_{n}$ – kapitał końcowy,
$K_{p}$ – kapitał początkowy,
$p$ – oprocentowanie roczne (zapisane w postaci ułamka dziesiętnego),
$n$ – liczba kapitalizacji w ciągu roku,
$m$ – czas trwania lokaty w latach.

Przykład 3

W okresie wiosennym w jednym ze sklepów odzieżowych postanowiono zorganizować wyprzedaż kurtek zimowych. Cena kurtki w czasie sezonu była równa $300 zł$ . Podczas wyprzedaży cenę kurtki zmniejszano co dwa tygodnie o
$10 %$ . Obliczymy cenę kurtki po $10$ tygodniach.

Rozwiązanie

Po upływie kolejnych dwóch tygodni cena kurtki zmniejsza się o $10 %$ . W czasie $10$ tygodni cena zostanie obniżona $5$ razy. Za każdym razem cenę obniżamy o $10 %$ od ceny obniżonej wcześniej:

pierwsza obniżka: $300 - 10 % \cdot 300 = 300 (1 - 10 %) = 300 (1 - 0, 1) = 300 \cdot 0, 9 = 270$

druga obniżka: $270 - 10 % \cdot 270 = 270 (1 - 10 %) = 300 (1 - 10 %) (1 - 10 %) = 300 {(1 - 10 %)}^{2}$ .

Można więc zauważyć, że mamy do czynienia z procentem składanym.

Po $10$ tygodniach, czyli po pięciu obniżkach, cena kurtki jest równa:

$300 {(1 - 10 %)}^{5} = 300 \cdot 0, 9^{5} \approx 177, 15 [zł]$

Przykład 4

Pan Hubert wpłacił $10000 zł$ na lokatę, której roczna stopa procentowa jest równa $3 %$ z kapitalizacją odsetek co kwartał. Obliczymy, po ilu latach oszczędzania kapitał końcowy na lokacie przekroczy $12000 zł$ .

Rozwiązanie

Kapitalizacja odsetek na tej lokacie odbywa się cztery razy w roku przez kilka lat. Skorzystamy więc ze wzoru:

$K_{n} = K_{p} {(1 + \frac{p}{n})}^{n \cdot m}$

Po podstawieniu danych z treści zadania, otrzymujemy:

$12000 = 10000 {(1 + \frac{0, 03}{4})}^{4 m}$

Przekształcamy równanie tak, aby wyznaczyć liczbę lat $m$ .

$\frac{12000}{10000} = {(1 + \frac{0, 03}{4})}^{4 m}$

$1, 2 = {(1 + \frac{0, 03}{4})}^{4 m}$

Korzystamy z własności logarytmów:

$\log 1, 2 = \log {(1 + \frac{0, 03}{4})}^{4 m}$

$\log 1, 2 = 4 m \log (1 + \frac{0, 03}{4})$

$\frac{\log 1, 2}{4 \log (1 + \frac{0, 03}{4})} = m$

Do obliczenia wartości wyrażenia korzystamy z tablic logarytmów dziesiętnych.

$m = \frac{\log 1, 2}{4 \log (1 + \frac{0, 03}{4})} = \frac{\log 1, 2}{4 \log (\frac{4, 03}{4})} \approx 6, 1$

Kapitał końcowy na lokacie założonej przez pana Huberta przekroczy $12000 zł$ po $6$ latach i trzech miesiącach oszczędzania.

Przykład 5

Funkcję logarytmiczną i jej wykres można wykorzystać do ustalenia liczby cyfr, za pomocą których zapisujemy daną liczbę.

Zanim jednak wyprowadzimy ogólny wzór, zauważmy pewną prawidłowość. Rozważmy liczbę $5732$ złożoną z czterech cyfr. Ta liczba spełnia nierówność:

$1000 \leq 5732 < 10000$

co inaczej możemy zapisać w postaci:

$10^{3} \leq 5732 < 10^{4}$

Podobną nierówność możemy zapisać dla $92185$ :

$10000 \leq 92185 < 100000$

co inaczej możemy zapisać w postaci:

$10^{4} \leq 92185 < 10^{5}$ .

Zwróćmy uwagę, że wykładnik potęgi z prawej strony nierówności jest równy liczbie cyfr danej liczby.

Wyprowadźmy więc ogólny wzór, który umożliwi nam obliczenie liczby cyfr tworzących liczbę. Rozważmy liczbę naturalną $n$ , która złożona jest z $d$ cyfr. W systemie dziesiętnym ta liczba spełnia nierówność:

$10^{d - 1} \leq n < 10^{d}$

Skorzystamy z własności funkcji logarytmicznej, która jest różnowartościowa i monotoniczna.

$\log 10^{d - 1} \leq \log n < \log 10^{d}$

$d - 1 \leq \log n < d$

Zwróćmy uwagę, że $d \in ℕ$ .

Powyższą nierówność możemy zapisać w postaci:

$d - 1 \leq \log n \land \log n < d$

$d \leq \log n + 1 \land \log n < d$

Oznacza to, że liczba cyfr $d$ , za pomocą której liczbę naturalną $n$ zapisujemy w systemie dziesiętnym, jest większa od $\log n$ i mniejsza od $\log n + 1$ .

Narysujmy więc wykresy funkcji $y = \log x$ oraz $y = \log x + 1$ w jednym układzie współrzędnych.

Na osi $X$ odczytujemy liczbę, natomiast na osi $Y$ liczbę cyfr, za pomocą których tę liczbę opisujemy (czyli liczbę cyfr jej rozwinięcia dziesiętnego). Za pomocą suwaka możemy zmieniać liczbę.

R1NU1bVdfyPI7

Wzór, za pomocą którego można obliczyć liczbę cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby $n$ , wyznaczymy z nierówności:

$d - 1 \leq \log n < d$ , $d \in ℕ$

Aby ustalić liczbę cyfr potrzebujemy znać jedynie część całkowitą liczby $\log n$ , co w matematyce zapisujemy $[\log n]$ .

Zapis $[3, 582]$ oznacza $3$ , czyli $[3, 582] = 3$ .

Z nierówności

$d - 1 \leq \log n < d$

wynika więc, że

$d - 1 = [\log n]$ .

Stąd

$d = [\log n] + 1$

Sprawdźmy więc, czy otrzymany wzór działa.

$d = [\log 5732] + 1 = [3, 7583] + 1 = 3 + 1 = 4$

Liczba $5732$ rzeczywiście ma cztery cyfry.

$d = [\log 92185] + 1 = [4, 96466] + 1 = 4 + 1 = 5$

Za pomocą wzoru $d = [\log n] + 1$ można więc ustalić liczbę cyfr, za pomocą których zapiszemy liczbę $n$ w systemie dziesiętnym.

Przykład 6

Sprawdzimy, za pomocą ilu cyfr zapiszemy liczbę $50$ w systemie binarnym.

Rozwiązanie

W systemie binarnym liczby zapisujemy za pomocą zer i jedynek.

system dziesiętny	system binarny
$1$	$1$
$2$	$10$
$3$	$11$
$4$	$100$
$5$	$101$
$6$	$110$
$7$	$111$
$8$	$1000$
$9$	$1001$
$10$	$1010$
$11$	$1011$
$12$	$1100$
$13$	$1101$
$14$	$1110$
$15$	$1111$
$16$	$10000$

Można zauważyć, że liczba cyfr rozwinięcia binarnego liczby zwiększa się o jedną w przypadku liczb, które są potęgami dwójki.

Liczba $2$ jest najmniejszą liczbą, którą w systemie binarnym można zapisać za pomocą dwóch cyfr. Liczba $4$ jest najmniejszą liczbą, którą w systemie binarnym można zapisać za pomocą trzech zer i jedynek. Liczba $8$ z kolei jest najmniejszą liczbą, którą w systemie binarnym można zapisać za pomocą czterech zer i jedynek.

Liczba $6$ spełnia więc nierówność:

$4 \leq 6 < 8$

czyli

$2^{2} \leq 6 < 2^{3}$

Liczbę $6$ w systemie binarnym przedstawiamy jako $110$ , czyli za pomocą trzech cyfr.

