Przeczytaj

Miejsce zerowe

Definicja: Miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ .

Już wiesz

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Jeżeli funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdy $a \neq 0$ , to:

dla $a > 0$ ramiona paraboli są skierowane do góry,
dla $a < 0$ ramiona paraboli są skierowane do dołu.

Miejsce zerowe funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej określamy w zależności od wartości wyróżnika funkcji kwadratowej, który obliczamy za pomocą wzoru $Δ = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ .

Graficznie, miejsce zerowe funkcji interpretujemy jako pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z poziomą osią $X$ .

Jeżeli funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ oraz $a \neq 0$ , to:

gdy $Δ > 0$ , funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = 3 x^{2} - 3$ .

Ponieważ $Δ = 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 3) = 36$ , zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

R1CeeLngSyexw

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=3x2-3. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie o współrzędnych 0;-3. Na wykresie oznaczono dwa punkty będące miejscami zerowymi funkcji. Są to punkty o współrzędnych: -1;0 oraz 1;0.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - 2 x^{2} + 3 x$ .

Ponieważ $Δ = 3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 0 = 9$ , zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Rctik0LhdEL1k

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=-2x2+3x. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku znajdującym się w pierwszej ćwiartce układu. Na wykresie oznaczono dwa punkty będące miejscami zerowymi funkcji. Są to punkty o współrzędnych: 0;0 oraz 32;0.

gdy $Δ = 0$ , funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

Ponieważ $a = 1$ oraz $Δ = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0$ , zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe.

RRDD2nPUOUkGl

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=x2-6x+9. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku znajdującym się w punkcie o współrzędnych 3;0. Na wykresie oznaczono jeden punkt będący miejscem zerowym funkcji. Punkt ten pokrywa się z wierzchołkiem paraboli.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - x^{2} + 4 x - 4$ .

Ponieważ $a = - 1$ oraz $Δ = 4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 0$ , zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe.

RvnTeS0njkF6M

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=-x2+4x-4. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku znajdującym się w punkcie o współrzędnych 2;0. Na wykresie oznaczono jeden punkt będący miejscem zerowym funkcji. Punkt ten pokrywa się z wierzchołkiem paraboli.

gdy $Δ < 0$ , funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2$ .

Ponieważ $Δ = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = - 7$ , zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.

R1ea0NoM7r1CO

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=2x2+3x+2. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku znajdującym się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Brak miejsc zerowych, parabola nie przecina się z osią X.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 1$ .

Ponieważ $a = - \frac{1}{2}$ oraz $Δ = 0^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- 1) = - 2$ , zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.

R11d0gnygeNZ9

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=-12x2-1. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku znajdującym się w punkcie o współrzędnych 0;-1. Brak miejsc zerowych, parabola nie przecina się z osią X.

liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Własność: liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Każda funkcja kwadratowa ma co najwyżej dwa miejsca zerowe.

Mając dany wzór funkcji możemy bez szkicowania wykresu, określić liczbę miejsc zerowych tej funkcji.

Przykład 1

Wyznaczymy liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - x^{2} + 3 x - 3$ .

Obliczamy $Δ = 3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 9 - 16 = - 7$ .

Ponieważ $Δ = - 7$ , zatem funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

Wiedząc o tym, że liczba miejsc zerowychmiejsce zerowemiejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika, możemy znajdować wartości parametrów we wzorze funkcji kwadratowej, znając liczbę miejsc zerowych tej funkcji.

Przykład 2

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $b$ funkcja określona wzorem $f (x) = 2 x^{2} - b x + 1$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, gdy $Δ = 0$ .

Obliczamy $Δ = {(- b)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = b^{2} - 8$

Do wyznaczenia wartości parametru $b$ rozwiązujemy równanie

$b^{2} - 8 = 0$ , zatem $b = - 2 \sqrt{2}$ lub $b = 2 \sqrt{2}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $b$ funkcja kwadratowa określona wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ nie ma miejsc zerowych, przy założeniu, że $a > 0$ .

Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, gdy $Δ < 0$ .

Obliczamy:

$Δ = b^{2} - 4 a$ .

Zakres wartości parametru $b$ określimy przez rozwiązanie nierówności

$b^{2} - 4 a < 0$

Nierówność możemy zapisać w postaci $b < 2 \sqrt{a}$ i $b > - 2 \sqrt{a}$ , zatem $b \in (- 2 \sqrt{a}, 2 \sqrt{a})$ .

Przykład 4

Wyznaczymy liczbę miejsc zerowych funkcji określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + (b + 1) x$ w zależności od wartości parametru $b$ , jeżeli $a \neq 0$ .

Obliczamy:

$Δ = {(b + 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot 0 = {(b + 1)}^{2}$

funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $Δ < 0$ , zatem ${(b + 1)}^{2} < 0$ , czyli $b \in \emptyset$ ,
funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, gdy $Δ = 0$ , zatem ${(b + 1)}^{2} = 0$ , czyli $b = - 1$ ,
funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe, gdy $Δ > 0$ , zatem ${(b + 1)}^{2} > 0$ , czyli $b \in (- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

Słownik

miejsce zerowe

argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ , pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $X$

funkcja kwadratowa

funkcja określona za pomocą wzoru $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik