Kąty pomiędzy odcinkami w sześcianie

W pierwszej części materiału omówimy kąty pomiędzy krawędziami sześcianu i jego przekątnymi oraz kąty pomiędzy przekątnymi w sześcianie.

Kąt między krawędzią a przekątną ściany

Jeżeli krawędź i przekątna ściany leżą na tej samej ścianie, to kąt pomiędzy nimi wynosi $45°$. Wynika to z faktu, że trójkąt prostokątny, którego bokami są krawędź i przekątna ściany jest równoramienny.

RaBTpe9amZpkE

Ilustracja przedstawia sześcian. Na ścianie bocznej zaznaczono jej przekątną. Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze 45 stopni.

Kąt pomiędzy krawędzią a przekątną ściany, z którą ma wspólny wierzchołek, ale nie leży na tej samej ścianie sześcianu jest kątem prostym. Wynika to z faktu, że sąsiednie ściany boczne w sześcianie są prostopadłe. Dwa odcinki leżące na płaszczyznach prostopadłych są do siebie prostopadłe.

R1LUMAgKIf5He

Ilustracja przedstawia sześcian. Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 90 stopni. Mają one wspólny wierzchołek ale nie leżą na tej samej ścianie sześcianu.

Kąt pomiędzy krawędzią a przekątną sześcianu

RTv1iXcjtnsJ5

Ilustracja przedstawia sześcian. zaznaczono na nim krawędź sześcianu oraz krawędź podstawy. Tworzą one ze sobą pewien kąt.

Kąt między przekątną ściany a przekątną sześcianu

RgbtbbSClqDDZ

Ilustracja przedstawia sześcian. Zaznaczono na nim krawędź sześcianu oraz krawędź ściany bocznej. Krawędzie mają wspólny wierzchołek. Między nimi tworzy się pewien kąt.

Trzy ostatnie przedstawione kąty są kątami tego samego trójkąta prostokątnego.

R1A9zWExz2vE7

Ilustracja przedstawia sześcian. Zaznaczono na nim krawędź sześcianu oraz krawędź ściany bocznej. Krawędzie mają wspólny wierzchołek. Krawędzie te tworzą z krawędzią podstawy płaszczyznę o kształcie trójkąta prostokątnego.

Przykład 1

Obliczymy sinus kąta pomiędzy przekątną ściany bocznej a przekątną sześcianukąt nachylenia przekątnej sześcianu do ścianykąta pomiędzy przekątną ściany bocznej a przekątną sześcianu.

Rozwiązanie

Znamy już zależności pomiędzy odcinkami w sześcianie. Zróbmy rysunek pomocniczy.

Rao2bcXdzA4KS

Ilustracja przedstawia sześcian. Zaznaczono na nim krawędź sześcianu równą $a\sqrt{3}$ oraz krawędź ściany bocznej o mierze $a\sqrt{2}$. Krawędzie mają wspólny wierzchołek tworzą kąt alfa . Krawędzie te tworzą z krawędzią podstawy równą a płaszczyznę o kształcie trójkąta prostokątnego.

Skorzystajmy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie zaznaczonym na rysunku. Mamy więc $\sin \alpha =\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzącymi ze wspólnego wierzchołka

R1PBNi0NWLsad

Ilustracja przedstawiająca sześcian. Zaznaczono na nim przekątne sąsiadujących ścian bocznych. Tworzą one między sobą pewien kąt. Wychodzą ze wspólnego wierzchołka.

Kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzącymi ze wspólnego wierzchołka jest kątem trójkąta, którego boki są przekątnymi ścian sześcianu. Trójkąt ten jest równoboczny, a zatem kąt między przekątnymi ścian ma miarę $60°$.

Rjv91qi1uOwux

Ilustracja przedstawiająca sześcian. Zaznaczono na nim przekątne sąsiadujących ścian bocznych. Tworzą one między sobą kąt 60 stopni. Wychodzą ze wspólnego wierzchołka. W połączeniu z krawędzią górnej podstawy tworzą płaszczyznę w kształcie trójkąta równobocznego.

Kąty pomiędzy przekątnymi sześcianu

Przekątne sześcianu przecinają się w punkcie, który dzieli je na połowy.

RPoBMbJsda4EZ

Ilustracja przedstawia sześcian. Przekątne sześcianu przecinają się w środku sześcianu.

Przykład 2

Uzasadnimy, że przekątne sześcianu przecinają się w punkcie, który dzieli je na połowy.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RuOJOzG3pJtbD

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H. Przekątne sześcianu AG i BH przecinają się w środku sześcianu i tworzą punkt I. Przekątne tworzą kąt o mierze alfa.

