Przeczytaj
Okręgiem o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległości od punktu są równe długości promienia .
Równanie okręgu na płaszczyźnie możemy zapisać w postaci kanonicznej.
Postać kanoniczną równania okręgu zapisujemy następująco:
, gdzie – środek okręgu oraz - promień okręgu.
Równanie okręgu w postaci kanonicznej możemy sprowadzić do następującej postaci (poprzez wykonanie działań i uporządkowanie):
Odejmując następnie stronami wyraz , otrzymujemy:
.
Porządkując, otrzymujemy:
.
Oznaczmy teraz .
Otrzymamy wyrażenie, które nazywamy postacią ogólną równania okręgupostacią ogólną równania okręgu:
, gdzie .
Jeżeli , to
.
Zatem promień okręgu obliczamy ze wzoru , przy czym .
Z dziedziny pierwiastka oraz warunku, że otrzymujemy nierówność: .
Zauważmy, że jeżeli wykonamy podstawienie i , to postać ogólną równania okręgu możemy zapisać jako:
, przy czym oraz środek okręgu .
Wyznaczymy środek i promień okręgu o równaniu:
.
Odwołując się do postaci ogólnej równania okręgu, z podanego równania możemy odczytać, że , oraz .
Otrzymujemy: , , .
Zatem środek okręgu ma współrzędne .
Promień okręgu wynosi: .
Zapiszemy postać ogólną okręgu o środku w punkcie i promieniu .
Zauważmy, że dane są i oraz .
Wartość współczynnika obliczymy ze wzoru .
Zapisujemy zatem: .
Stąd .
Po podstawieniu do równania okręgu otrzymujemy:
.
Wyznaczymy równanie okręgu w postaci ogólnej, jeżeli końce jego średnicy to punkty oraz .
Zauważmy, że środek odcinka jest środkiem zadanego okręgu.
Oznaczmy – środek okręgu.
Wykorzystamy wzór na środek odcinka o końcach oraz :
Po podstawieniu do wzoru mamy .
Zatem i .
Długość promienia jest równa połowie długości średnicy .
Długość odcinka o końcach oraz obliczamy ze wzoru:
Zatem
Obliczamy wartość współczynnika .
Otrzymane wartości współczynników podstawiamy do równania okręgu w postaci ogólnej.
Otrzymujemy równanie: .
Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru równanie przedstawia okrąg.
Z równania możemy odczytać, że , oraz .
Zatem , oraz .
Po podstawieniu do wzoru na otrzymujemy: .
Ponieważ , zatem .
Równanie przedstawia okrąg dla .
Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru równanie przedstawia okrąg.
Z podanego równania otrzymujemy warunki:
i oraz .
Zatem , oraz .
Podstawiamy otrzymane wartości do wzoru na promień okręgu.
Stąd .
Ponieważ , zatem .
Obliczamy:
Rozwiązaniem nierówności jest zbiór . Dla tych wartości parametru , zadane równanie przedstawia okrąg.
Słownik
, gdzie , przy czym oraz środek okręgu