Przeczytaj

Przypomnijmy definicję równania wymiernego.

Równanie wymierne

Definicja: Równanie wymierne

Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci:

\frac{W (x)}{P (x)} = 0

gdzie:
$W (x)$ to wielomian i $P (x) \neq 0$ to wielomian przynajmniej stopnia pierwszego.

Równania wymiernerównanie wymierneRównania wymierne mają szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu problemów związanych z życiem codziennym. W poniższych przykładach omówimy ich wykorzystanie m.in. w fizyce.

Opór zastępczy

Połączenie dwóch oporników o oporach odpowiednio $R_{1}$ i $R_{2}$ tak, jak na poniższym schemacie nazywamy połączeniem równoległym.

R1R2VuBHCS1cO

Opór zastępczy $R_{c}$ tego układu oporników obliczamy ze wzoru:

\frac{1}{R_{c}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}

Gdy połączymy równolegle $n$ oporników o oporach odpowiednio $R_{1}$ , $R_{2}$ , $. . .$ , $R_{n}$ , to opór zastępczy takiego układu obliczamy ze wzoru:

\frac{1}{R_{c}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + . . . + \frac{1}{R_{n}}

Przykład 1

Obliczymy wartości oporów w połączeniu równoległym dwóch oporników, wiedząc o tym, że wartość oporu $R_{1}$ jest o $1200 Ω$ większa od wartości oporu $R_{2}$ , a wartość oporu zastępczego wynosi $800 Ω$ .

Rozwiązanie

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$R_{1} = x + 1200$

$R_{2} = x$

$R_{c} = 800$

Zatem do wyznaczenia wartości $x$ ( $x > 0$ ) rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{800} = \frac{1}{x + 1200} + \frac{1}{x}$

$x \cdot (x + 1200) = 800 \cdot x + 800 \cdot (1200 + x)$

$x^{2} - 400 x - 960000 = 0$

$∆ = {(- 400)}^{2} - 4 \cdot (- 960000) = 160000 + 3840000 = 4000000$

$x_{1} = \frac{400 - 2000}{2} = - 800 < 0$

$x_{2} = \frac{400 + 2000}{2} = 1200 > 0$

Zatem $R_{1} = 2400 Ω$ oraz $R_{2} = 1200 Ω$ .

Równanie soczewki

Jeśli $x$ oznacza odległość przedmiotu $A B$ od środka soczewki, $y$ – odległość od środka soczewki do obrazu $A' B'$ tego przedmiotu, a $f$ – ogniskową soczewki, to zachodzi następująca zależność:

\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

R16gPx2ON9iJB

Przykład 2

Pewien przedmiot umieszczono tak, że jego odległość od środka soczewki jest o $2 cm$ większa od odległości środka soczewki od obrazu tego przedmiotu. Obliczymy odległość przedmiotu od środka soczewki, jeżeli wiadomo, że ogniskowa soczewki wynosi $2, 4 cm$ .

Rozwiązanie

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – odległość przedmiotu od środka soczewki wyrażona w $c m$ ,

$x - 2$ – odległość obrazu przedmiotu od środka soczewki wyrażona w $c m$ ,

$f = 2, 4 cm$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $x$ ( $x > 2$ ) rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{2, 4} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2}$

$x \cdot (x - 2) = 2, 4 \cdot (x - 2) + 2, 4 \cdot x$

$x^{2} - 2 x = 2, 4 x - 4, 8 + 2, 4 x$

$x^{2} - 6, 8 x + 4, 8 = 0$

$∆ = {(- 6, 8)}^{2} - 4 \cdot 4, 8 = 46, 24 - 19, 2 = 27, 04$

$\sqrt{∆} = 5, 2$

$x_{1} = \frac{6, 8 - 5, 2}{2} = 0, 8 < 2$

$x_{2} = \frac{6, 8 + 5, 2}{2} = 6 > 2$

Zatem odległość przedmiotu od środka soczewki wynosi $6 cm$ .

Ciśnienie

Ciśnieniem nazywamy stosunek siły nacisku do powierzchni, na jaką działa ta siła. Jednostką ciśnienia jest Pascal ( $1 Pa$ ).

p = \frac{\vec{F}}{S}

gdzie:
$p [Pa]$ - ciśnienie,
$\vec{F} [N]$ - siła,
$S [m^{2}]$ - pole powierzchni.

R138Yn90zTvCW

Przykład 3

Obliczymy wartość ciśnienia, jeżeli siła parcia na pewną powierzchnię ma wartość $200 N$ , a na powierzchnię o $5 m^{2}$ większą, jest o $100 N$ większa.

Parcie to siła nacisku, wywierana przez gaz lub ciecz w kierunku prostopadłym na daną powierzchnię.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$S_{1} = x$

$S_{2} = x + 5$

$F_{1} = 200 N$

$F_{2} = 200 N + 100 N = 300 N$

Zatem do wyznaczenia wartości $x$ ( $x > 0$ ) rozwiązujemy równanie:

$\frac{200}{x} = \frac{300}{x + 5}$

$200 \cdot (x + 5) = 300 \cdot x$

$200 x + 1000 = 300 x$

$100 x = 1000$

$x = 10$

Zatem wartość ciśnienia wynosi:

$p = \frac{F}{S}$

$p = \frac{200}{10 - 5} \frac{N}{m^{2}} = 40 Pa$

Sprawność silników cieplnych

Sprawność silników cieplnych $η$ , wyrażona w procentach, jest zdefiniowana jako stosunek pracy $W$ , wykonanej przez silnik podczas jednego cyklu, do wartości energii pobranej w formie ciepła $Q_{1}$ podczas tego cyklu:

η = \frac{W}{Q_{1}}

Ponieważ praca wykonana przez silnik cieplny jest różnicą pomiędzy ciepłem pobranym, a ciepłem oddanym do otoczenia $Q_{2}$ , to wzór na sprawność zapisujemy w postaci:

η = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}}

Przykład 4

Silnik wykonał w ciągu jednego cyklu pracę i pobrał pewną ilość energii, a następnie oddał do chłodnicy o $15 kJ$ energii mniej. Obliczymy, jaką pracę wykonał ten silnik, jeżeli jego sprawność wynosi $20 %$ .

Rozwiązanie:

Wypiszmy dane do zadania oraz wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

$Q_{1} = x k J$

$Q_{2} = (x - 15) kJ$

$W$ – praca w $k J$ , wykonana przez silnik

$η = 20 %$

Jeżeli wykorzystamy wzór $η = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}}$ , to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{20}{100} = \frac{x - (x - 15)}{x}$

$0, 2 = \frac{15}{x}$

$0, 2 x = 15$

$x = 75$

Zatem

$Q_{1} = 75 kJ$

$Q_{2} = 75 kJ - 15 kJ = 60 kJ$

Wobec tego praca wynosi:

$W = Q_{1} - Q_{2} = 75 kJ - 60 kJ = 15 kJ$

Ważne!

Praca jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana w wyniku działania na ciało siłą. Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest wyrażona liczbą dodatnią, a gdy energia jest ciału odebrana, wówczas praca jest wyrażona liczbą ujemną.

Prędkość załamania fali

Stosunek sinusa kąta padania, do sinusa kąta załamania jest dla danych ośrodków stały i równy stosunkowi prędkości fali w ośrodku pierwszym, do prędkości fali w ośrodku drugim. Kąty padania i załamania leżą w tej samej płaszczyźnie.

RVMdtkzaaRq4T

Zatem prawdziwa jest zależność:

\frac{\sin α}{\sin β} = \frac{v_{1}}{v_{2}}

gdzie:
$α$ – kąt padania,
$β$ – kąt załamania,
$v_{1}$ – prędkość światła w ośrodku 1,
$v_{2}$ – prędkość światła w ośrodku 2.

Przykład 5

Wyznaczymy prędkości fali w 1 i 2 ośrodku przy przejściu z ośrodka 1 do ośrodka 2 wiedząc, że prędkość fali w 1 ośrodku jest o $600 \frac{m}{s}$ większa niż w 2, a kąty padania oraz załamania fali wynoszą odpowiednio $30 °$ i $24 °$ .

Rozwiązanie:

Wypisujemy dane wynikające z treści zadania oraz wprowadzamy odpowiednie oznaczenia:

$α = 30 °$

$β = 24 °$

$v_{1} = x \frac{m}{s}$

$v_{2} = (x - 600) \frac{m}{s}$

$x \in (600, \infty)$

Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie, korzystając z prawa załamania fali:

$\frac{\sin α}{\sin β} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$

$\frac{\sin 30 °}{\sin 24 °} = \frac{x}{x - 600}$

Ponieważ $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ oraz $\sin 24 ° \approx \frac{2}{5}$ , to:

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{5}} = \frac{x}{x - 600}$

$\frac{1}{2} \cdot (x - 600) = \frac{2}{5} \cdot x$

$\frac{1}{2} x - 300 = \frac{2}{5} x$

$\frac{1}{10} x = 300$ , więc $x = 3000 \frac{m}{s}$

Wobec tego prędkości $v_{1}$ i $v_{2}$ wynoszą odpowiednio:

$v_{1} = 3000 \frac{m}{s}$

$v_{2} = 3000 \frac{m}{s} - 600 \frac{m}{s} = 2400 \frac{m}{s}$

Słownik

równanie wymierne

równanie postaci

\frac{W (x)}{P (x)} = 0

gdzie:
$W (x)$ i $P (x) \neq 0$ – są wielomianami

Wprowadzenie

Animacja

Opór zastępczy

Równanie soczewki

Ciśnienie

Sprawność silników cieplnych

Prędkość załamania fali

Słownik