Kąty $\sphericalangle BAG$, $\sphericalangle ABH$, $\sphericalangle BHG$, $\sphericalangle HGA$ to kąty pomiędzy przekątną sześcianu a krawędzią sześcianu wychodzących z tego samego wierzchołka, a zatem mają tę samą miarę. Ponadto $\left|AB\right|=\left|HG\right|$. A zatem trójkąty równoramienne $AIB$ i $HIG$ są przystające (cecha $kbk$). A stąd $\left|AI\right|+\left|BI\right|=\left|HI\right|+\left|GI\right|$. A zatem punkt $I$ dzieli przekątne sześcianu $AG$ i $BH$ na połowy.

Inne kąty między odcinkami

W sześcianie możemy również wyróżnić inne kąty między jego odcinkami, których wartości jesteśmy w stanie obliczyć.

Przykład 3

Dany jest sześcian jak na rysunku. Obliczymy miarę kąta $\alpha$.

RcYiWqPgunf0r

Ilustracja przedstawia sześcian. Odcinki wychodzące z dwóch wierzchołków podstawy spotykają się w jednym punkcie na krawędzi ściany bocznej. Spotykają się w punkcie stanowiącym $\frac{3a}{4}$. Krawędź podstawy ma długość a

Rozwiązanie

Aby obliczyć długość jednego z odcinków zawartych w ramionach kąta, wykorzystamy trójkąt prostokątny.

RgOfQoXzqf6VY

Ilustracja przedstawia sześcian. Odcinki wychodzące z dwóch wierzchołków podstawy spotykają się w jednym punkcie na krawędzi ściany bocznej. Krótsza krawędź ma długość x. Spotykają się w punkcie stanowiącym $\frac{3a}{4}$. Krawędź podstawy ma długość a

Obliczymy długość odcinka oznaczonego przez $x$ z Twierdzenia Pitagorasa:

${\left(\frac{3a}{4}\right)}^2+a^2=x^2$.

A stąd $x^2=\frac{25}{16}{a}^2$ i ostatecznie $x=\frac{5a}{4}$.

A teraz skorzystamy z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym zaznaczonym na rysunku poniżej.

R1Fvg1JLv3iPL

Ilustracja przedstawia sześcian. Krawędzie wychodzące z dwóch wierzchołków krawędzi podstawy spotykają się w jednym punkcie na krawędzi bocznej. Tworzą one kąt alfa. Krótszy odcinek ma długość $\frac{5a}{4}$, a krawędź podstawy ma długość a 

Mamy więc $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{\frac{5a}{4}}=\frac{4}{5}=0,8$. A zatem $\alpha \approx 38°$.

Kąty pomiędzy odcinkami a płaszczyznami w sześcianie

Kąt nachylenia przekątnej ściany do płaszczyzny innej ściany jest kątem pomiędzy przekątną a krawędzią podstawy, ponieważ to krawędź jest rzutem przekątnej na ścianę sześcianu.

Kąt nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny ściany sześcianu jest kątem pomiędzy przekątną sześcianu a przekątną ściany wychodzącą z tego samego wierzchołka, ponieważ przekątna ściany jest rzutem przekątnej sześcianu na ścianę.

Istnieją również inne kąty pomiędzy odcinkami i płaszczyznami w sześcianie.

Przykład 4

Obliczymy sinus kąta nachylenia odcinka $x$ do płaszczyzny podstawy sześcianu.

RCsbUcgfSOTq6

Ilustracja przedstawia sześcian o krawędzi a. Z wierzchołka krawędzi podstawy wychodzi prosta stykająca się z przeciwległa górną krawędzią podstawy. Dzieląc krawędź na pół.

Rozwiązanie

Zaznaczmy kąt nachylenia $x$ do płaszczyzny podstawy $\left(\alpha \right)$.

RjX25dzNZ6l1W

Ilustracja przedstawia sześcian o krawędzi a. Z wierzchołka krawędzi podstawy wychodzi prosta o mierze x stykająca się z przeciwległa górną krawędzią podstawy. Dzieląc krawędź na pół. Z punktu górnej podstawy przeprowadzono prostopadle odcinek do dolnej podstawy. Odcinek łączący omawiany wcześniej wierzchołek z prostopadłą prostą ma miarę y. Odcinek x oraz y tworzą kąt alfa.

Obliczymy długość odcinka $y$ z twierdzenie Pitagorasa:

$a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=y^2$. A zatem $y^2=\frac{5}{4}{a}^2$, a stąd $y=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.

Teraz wyraźmy długość $x$ za pomocą $a$ (również z twierdzenia Pitagorasa):

$a^2+{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}a\right)}^2=x^2$.

A stąd $x^2=\frac{9}{4}{a}^2$ i ostatecznie $x=\frac{3}{2}a$.

Obliczmy $\sin \alpha$ z zależności trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym: $\sin \alpha =\frac{a}{\frac{3}{2}a}=\frac{2}{3}$.

Słownik