Przeczytaj

Okręgiem o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległości od punktu $O$ są równe długości promienia $r$ .

Równanie okręgu na płaszczyźnie możemy zapisać w postaci kanonicznej.

Już wiesz

Postać kanoniczną równania okręgu zapisujemy następująco:

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdzie $S = (a, b)$ – środek okręgu oraz $r$ - promień okręgu.

Równanie okręgu w postaci kanonicznej możemy sprowadzić do następującej postaci (poprzez wykonanie działań i uporządkowanie):

$x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} = r^{2}$

Odejmując następnie stronami wyraz $r^{2}$ , otrzymujemy:

$x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} - r^{2} = 0$ .

Porządkując, otrzymujemy:

$x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} - r^{2} = 0$ .

Oznaczmy teraz $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .

Otrzymamy wyrażenie, które nazywamy postacią ogólną równania okręgupostać ogólna równania okręgupostacią ogólną równania okręgu:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ .

Jeżeli $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ , to

$r^{2} = a^{2} + b^{2} - c$ .

Zatem promień okręgu obliczamy ze wzoru $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ , przy czym $r > 0$ .

Z dziedziny pierwiastka oraz warunku, że $r > 0$ otrzymujemy nierówność: $a^{2} + b^{2} > c$ .

Zauważmy, że jeżeli wykonamy podstawienie $A = - 2 a$ i $B = - 2 b$ , to postać ogólną równania okręgu możemy zapisać jako:

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ , przy czym $r = \frac{1}{2} \sqrt{A^{2} + B^{2} - 4 C}$ oraz środek okręgu $S = (a, b)$ .

Przykład 1

Wyznaczymy środek i promień okręgu o równaniu:

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 1 = 0$ .

Odwołując się do postaci ogólnej równania okręgu, z podanego równania możemy odczytać, że $- 2 a = - 4$ , $- 2 b = 2$ oraz $c = - 1$ .

Otrzymujemy: $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = - 1$ .

Zatem środek okręgu ma współrzędne $S = (2, - 1)$ .

Promień okręgu wynosi: $r = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} - (- 1)} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ .

Przykład 2

Zapiszemy postać ogólną okręgu o środku w punkcie $S = (3, - 2)$ i promieniu $r = 3$ .

Zauważmy, że dane są $a = 3$ i $b = - 2$ oraz $r = 3$ .

Wartość współczynnika $c$ obliczymy ze wzoru $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .

Zapisujemy zatem: $c = 3^{2} + {(- 2)}^{2} - 3^{2}$ .

Stąd $c = 4$ .

Po podstawieniu do równania okręgu otrzymujemy:

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 4 = 0$ .

Przykład 3

Wyznaczymy równanie okręgu w postaci ogólnej, jeżeli końce jego średnicy to punkty $A = (- 1, 5)$ oraz $B = (5, 3)$ .

Zauważmy, że środek odcinka $A B$ jest środkiem zadanego okręgu.

Oznaczmy $S = (a, b)$ – środek okręgu.

Wykorzystamy wzór na środek $S$ odcinka o końcach $A = (x_{1}, y_{1})$ oraz $B = (x_{2}, y_{2})$ :

$S = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Po podstawieniu do wzoru mamy $S = (\frac{- 1 + 5}{2}, \frac{5 + 3}{2}) = (2, 4)$ .

Zatem $a = 2$ i $b = 4$ .

Długość promienia $r$ jest równa połowie długości średnicy $A B$ .

Długość odcinka o końcach $A = (x_{1}, y_{1})$ oraz $B = (x_{2}, y_{2})$ obliczamy ze wzoru:

$|A B| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Zatem

$r = \frac{1}{2} \sqrt{{(- 1 - 5)}^{2} + {(5 - 3)}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 4} =$ $\sqrt{10}$

Obliczamy wartość współczynnika $c$ .

$c = 2^{2} + 4^{2} - {(\sqrt{10})}^{2} = 10$

Otrzymane wartości współczynników podstawiamy do równania okręgu w postaci ogólnej.

Otrzymujemy równanie: $x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + 10 = 0$ .

Przykład 4

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y + m = 0$ przedstawia okrąg.

Z równania możemy odczytać, że $- 2 a = - 4$ , $- 2 b = 4$ oraz $c = m$ .

Zatem $a = 2$ , $b = - 2$ oraz $c = m$ .

Po podstawieniu do wzoru na $r$ otrzymujemy: $r = \sqrt{4 + 4 - m} = \sqrt{8 - m}$ .

Ponieważ $r > 0$ , zatem $8 - m > 0$ .

Równanie przedstawia okrąg dla $m \in (- \infty, 8)$ .

Przykład 5

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^{2} + y^{2} - m^{2} - m + 12 = 0$ przedstawia okrąg.

Z podanego równania otrzymujemy warunki:

$- 2 a = 0$ i $- 2 b = 0$ oraz $c = - m^{2} - m + 12$ .

Zatem $a = 0$ , $b = 0$ oraz $c = - m^{2} - m + 12$ .

Podstawiamy otrzymane wartości do wzoru na promień $r$ okręgu.

Stąd $r = \sqrt{- (- m^{2} - m + 12)} = \sqrt{m^{2} + m - 12}$ .

Ponieważ $r > 0$ , zatem $m^{2} + m - 12 > 0$ .

Obliczamy:

$∆ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 1 + 48 = 49$

$\sqrt{∆} = 7$

$m_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$

$m_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $m \in (- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$ . Dla tych wartości parametru $m$ , zadane równanie przedstawia okrąg.

Słownik

postać ogólna równania okręgu

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , gdzie $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ , przy czym $r > 0$ oraz środek okręgu $S = (a, b)$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik