Przeczytaj
Graficzna metoda rozwiązywania równań i nierówności z dwiema niewiadomymi polega na sporządzeniu wykresów odpowiednich funkcji, a następnie odczytaniu z rysunku rozwiązania zadania. W ogólności o wiele prościej jest nam myśleć o obrazkach (wykresach), niż o przekształceniach równań/nierówności.
Zaprezentujemy ilustrację graficzną rozwiązań równań, nierówności, a także układów równań i nierówności.
Wykorzystując wykresy funkcji i , rozwiążemy:
a) równanie
b) nierówność
c) układ równań
d) układ nierówności
Rozwiązanie:
Aby znaleźć rozwiązania, na początku narysujemy wykresy funkcji i w jednym układzie współrzędnych.
Chcąc narysować prostą będącą wykresem funkcji liniowej, musimy wyznaczyć współrzędne dwóch punktów leżących na tej prostej:
dla funkcji będzie to na przykład punkt o odciętej oraz punkt o odciętej :
,
.
dla funkcji będzie to na przykład punkt o odciętej oraz punkt o odciętej :
,
.
a) Rozwiążemy równanie . W tym celu rysujemy wykresy obu funkcji i z rysunku odczytujemy współrzędne punktu ich przecięcia.
Rozwiązaniem równania jest pierwsza współrzędna punktu przecięcia dwóch prostych i , czyli .
b) Rozwiążemy nierówność .
Musimy określić, dla jakich wartości , wartości funkcji są mniejsze od wartości funkcji .
Korzystając z graficznej interpretacji nierówności dostajemy, że dla , wartości funkcji są mniejsze od wartości funkcji .
W związku z tym nierówność spełniają liczby takie, że .
c) Rozwiązemy układ równań .
Graficzne rozwiązanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi polega na znalezieniu punktów wspólnych prostych, będących wykresami tych równań.
Proste i przecinają się w punkcie . Jego współrzędne stanowią rozwiązanie układu równań. Współrzędne punktu odczytujemy z wykresu.
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: i .
d) Rozwiążemy układ nierówności .
Punkty płaszczyzny spełniające nierówności to punkty leżące pod prostymi oraz leżące na tych prostych.
Wykresem każdej z powyższych nierówności jest półpłaszczyzna, a ich część wspólna stanowi ilustrację graficzną rozwiązania powyższego układu nierówności.
Rozwiązaniem układu nierówności jest obszar zacieniony wraz z półprostymi ograniczającymi ten obszar (każda nierówność jest nieostra).
Wykorzystując wykresy funkcji i , rozwiążemy:
a) równanie
b) nierówność
c) układ równań
d) układ
Rozwiązanie:
Rysujemy wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych.
Aby narysować prostą, będącą wykresem funkcji liniowej, musimy podać współrzędne dwóch punktów leżących na tej prostej:
dla funkcji będzie to na przykład punkt o odciętej oraz punkt o odciętej :
,
.
Wykresem funkcji jest parabola. Wykres tej funkcji narysujemy na podstawie tabeli poniżej.
a) Rozwiążemy równanie: .
Po sporządzeniu wykresów obu funkcji, odczytujemy współrzędne punktów ich przecięcia.
Rozwiązaniem równania są pierwsze współrzędne tych punktów.
Rozwiązaniami równania są liczby: , .
b) Rozwiążemy nierówność: .
Musimy określić, dla jakich wartości , wartości funkcji są równe lub mniejsze od wartości funkcji .
Korzystając z graficznej interpretacji nierówności dostajemy, że dla , wartości funkcji są równe lub mniejsze od wartości funkcji .
W związku z powyższym, nierówność jest spełniona dla .
c) Rozwiążemy układ równań .
Rozwiązaniem układu równań są współrzedne punktów wspólnych wykresów funkcji: i , czyli ich punktów przecięcia: i . Pary ich współrzędnych stanowią rozwiązanie układu.
Rozwiązanie układu równań: , oraz , .
d) Rozwiążemy układ .
Znajdziemy punkty wspólne wykresów spełniające warunek: i . Korzystając z wykresu funkcji , wykresem nierówności jest obszar zawarty między ramionami otrzymanej paraboli. Wykresem jest prosta. Ich część wspólną można odczytać z graficznej interpretacji układu.
Rozwiązaniem układu jest zbiór punktów zaznaczony na czerwono bez punktów wspólnych z parabolą (nierówność jest ostra).
Rozwiążmy nierówność: .
Rozwiązanie:
Musimy określić, dla jakich wartości , wartości funkcji są mniejsze od wartości funkcji .
Chcąc narysować wykres funkcjiwykres funkcji szkicujemy kolejno wykresy funkcji:
,
,
,
,
,
,
i ostatecznie: .
Kolejne etapy rysowania wykresu funkcji pokazują rysunki:
Z powyższego wykresu odczytujemy, że wartości funkcji są mniejsze od wartości funkcji dla .
Rozwiążemy graficznie równanie , jeśli , zaś .
Rozwiązanie:
Narysujemy najpierw wykres funkcji . Wykresem tej funkcji jest parabola, którą naszkicujemy korzystając z tabeli:
Parabolę tę przesuwamy o w prawo i o w dół,
a następnie odbijamy symetrycznie względem osi :
Rysujemy teraz wykres funkcji , a następnie przesuwamy go o w prawo i w dół:
Rozwiązaniem równania są odcięte punktów wspólnych obu wykresów, czyli lub :
Słownik
wykres funkcji liczbowej : – zbiór punktów: