Wykorzystując wykresy funkcji $y=4x+8$ i  $y=-2x+2$, rozwiążemy:

a) równanie $4x+8 =-2x+2$

b) nierówność $4x+8<-2x+2$

c) układ równań $\left\{\begin{array}{l}y=4x+8\\ y=-2x+2\end{array}\right.$

d) układ nierówności $\left\{\begin{array}{l}y\le 4x+8\\ y\le -2x+2\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Aby znaleźć rozwiązania, na początku narysujemy wykresy funkcji $y=4x+8$ i $y=-2x+2$ w jednym układzie współrzędnych.

Chcąc narysować prostą będącą wykresem funkcji liniowej, musimy wyznaczyć współrzędne dwóch punktów leżących na tej prostej:

• dla funkcji $y=4x+8$ będzie to na przykład punkt o odciętej $x=-2$ oraz punkt o odciętej $x=-1$:

  $y=4·\left(-2\right)+8=0$,

  $y=4·\left(-1\right)+8=4$.

• dla funkcji $y=-2x+2$ będzie to na przykład punkt o odciętej $x=0$ oraz punkt o odciętej $x=-1$:

  $y=-2·\left(0\right)+2=2$,

  $y=-2\cdot (-1)+2=4$.

a) Rozwiążemy równanie $4x+8=-2x+2$. W tym celu  rysujemy wykresy obu funkcji  i z rysunku   odczytujemy współrzędne punktu ich przecięcia.

R4FCrGKh9VOJX

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji pierwszej stanowi niebieska linia ukośna, przechodząca przez punkty $\left(-3;-4\right)$ oraz $\left(-1;4\right)$. Wykres drugiej funkcji stanowi czerwona linia ukośna przechodząca przez punkty $\left(3;-4\right)$, oraz $\left(-1;4\right)$. Punkt o współrzędnych $\left(-1;4\right)$, jest punktem wspólnym, zatem punktem przecięcia obu wykresów.

Rozwiązaniem równania jest pierwsza współrzędna punktu przecięcia dwóch prostych $y=4x+8$ i $y=-2x+2$, czyli $x=-1$.

b) Rozwiążemy nierówność $4x+8<-2x+2$.

Musimy określić, dla jakich wartości $x$, wartości funkcji $y=4x+8$ są mniejsze od wartości funkcji $y=-2x+2$.

RtyFpXdUhmLby

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji pierwszej stanowi niebieska linia ukośna, przechodząca przez punkty $\left(-3;-4\right)$ oraz $\left(-1;4\right)$. Wykres drugiej funkcji stanowi czerwona linia ukośna przechodząca przez punkty $\left(3;-4\right)$, oraz $\left(-1;4\right)$. Punkt o współrzędnych $\left(-1;4\right)$, jest punktem wspólnym, zatem punktem przecięcia obu wykresów. Na osi $X$, zaznaczono zieloną linię biegnącą od minus nieskończoności do punktu $x=-1$. Pionową linią przerywaną połączono punkt przecięcia wykresów funkcji z punktem $x=-1$ na osi $X$.

Korzystając z graficznej interpretacji nierówności dostajemy, że dla $x<-1$, wartości funkcji $y=4x+8$ są mniejsze od wartości funkcji $y=-2x+2$.

W związku z tym nierówność $4x+8<-2x+2$ spełniają liczby $x$ takie, że $x\in \left(-\infty ,-1\right)$.

c) Rozwiązemy układ równań $\left\{\begin{array}{l}y=4x+8\\ y=-2x+2\end{array}\right.$.

Graficzne rozwiązanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi polega na znalezieniu punktów wspólnych  prostych, będących wykresami tych równań.

Proste $y=4x+8$ i $y=-2x+2$ przecinają się w punkcie $P=(-1,4)$. Jego współrzędne stanowią rozwiązanie układu równań. Współrzędne punktu $P$ odczytujemy z wykresu.

R1Jwhg8FgK3BL

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji pierwszej stanowi niebieska linia ukośna, przechodząca przez punkty $\left(-3;-4\right)$ oraz $\left(-1;4\right)$. Wykres drugiej funkcji stanowi czerwona linia ukośna przechodząca przez punkty $\left(3;-4\right)$, oraz $\left(-1;4\right)$. Punkt o współrzędnych $\left(-1;4\right)$, jest punktem wspólnym, zatem punktem przecięcia obu wykresów.

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: $x=-1$ i $y=4$.

d) Rozwiążemy układ nierówności $\left\{\begin{array}{l}y\le 4x+8\\ y\le -2x+2\end{array}\right.$.

Punkty płaszczyzny spełniające nierówności to punkty leżące pod prostymi oraz leżące na tych prostych.

Wykresem każdej z powyższych nierówności jest półpłaszczyzna, a ich część wspólna stanowi ilustrację graficzną rozwiązania powyższego układu nierówności.

R9eCBJE953Tzo

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji pierwszej stanowi niebieska linia ukośna, przechodząca przez punkty $\left(-3;-4\right)$ oraz $\left(-1;4\right)$. Wykres drugiej funkcji stanowi czerwona linia ukośna przechodząca przez punkty $\left(3;-4\right)$, oraz $\left(-1;4\right)$. Punkt o współrzędnych $\left(-1;4\right)$, jest punktem wspólnym, zatem punktem przecięcia obu wykresów. Kolorem niebieskim zacieniowano obszar znajdujący się po prawej stronie ukośnej linii niebieskiej. Kolorem czerwonym zacieniowano obszar znajdujący się po lewej stronie linii czerwonej. Kolorem fioletowym zaznaczono obszar wspólny sięgający od linii niebieskiej do linii czerwonej, poniżej punktu przecięcia.

Rozwiązaniem układu nierówności jest obszar zacieniony wraz z półprostymi ograniczającymi ten obszar (każda nierówność jest nieostra).

Wykorzystując wykresy funkcji $y=x^2$ i $y=-2x+3$, rozwiążemy:

a) równanie $x^2=-2x+3$

b) nierówność $x^2>-2x+3$

c) układ równań $\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=-2x+3\end{array}\right.$

d) układ  $\left\{\begin{array}{l}y>x^2\\ y=-2x+3\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Rysujemy wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych.

Aby narysować prostą, będącą wykresem funkcji liniowej, musimy podać współrzędne dwóch punktów leżących na tej prostej:

• dla funkcji $y=-2x+3$ będzie to na przykład punkt o odciętej $x=0$ oraz punkt o odciętej $x=-1$:

  $y=-2\cdot \left(0\right)+3=3$,

  $y=-2\cdot \left(-1\right)+3=5$.

Wykresem funkcji $y=x^2$ jest parabola. Wykres tej funkcji narysujemy na podstawie tabeli poniżej.

a) Rozwiążemy równanie: $x^2=-2x+3$. 

Po sporządzeniu wykresów obu funkcji, odczytujemy współrzędne punktów ich przecięcia.

Rozwiązaniem równania są pierwsze współrzędne $x$ tych punktów.

ROIFoBEgWcmuK

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji pierwszej jest parabolą, której wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych , a jej ramiona skierowane są do góry. Parabola ma równanie $y=x^2$ , więc przechodzi przez punkty $\left(-1,1\right)$ oraz $\left(1,1\right)$. Wykres drugiej funkcji jest prostą o równaniu $y=-2x+3$, która przechodzi przez punkty $\left(0,3\right)$ oraz $\left(2,-1\right)$. Dwa wykresy funkcji przecinają się w punktach $\left(-3,9\right)$ oraz $\left(1,1\right)$.

Rozwiązaniami równania $x^2=-2x+3$ są liczby: $x_1=-3$, $x_2=1$.

b) Rozwiążemy nierówność: $x^2\le -2x+3$.

Musimy określić, dla jakich wartości $x$, wartości funkcji $y=x^2$ są równe lub mniejsze od wartości funkcji $y=-2x+3$.

RBDqXAVntPB4W

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji pierwszej jest parabolą, której wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych , a jej ramiona skierowane są do góry. Parabola ma równanie $y=x^2$ , więc przechodzi przez punkty $\left(-1,1\right)$ oraz $\left(1,1\right)$. Wykres drugiej funkcji jest prostą o równaniu $y=-2x+3$, która przechodzi przez punkty $\left(0,3\right)$ oraz $\left(2,-1\right)$. Dwa wykresy funkcji przecinają się w punktach $\left(-3,9\right)$ oraz $\left(1,1\right)$. Na osi $X$ zaznaczono przedział obustronnie domknięty od minus trzy do 1 .

Korzystając z graficznej interpretacji nierówności dostajemy, że dla $-3\le x\le 1$, wartości funkcji $y=x^2$ są równe lub mniejsze od wartości funkcji $y=-2x+3$.

W związku z powyższym, nierówność $x^2\le -2x+3$ jest spełniona dla $x\in ⟨-3, 1⟩$.

c) Rozwiążemy układ równań $\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=-2x+3\end{array}\right.$.

Rozwiązaniem układu równań są współrzedne  punktów wspólnych  wykresów funkcji: $y=x^2$ i $y=-2x+3$, czyli ich punktów  przecięcia: $P=\left(-3, 9\right)$ i $K=\left(1, 1\right)$. Pary ich współrzędnych stanowią rozwiązanie układu.

RjmuEqDJJdIwK

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji pierwszej jest parabolą, której wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych , a jej ramiona skierowane są do góry. Parabola ma równanie $y=x^2$ , więc przechodzi przez punkty $\left(-1,1\right)$ oraz $\left(1,1\right)$. Wykres drugiej funkcji jest prostą o równaniu $y=-2x+3$, która przechodzi przez punkty $\left(0,3\right)$ oraz $\left(2,-1\right)$. Dwa wykresy funkcji przecinają się w punktach $P=\left(-3,9\right)$ oraz $K=\left(1,1\right)$.

Rozwiązanie układu równań: $x_1=-3$, $y_1=9$ oraz $x_2=1$, $y_2=1$.

d) Rozwiążemy układ  $\left\{\begin{array}{l}y>x^2\\ y=-2x+3\end{array}\right.$.

Znajdziemy punkty wspólne wykresów spełniające warunek: $y>x^2$ i $y=-2x+3$. Korzystając z wykresu funkcji $y=x^2$, wykresem nierówności  $y>x^2$ jest obszar zawarty między ramionami otrzymanej paraboli. Wykresem $y=-2x+3$ jest prosta. Ich część wspólną można odczytać z graficznej interpretacji układu.

R8HdjYCCY54rq

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji, oraz zaznaczono punkt P o współrzędnych $\left(-3;9\right)$, oraz punkt K o współrzędnych $\left(1;1\right)$. Wykres funkcji pierwszej stanowi parabola, znajdująca się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych, i wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$. Wykres funkcji drugiej stanowi prosta ukośna. Wykresy obu funkcji przechodzą przez niezamalowane punkty P i K. Poprowadzono poziomą linię przerywaną od punktu P do punktu -3 na osi $X$, oraz od punktu K do punktu -1 na osi $X$. Kolorem niebieskim zacieniowano obszar znajdujący się wewnątrz paraboli.

Rozwiązaniem układu jest zbiór punktów zaznaczony na czerwono bez punktów wspólnych z parabolą (nierówność jest ostra).

Rozwiążmy nierówność: $\left|2-\left|2-\left|x\right|\right|\right|<1$.

Rozwiązanie:

Musimy określić, dla jakich wartości $x$, wartości funkcji $y=\left|2-\left|2-\left|x\right|\right|\right|$ są mniejsze od wartości funkcji $y=1$.

Chcąc narysować wykres funkcjiwykres funkcji liczbowejwykres funkcji $y=\left|2-\left|2-\left|x\right|\right|\right|$ szkicujemy kolejno wykresy funkcji:

$y=\left|x\right|$,

$y=-\left|x\right|$,

$y=2-\left|x\right|$,

$y=\left|2-\left|x\right|\right|$,

$y=-\left|2-\left|x\right|\right|$,

$y=2-\left|2-\left|x\right|\right|$,

i ostatecznie: $y=\left|2-\left|2-\left|x\right|\right|\right|$.

Kolejne etapy rysowania wykresu funkcji pokazują rysunki:

RjbhF3JwLamYW

Ilustracja pierwsza. Przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y, równa się, moduł z x. Wykres składa się z dwóch ukośnych półprostych. Pierwsza półprosta jest skierowana w dół i biegnie od minus nieskończoności przez punkt $\left(-2;2\right)$ do początku układu współrzędnych. Druga półprosta jest skierowana w górę i biegnie od początku układu współrzędnych, przez punkt $\left(2;2\right)$ do plus nieskończoności.

R1EIkMcCcFtHX

Ilustracja druga. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y, równa się, minus moduł z x. Wykres składa się z dwóch ukośnych półprostych. Pierwsza półprosta jest skierowana w górę i biegnie od minus nieskończoności przez punkt $\left(-2;-2\right)$ do początku układu współrzędnych. Druga półprosta jest skierowana w dół i biegnie od początku układu współrzędnych, przez punkt $\left(2;-2\right)$ do plus nieskończoności.

RhUEl2Mvu0tjX

Ilustracja trzecia. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y, dwa, minus, moduł z x. Wykres składa się z dwóch ukośnych półprostych. Pierwsza półprosta jest skierowana w górę i biegnie od minus nieskończoności do punktu $\left(0;2\right)$, przecinając oś $X$ w punkcie -2. Druga półprosta jest skierowana w dół i biegnie od punktu $\left(0;2\right)$ do plus nieskończoności, przecinając oś $X$ w punkcie dwa.

RI9CgjZ1QbYPq

Ilustracja czwarta. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y=\left|2-\left|x\right|\right|$. Wykres składa się z dwóch ukośnych półprostych i dwóch ukośnych odcinków. Pierwsza półprosta jest skierowana w dół i biegnie od minus nieskończoności do $x=-2$. Odcinek pierwszy łączy punkt -2 na osi $X$, z punktem o współrzędnych $\left(0;2\right)$. Drugi odcinek łączy punkt $\left(0;2\right)$ z punktem 2 na osi $X$. Druga półprosta jest skierowana w górę i biegnie od punktu $x=2$ do plus nieskończoności.

R235KWvjPvkr5

Ilustracja piąta. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y=-\left|2-\left|x\right|\right|$. Wykres składa się z dwóch ukośnych półprostych i dwóch ukośnych odcinków. Pierwsza półprosta jest skierowana w górę i biegnie od minus nieskończoności do $x=-2$. Odcinek pierwszy łączy punkt -2 na osi $X$, z punktem o współrzędnych $\left(0;-2\right)$. Drugi odcinek łączy punkt $\left(0;-2\right)$ z punktem 2 na osi $X$. Druga półprosta jest skierowana w dół i biegnie od punktu $x=2$ do plus nieskończoności.

RYHiT3GLnfZb5

Ilustracja szósta. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y=2-\left|2-\left|x\right|\right|$. Wykres składa się z dwóch ukośnych półprostych i dwóch ukośnych odcinków. Pierwsza półprosta jest skierowana w górę i biegnie od minus nieskończoności do punktu $\left(-2;2\right)$. Odcinek pierwszy łączy punkt $\left(-2;2\right)$, z początkiem układu współrzędnych. Drugi odcinek łączy środek układu współrzędnych z punktem $\left(2;2\right)$. Druga półprosta jest skierowana w dół i biegnie od punktu $\left(2;2\right)$ do plus nieskończoności.

RKVUjFjLhvpYf

Ilustracja siódma. Na płaszczyźnie przedstawiono wykres funkcji $y=\left|2-\left|2-\left|x\right|\right|\right|$. Wykres składa się z dwóch ukośnych półprostych i czterech ukośnych odcinków. Pierwsza półprosta jest skierowana w dół i biegnie od minus nieskończoności do punktu -4 na osi $X$. Pierwszy odcinek łączy punkt -4 na osi $X$, z punktem o współrzędnych $\left(-2;2\right)$. Drugi odcinek łączy punkt $\left(-2;2\right)$ z początkiem układu współrzędnych. Trzeci odcinek łączy początek układu współrzędnych z punktem $\left(2;2\right)$. Czwarty odcinek łączy punkt $\left(2;2\right)$ z punktem 4 na osi $X$. Druga półprosta jest skierowana w górę i biegnie od punktu $x=4$ do plus nieskończoności.

Ry2or1B1baZeS

Ilustracja ósma. Na płaszczyźnie narysowano czerwoną poziomą prostą, trzy zielone odcinki znajdujące się na osi $X$, oraz niebieski wykres funkcji $y=\left|2-\left|2-\left|x\right|\right|\right|$. Prostą opisuje równanie $y=1$. Prosta przecina niebieski wykres funkcji w  punktach $\left(-5;1\right)$, $\left(-3;1\right)$, $\left(-1;1\right)$, $\left(1;1\right)$, $\left(3;1\right)$, oraz $\left(5;1\right)$. Pierwszy zielony odcinek ograniczony jest z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-5;0\right)$, z prawej niezamalowanym punktem $\left(-3;0\right)$. Drugi zielony odcinek ograniczony jest z lewej strony niezamalowanym punktem $\left(-1;0\right)$, oraz z prawej niezamalowanym punktem $\left(1;0\right)$. Trzeci zielony odcinek ograniczony jest z lewej strony punktem $\left(3;0\right)$, oraz z prawej punktem $\left(5;0\right)$. Poprowadzono linie przerywane z punktów ograniczających odcinki do punktów przecięcia prostej z niebieskim wykresem funkcji.

