Przeczytaj
Do podobieństwa brył podchodzimy w ten sam sposób, jak do podobieństwa figur płaskich. Zauważmy, że ściany brył są figurami płaskimi. Przeanalizujmy siatki kilku brył. To pomoże nam w zrozumieniu zależności pomiędzy bryłami podobnymipodobnymi.
Zacznijmy od sześcianu.
![Ilustracja przedstawia dwie siatki sześcianu składające się z sześciu kwadratów. Pierwsza siatka ma następujące ułożenie: w kolumnie ułożono cztery kwadraty jeden na drugi. Do drugiego kwadratu od góry z prawej strony przylega kwadrat, natomiast do trzeciego kwadratu od góry z lewej strony przylega kwadrat. Druga siatka jest mniejsza od pierwszej. Ułożenie kwadratów w tej siatce jest następujące: dwa kwadraty połączono ze sobą tak, że leżą jeden na drugim, z prawej strony wyższego kwadratu znajduje się kolejny kwadrat, do tego kwadratu przylega kolejny kwadrat i do niego następny, tak, że w kolumnie znajdują się trzy kwadraty. Do najwyższego kwadratu z prawej strony przylega ostatni kwadrat.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RlikxgP7YSt1a/1618577958/165JJMrYE2W8RdpXVWWGBGFHEmtqWF6I.png)
Powierzchnia sześcianu składa się z sześciu przystających kwadratów.
Dwa kwadraty są podobne. Co to oznacza?
Czy dwa sześciany będą podobne?
Odpowiedź brzmi: tak! Sześciany są bryłami podobnymi.
Kolejna bryła to prostopadłościan.
![Ilustracja przedstawia dwie siatki prostopadłościanu. Pierwsza z nich składa się z dwóch kwadratów i czterech prostokątów ułożonych w następujący sposób: na środku znajduje się kwadrat, do każdej z jego ścian krótszym bokiem przylega prostokąt, do drugiej krótszej krawędzi prostokąta który znajduje się od góry środkowego kwadratu przylega drugi kwadrat. Obok znajduje się mniejsza siatka o takim samym kształcie.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1eA0mu7LQH48/1618577958/Mk7UQNHfBbnT8XzjPIy7zjPeHTBReuwd.png)
Powierzchnia prostopadłościanu składa się z sześciu prostokątów.
Dwa prostokąty są podobne, gdy ich odpowiednie boki są proporcjonalneproporcjonalne.
Zatem, co z prostopadłościanami? Kiedy będą bryłami podobnymi?
Przeanalizujmy jeszcze siatki czworościanów.
![Ilustracja przedstawia dwie siatki czworościanu. Pierwsza z nich składa się z czterech trójkątów równobocznych, ułożonych w taki sposób, że di każdego boku trójkąta znajdującego się na środku przylega jeden trójkąt. Obok znajduje się mniejsza siatka i identycznym kształcie.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rp06ZhYVfe7PB/1618577958/1VnyqixqkzYXiE2f0fiEIM9UwU2xv41e.png)
Powierzchnia czworościanu składa się z czterech trójkątów. Trójkąty są do siebie podobne, gdy ich boki są proporcjonalne.
Czy zatem czworościany są bryłami podobnymi? Nie zawsze. Od czego to zależy?
Możemy więc odpowiedzieć na pytanie, kiedy dwie bryły są podobne? Bryły są podobne, gdy odległości między punktami jednej bryły są proporcjonalne do odległości między odpowiadającymi im punktami w drugiej bryle.
Pamiętajmy, że aby stwierdzić podobieństwo brył, nie wystarczy sprawdzić proporcjonalności krawędzi. Poza proporcjonalnością odpowiednich krawędzi, musimy także zwrócić uwagę na kształt brył, które porównujemy. Na przykład: w graniastosłupach prostych o podstawie rombu odpowiadające sobie krawędzie mogą być proporcjonalne, ale kąty w podstawie mogą mieć różne miary. To już sprawia, że te bryły nie są podobne.
Tak jak w przypadku figur płaskich, skalę podobieństwa brył otrzymamy, dzieląc przez siebie długości odpowiadających sobie odcinków lub obwody odpowiadających sobie ścian. Pamiętajmy, że skala podobieństwa jest stała i z każdego otrzymanego stosunku boków lub obwodów musimy uzyskać taką samą wartość.
Skala podobieństwa sześcianów wynosi . Obliczymy długość przekątnej większego sześcianu wiedząc, że krawędź podstawy mniejszego z nich ma długość .
Rozwiązanie
Niech – długość boku większego sześcianu. Układamy równanie, wykorzystując skalę podobieństwa brył:
,
.
Zatem przekątna sześcianu ma długość .
Dwa czworościany foremne są podobnepodobne w skali . Obliczmy wysokość większego z nich, jeśli krawędź mniejszego ma długość .
Rozwiązanie
Zacznijmy od obliczenia wysokości czworościanu foremnego o krawędzi .
Oznaczmy ją .
Oznaczmy wysokość większego czworościanu foremnego. Wówczas mamy:
,
.
Wysokość większego czworościanu foremnego ma długość .
Dane są dwa podobne stożki. Skala podobieństwa pól ich podstaw wynosi . Jaka jest skala podobieństwa tych stożków?
Rozwiązanie
Skala podobieństwa pól figur płaskich wynosi .
Stosunek promieni kół wynosi , więc skala podobieństwa stożków wynosi tyle samo.
Dane są dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne. W jednym krawędź boczna o długości jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem , w drugim ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens wynosi , a wysokość jego ściany bocznej ma długość . Sprawdź, czy te ostrosłupy są podobne. Jeśli tak, podaj ich skalę podobieństwa.
Rozwiązanie:
Wykonajmy rysunki pomocnicze.
![Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny, długość krawędzi podstawy wynosi a. Długość krawędzi bocznej wynosi dziesięć. W podstawie zaznaczono jej przekątne. Spodek wysokości H opuszczonej z wierzchołka górnego znajduje się w miejscu przecięcia przekątnych. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest krawędź boczna, a przyprostokątnymi są wysokość ostrosłupa i odcinek będący fragmentem przekątnej podstawy łączący wysokość z przeciwprostokątną. Kąt pomiędzy przekątną podstawy a krawędzią boczną wynosi 45 stopni.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RZwEiIt0BRp9g/1618577959/TDoLnVoUYCHhX7WJPYoC4ktWJaL3nNoT.png)
Zauważmy, że zaznaczony trójkąt jest równoramiennym trójkątem prostokątnym. Wówczas , czyli .
Połowa przekątnej podstawy też ma długość , cała przekątna więc ma długość , co oznacza, że krawędź podstawy możemy obliczyć z zależności: , stąd .
Narysujmy teraz drugi omawiany ostrosłup.
![Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny, długość krawędzi podstawy wynosi a. W podstawie zaznaczono jej przekątne. Spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka górnego znajduje się w miejscu przecięcia przekątnych. Wysokość ma długość 2x . W ścianie bocznej ostrosłupa również zaznaczono jej wsokość ma ona długość 103. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej, a przyprostokątnymi są wysokość ostrosłupa i odcinek łączący spodki tych wysokości, który podpisano literą x. Kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej, a odcinkiem łączącym spodki wysokości podpisano literą alfa.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RJ1jnoxo6OeSD/1618577959/7WMMx8HG44YdJ5VIAtDxzcD89ifY0jR2.png)
Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy .
Zatem krawędź podstawy ostrosłupa ma długość , a wysokość ostrosłupa ma długość .
Porównajmy odpowiednie odcinki w obu ostrosłupach:
,
.
Zatem ostrosłupy są podobne. Skala podobieństwa wynosi .
Dane są dwa stożki. W jednym kąt rozwarcia stożka jest prosty, a promień podstawy ma długość . W drugim sinus kąta nachylenia tworzącej, o długości , do płaszczyzny podstawy wynosi .
Sprawdzimy, czy te stożki są podobne. Jeśli tak, podamy ich skalę podobieństwa.
Rozwiązanie:
Wykonajmy rysunki pomocnicze.
![Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny ABS, przyprostokątne AS oraz BS są podpisane literą l. Odcinek AB podpisano 2r. Przez punkty A oraz B przechodzi okrąg.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rk9U0Dni9U5U4/1618577959/Fq0jlGFHaRFWjeXItwc4zLbaEUzgjEgh.png)
Trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc , stąd orzymujemy .
Narysujmy drugi stożek.
![Ilustracja przedstawia trójkąt ABS, bok BS podpisano 2r. W trójkącie z wierzchołka S na bok AB opuszczono wysokość H. Przez punkty A oraz B przechodzi okrąg. Odcinek od spodka wysokości do wierzchołka podpisano literą x. Kąt ABS popisano literą alfa.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RAeiBpNFRkN7i/1618577959/13XMkdfKUBrjfSBSLC1Mm1Ki2HB0qK6r.png)
Skoro , to znaczy, że , czyli .
Policzmy promień podstawy:
.
Porównajmy odpowiednie odcinki w obu stożkach:
Zatem stożki nie są podobne.
Słownik
jeżeli dane są cztery odcinki takie, że stosunek pierwszych dwóch jest równy stosunkowi dwóch ostatnich , to takie odcinki nazywamy proporcjonalnymi i wyrażamy to, pisząc proporcję
w uproszczeniu możemy powiedzieć, że ich iloraz jest stały
figury, których odpowiadające sobie odcinki są proporcjonalne