Podobnie liczba $9$ spełnia nierówność:

$8 \leq 9 < 16$

$2^{3} \leq 9 < 2^{4}$

Liczbę $9$ w systemie binarnym przedstawiamy jako $1001$ , czyli za pomocą czterech cyfr.

Zwróćmy uwagę, że liczba cyfr, za pomocą których przedstawiamy liczbę w systemie binarnym, pojawia się w wykładniku potęgi z prawej strony nierówności. Poczynioną obserwację możemy więc uogólnić

Liczba naturalna $n$ , która w rozwinięciu binarnym ma $d$ cyfr, spełnia nierówność:

$2^{d - 1} \leq n < 2^{d}$

Skorzystamy z własności funkcji logarytmicznej, która jest różnowartościowa i monotoniczna.

$\log_{2} 2^{d - 1} \leq \log_{2} n < \log_{2} 2^{d}$

$d - 1 \leq \log_{2} n < d$

Skoro $d$ to liczba cyfr, więc $d \in ℕ$ .

Wynika stąd, że liczba cyfr $d$ , za pomocą której liczbę naturalną $n$ zapisujemy w systemie binarnym, jest większa od $\log_{2} n$ i mniejsza od $\log_{2} n + 1$ .

Narysujmy więc wykresy funkcji $y = \log_{2} x$ oraz $y = \log_{2} x + 1$ w jednym układzie współrzędnych.

Na osi $X$ odczytujemy liczbę, natomiast na osi $Y$ liczbę cyfr, za pomocą których tę liczbę opisujemy (czyli liczbę cyfr jej rozwinięcia binarnego). Za pomocą suwaka możemy zmieniać liczbę.

RrFwzYl1gDMzo

Wyznaczymy wzór, za pomocą którego można obliczyć liczbę cyfr rozwinięcia binarnego liczby $n$ .

$d - 1 \leq \log_{2} n < d$ , $d \in ℕ$

Aby ustalić liczbę cyfr potrzebujemy znać jedynie część całkowitą liczby $\log_{2} n$ , co w matematyce zapisujemy $⌊\log_{2} n⌋$ .

Z nierówności

$d - 1 \leq \log_{2} n < d$

wynika więc, że

$d - 1 = ⌊\log_{2} n⌋$ .

Stąd

$d = [\log_{2} n⌋ + 1$

Gdy $n = 50$ :

$d = ⌊\log_{2} 50⌋ + 1 = ⌊ 5, 643856 ⌋ + 1 = 5 + 1 = 6$ .

Z wykresu również odczytujemy, że liczba $50$ ma sześć cyfr rozwinięcia binarnego.

Słownik

kapitalizacja odsetek

dopisanie odsetek do kapitału po upływie określonego czasu

kapitał początkowy

początkowa kwota pieniędzy, wkład pieniężny

kapitał końcowy

końcowa kwota pieniędzy wraz z doliczonymi odsetkami za czas oszczędzania

odsetki

kwota dopisana do kapitału początkowego po upływie określonego czasu, zysk

procent prosty

sposób oprocentowania wkładu pieniężnego (kapitału początkowego). Polega on na tym, że dochód w postaci odsetek jest doliczany do kapitału początkowego po każdym okresie oszczędzania i nie jest brany pod uwagę jako wkład w następnym roku – nie jest uwzględniany przy obliczaniu oprocentowania w kolejnym roku

procent składany

sposób oprocentowania wkładu pieniężnego (kapitału początkowego). Polega on na tym, że dochód w postaci odsetek jest doliczany do kapitału początkowego po każdym okresie oszczędzania i wraz z tym wkładem początkowym procentuje w następnym okresie oszczędzania

roczna stopa procentowa

kwota (koszt), który przysługuje posiadaczowi kapitału w zamian za to, że pożyczył swoje pieniądze; zazwyczaj wyrażona jest jako procent od pożyczonej sumy i obliczana jest za każdy rok, w którym kwota była pożyczona

Wprowadzenie

Animacja

Słownik