Z powyższego wykresu odczytujemy, że wartości funkcji $y=\left|2-\left|2-\left|x\right|\right|\right|$ są mniejsze od wartości funkcji $y=1$ dla $x\in \left(-5,-3\right)\cup \left(-1,1\right)\cup \left(3,5\right)$.

Rozwiążemy graficznie równanie $-\left(f\left(x-6\right)-1\right)=g\left(x-3\right)-2$, jeśli $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2$, zaś $g\left(x\right)=\left|x\right|$.

Rozwiązanie:

Narysujemy najpierw wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2$. Wykresem tej funkcji jest parabola, którą naszkicujemy korzystając z tabeli:

R18803RwiDUxj

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus ośmiu do siedmiu, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano zielony wykres funkcji $y=f\left(x\right)$. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i ramionach skierowanych w górę. Wykres przechodzi przez punkty o współrzędnych $\left(-3;3\right)$, oraz $\left(3;3\right)$.

Parabolę tę przesuwamy o $6$ w prawo i o $1$ w dół,

R11MNRdUCk9Qb

Na ilustracji przedstawiono zielony wykres funkcji $y=f\left(x\right)$, oraz różowy wykres funkcji $y=f\left(x-6\right)-1$. Wykres czerwony jest przesunięciem funkcji zielonej o 6 jednostek w prawo i jedną w dół. Zatem wierzchołkiem paraboli czerwonej jest punkt $\left(6;-1\right)$. Ramiona przecinają oś X, oraz przechodzą przez punkty o współrzędnych $\left(3;2\right)$ oraz $\left(9;2\right)$.

a następnie odbijamy symetrycznie względem osi $X$:

RnBqPiAtJgBCZ

Na ilustracji przedstawiono różowy wykres funkcji $y=f\left(x-6\right)-1$ oraz niebieski wykres funkcji $y=-\left(f\left(x-6\right)-1\right)$. Wykres niebieski jest symetrycznym odbiciem wykresu różowego względem osi $X$. Zatem wierzchołkiem paraboli niebieskiej jest punkt $\left(6;1\right)$, a jej ramiona skierowane są w dół i przechodzą przez punkty o współrzędnych $\left(3;-2\right)$, oraz $\left(9;-2\right)$.

Rysujemy teraz wykres funkcji $g\left(x\right)=\left|x\right|$, a następnie przesuwamy go o $3$ w prawo i $2$ w dół:

R5bJrGfLAUDSj

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do jedenastu, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Niebieski wykres funkcji $g\left(x\right)$, składający się z dwóch ukośnych półprostych. Pierwsza półprosta jest skierowana w dół i biegnie od minus nieskończoności do początku układu współrzędnych, przez punkt $\left(-2;2\right)$. Druga półprosta jest skierowana w górę i biegnie od początku układu współrzędnych do plus nieskończoności, przez punkt $\left(2;2\right)$. Drugi wykres funkcji jest czerwony i opisuje go wzór $y=g\left(x-3\right)-2$. Wykres czerwony stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół. Zatem pierwsza półprosta biegnie od minus nieskończoności, przez punkt $x=1$ do punktu o współrzędnych $\left(3;-2\right)$. Druga półprosta biegnie od punktu $\left(3;2\right)$, przez punkt $x=5$ do plus nieskończoności.

Rozwiązaniem równania są odcięte punktów wspólnych obu wykresów, czyli $x=3$ lub $x=6$:

R1RH4hgAx1tiz

Na płaszczyźnie przedstawiono czerwony wykres funkcji $y=g\left(x-3\right)-2$, oraz niebieski wykres funkcji $y=-\left(f\left(x-6\right)-1\right)$. Zaznaczono dwa punkty wspólne obu wykresów, które zrzutowano na oś $X$. Współrzędne pierwszego punktu to $\left(3;-2\right)$. Współrzędne drugiego punktu to $\left(6;1\right)$.

wykres funkcji liczbowej $f$ : $X\to Y$ – zbiór punktów: $\left\{\left(x, f\left(x\right)\right): x\in X\right\}$