Funkcję

gdzie: $W_1\left(x\right)$, $W_2\left(x\right)$ są wielomianamiwielomianwielomianami i $W_2\left(x\right)\not\equiv 0$,

nazywamy funkcją wymierną.

Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem tych liczb $x$, które są pierwiastkami wielomianupierwiastek wielomianupierwiastkami wielomianu $W_2\left(x\right)$.

Na podstawie poniższego wykresu funkcji wymiernej $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-6x+8}$ opiszemy jej własności.

R16sM9GhwHw7a

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 6 i pionową osią y od minus 3 do 3 w układzie zaznaczono wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-6x+8}$. Wykres ten składa się z trzech części i posiada trzy asymptoty. Poziomą asymptotę o równaniu $y=0$ oraz dwie pionowe asymptoty o równaniach $x=2$ i $x=4$. Pierwsza część wykresu pojawia się w drugiej ćwiartce tuż nad osią x i biegnie po łuku, następnie wychodzi poza płaszczyznę układu po lewej stronie asymptoty o równaniu $x=2$. Druga część pojawia się na wykresie w czwartej ćwiartce i biegnie najpierw wzdłuż prawej strony pionowej asymptoty, dobiega po łuku do punktu nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu również w czwartej ćwiartce wzdłuż lewej strony asymptoty $x=4$.

Rozwiązanie:

• Dziedzina funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2,4\right\}$.

• Zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\left(-\infty ,-1\right.⟩\cup \left(0,\infty \right)$.

• Miejsce zerowe: brak.

• Wykres funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $\left(0,\frac{1}{8}\right)$.

• Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $\left.⟨3,4\right)$, $\left(4;\infty \right)$.

• Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ,2\right)$, $\left(2,3\right.⟩$.

• $f\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(2,4\right)$.

• $f\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(-\infty ,2\right)\cup \left(4,\infty \right)$.

• Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej.

• Wykres funkcji ma asymptotęasymptotaasymptotę poziomą o równaniu: $y=0$.

• Wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu: $x=2$ oraz $x=4$.

Funkcję wymierną postaci:

gdzie: $c\ne 0$ i $ad-cb\ne 0$,

nazywamy funkcją homograficzną.

Narysujemy wykres funkcji homograficznej $f\left(x\right)=\frac{2x-3}{x-1}$.

Rozwiązanie:

Aby narysować wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{2x-3}{x-1}$ należy najpierw przekształcić jej wzór do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{2x-3}{x-1}=\frac{2\left(x-1\right)-1}{x-1}=\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}-\frac{1}{x-1}=2-\frac{1}{x-1}=-\frac{1}{x-1}+2$

zatem rysujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=-\frac{1}{x}$ i przesuwamy go o wektor $\left[1,2\right]$.

RSTfbQ8HexrIu

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=-\frac{1}{x-1}+2$, ma on kształt hiperboli i posiada dwie asymptoty. Asymptota pionowa ma równanie $x=1$, asymptota pozioma ma równanie $y=2$. Pierwsza część wykresu pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie po łuku przez punkt o współrzędnych zero średnik trzy zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce wzdłuż lewej strony pionowej asymptoty. Druga część wykresu pojawia się w czwartej ćwiartce i biegnie po łuku wzdłuż prawej strony pionowej asymptoty, następnie przechodzi przez punkt nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce pod poziomą asymptotą.

Narysujemy wykres funkcji wymiernej $f\left(x\right)=\frac{9-x^4}{x^2+3}$.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy dziedzinę funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}$, ponieważ wyrażenie w mianowniku nie przyjmuje wartości równej $0$.

Następnie przekształcamy wzór funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{9-x^4}{x^2+3}=\frac{\left(3-x^2\right)\left(3+x^2\right)}{x^2+3}=3-x^2$

czyli wykresem tej funkcji jest parabola.

RFX0iFkBFREq1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=3-x^2$. Wykres ten ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do dołu i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu. Lewe ramię przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu, prawe ramię przechodzi przez punkt jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Narysujemy wykres funkcji wymiernej $f\left(x\right)=\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-1}$.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy dziedzinę funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1,1\right\}$, ponieważ wyrażenie w mianowniku dla $x=-1$ oraz $x=1$ przyjmuje wartość równą $0$.

Następnie przekształcamy wzór funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-1}=\frac{{\left(x^2-1\right)}^2}{x^2-1}=x^2-1$

czyli wykresem tej funkcji jest parabola, która nie posiada wartości dla $x=-1$ oraz $x=1$.

R1cs8ONEaSheq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-1}$. Wykres ten ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Na wykresie niezamalowanymi kropkami zaznaczono dwa punkty, współrzędne pierwszego z nich to nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, a współrzędne drugiego to nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu.

Narysujemy wykres funkcji wymiernej $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x^2-4}$.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy dziedzinę funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2,2\right\}$, ponieważ wyrażenie w mianowniku dla $x=-2$ oraz $x=2$ przyjmuje wartość równą $0$.

Następnie przekształcamy wzór funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x+2}$

czyli wykresem tej funkcji jest hiperbola, która nie posiada wartości dla $x=-2$ oraz $x=2$.

Aby narysować wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x+2}$ należy narysować wykres funkcji $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ i przesunąć go o wektor $\left[-2,0\right]$.

R1XIgJvxhqWGO

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 3 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x^2-4}$, ma on kształt hiperboli i posiada dwie asymptoty. Asymptota pionowa ma równanie $x=-2$, asymptota pozioma ma równanie $y=0$. Pierwsza część wykresu znajduje się w całości w trzeciej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias minus trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Druga część znajduje się w drugiej oraz pierwszej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik jeden. Na drugiej części wykresu nad odciętą równą dwa zaznaczono niezamalowany punkt.

wyrażenie algebraiczne będące sumą jednomianów

argument, dla którego wartość wielomianu wynosi zero

prosta, do której coraz bardziej „zbliża się” wykres pewnej funkcji, w dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą