Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Miejsce zerowe
Definicja: Miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0.

Już wiesz

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Jeżeli funkcja kwadratowa jest określona wzorem fx=ax2+bx+c, gdy a0, to:

  • dla a>0 ramiona paraboli są skierowane do góry,

  • dla a<0 ramiona paraboli są skierowane do dołu.

Miejsce zerowe funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej określamy w zależności od wartości wyróżnika funkcji kwadratowej, który obliczamy za pomocą wzoru =b2-4·a·c.

Graficznie, miejsce zerowe funkcji interpretujemy jako pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z poziomą osią X.

Jeżeli funkcja kwadratowa jest określona wzorem fx=ax2+bx+c oraz a0, to:

  • gdy >0, funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem fx=3x2-3.

Ponieważ =02-4·3·-3=36, zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

R1CeeLngSyexw

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem fx=-2x2+3x.

Ponieważ =32-4·-2·0=9, zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Rctik0LhdEL1k
  • gdy =0, funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem fx=x2-6x+9.

Ponieważ a=1 oraz =-62-4·1·9=0, zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe.

RRDD2nPUOUkGl

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem fx=-x2+4x-4.

Ponieważ a=-1 oraz =42-4·-1·-4=0, zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe.

RvnTeS0njkF6M
  • gdy <0, funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem fx=2x2+3x+2.

Ponieważ =32-4·2·2=-7, zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.

R1ea0NoM7r1CO

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem fx=-12x2-1.

Ponieważ a=-12 oraz =02-4·-12·-1=-2, zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.

R11d0gnygeNZ9
liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej
Własność: liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Każda funkcja kwadratowa ma co najwyżej dwa miejsca zerowe.

Mając dany wzór funkcji możemy bez szkicowania wykresu, określić liczbę miejsc zerowych tej funkcji.

Przykład 1

Wyznaczymy liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej określonej wzorem fx=-x2+3x-3.

Obliczamy =32-4·-1·-4=9-16=-7.

Ponieważ =-7, zatem funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

Wiedząc o tym, że liczba miejsc zerowychmiejsce zerowemiejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika, możemy znajdować wartości parametrów we wzorze funkcji kwadratowej, znając liczbę miejsc zerowych tej funkcji.

Przykład 2

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru b funkcja określona wzorem fx=2x2-bx+1 ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, gdy =0.

Obliczamy =-b2-4·2·1=b2-8

Do wyznaczenia wartości parametru b rozwiązujemy równanie

b2-8=0, zatem b=-22 lub b=22.

Przykład 3

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru b funkcja kwadratowa określona wzorem fx=ax2+bx+1 nie ma miejsc zerowych, przy założeniu, że a>0.

Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, gdy <0.

Obliczamy:

=b2-4a.

Zakres wartości parametru b określimy przez rozwiązanie nierówności

b2-4a<0

Nierówność możemy zapisać w postaci b<2ab>-2a, zatem b-2a,2a.

Przykład 4

Wyznaczymy liczbę miejsc zerowych funkcji określonej wzorem fx=ax2+b+1x w zależności od wartości parametru b, jeżeli a0.

Obliczamy:

=b+12-4·a·0=b+12

  • funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy <0, zatem b+12<0, czyli b,

  • funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, gdy =0, zatem b+12=0, czyli b=-1,

  • funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe, gdy >0, zatem b+12>0, czyli b-,-1-1,.

Słownik

miejsce zerowe
miejsce zerowe

argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0, pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią X

funkcja kwadratowa
funkcja kwadratowa

funkcja określona za pomocą wzoru fx=ax2+bx+c, gdzie a, b, c oraz a0