Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-x,& \mathrm{gdy} x\in ⟨-4, 2⟩\\ x-3,& \mathrm{gdy} x\in \left(2, 6\right.⟩\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest dwoma wyrażeniami. W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ naszkicujemy jej wykres. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia.

$f_1\left(x\right)=-x$, gdy $x\in ⟨-4, 2⟩$ oraz $f_2\left(x\right)=x-3$, gdy $x\in \left(2, 6\right.⟩$.

Dla każdej z tych funkcji wykonamy tabelkę częściową.

Naszkicujemy w układzie współrzędnych wykres funkcji $f$ i odczytamy z wykresu zbiór wartości funkcji.

RzWkI7hVlRu9Z

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z dwóch ukośnych odcinków. Odcinek po lewej ma końce w punktach: $\left(-4;4\right)$ oraz $\left(2;-2\right)$ i przechodzi przez początek układu współrzędnych. Druga część wykresu funkcji to odcinek lewostronnie otwarty o początku w niezamalowanym punkcie $\left(2;-1\right)$ i końcu w zamalowanym punkcie $\left(6;3\right)$. Dodatkowo zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji, który jest pionowym odcinkiem leżącym na osi $Y$. Początek odcinka jest w punkcie $\left(0;-2\right)$, a jego koniec znajduje się w punkcie $\left(0;4\right)$.

Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi $Y$. Zapisujemy go symbolicznie $Z{W}_f=⟨-2, 4⟩$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2+3,& \mathrm{gdy} x\in \left(-\infty , 1\right.⟩\\ -3,& \mathrm{gdy} x\in \left(1, \infty \right)\end{array}\right.$

Sprawdzimy, która z podanych liczb $\left\{-5; -3,5; -2; 4; 7,5; 9\right\}$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest dwoma wyrażeniami. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia.

$f_1\left(x\right)=x^2+3$, gdy $x\in \left(-\infty , 1\right.⟩$.

$f_2\left(x\right)=-3$, gdy $x\in \left(1, \infty \right)$.

Wykresem funkcji $f_1$ jest część paraboli. Zbiorem wartości funkcji $f_1$ jest przedział $\left.⟨3, \infty \right)$.

Wykresem funkcji $f_2$ jest półprosta równoległa do osi $X$. Początek półprostej nie należy do wykresu funkcji. Zbiór wartości funkcji $f_2$ jest zbiorem jednoelementowym $\left\{-3\right\}$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest suma przedziałów. Możemy zapisać to $Z{W}_f=\left.⟨3, \infty \right)\cup \left\{-3\right\}$.

Sprawdzimy nasze przypuszczenia analizując wykres funkcji $f$.

R5pdKUcA1Zgs7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do trzech oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z dwóch części. Pierwsza część to fragment paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie $\left(0;3\right)$. Ta część przebiega dla iksów od minus nieskończoności do jeden włącznie. Fragment paraboli jest ucięty w punkcie $\left(1;4\right)$, który należy do wykresu funkcji, zatem jest zamalowany. Druga część wykresu to pozioma półprosta otwarta zaczynająca się w punkcie $\left(1;-3\right)$. Poza tym zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji, który składa się z dwóch części: punktu oraz pionowej półprostej. Punkt ma współrzędne $\left(0;-3\right)$, a półprosta ma początek w punkcie $\left(0;3\right)$ i biegnie po osi $Y$ do plus nieskończoności.

Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi $Y$.

$Z{W}_f=\left.⟨3, \infty \right)\cup \left\{-3\right\}$

Korzystając z wyznaczonego zbioru wartości funkcji $f$, sprawdzamy, która z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji.

Zauważamy, że do zbioru wartości funkcji $f$, należy tylko jedna liczba ujemna. Tą liczbą jest $\left(-3\right)$. Wśród podanych liczb nie ma tej liczby. Do zbioru wartości należą liczby dodatnie większe lub równe liczbie $3$. Na podstawie tych informacji możemy zapisać, że spośród podanych liczb do zbioru wartości funkcji $f$ należą liczby $4$; $7,5$; $9$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2,& \mathrm{gdy} x\in \left(-\infty , 1\right.⟩\\ 3x,& \mathrm{gdy} x\in \left(1, 3\right.⟩\\ 5,& \mathrm{gdy} x\in \left(3, 7\right.⟩\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. Naszkicujemy wykres tej funkcji i zbiór wartości odczytamy z wykresu.

R11eZKr62Nuk1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do siedmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do dziesięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z trzech części. Pierwsza część to fragment paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$. Ta część przebiega dla iksów od minus nieskończoności do jeden włącznie. Fragment paraboli jest ukośny odcinek lewostronnie otwarty o początku w niezamalowanym punkcie $\left(1;3\right)$ i końcu w zamalowanym punkcie $\left(3;9\right)$. Trzecia część wykresu funkcji to poziomy odcinek lewostronnie otwarty o początku w niezamalowanym punkcie $\left(3;5\right)$ i końcu w zamalowanym punkcie $\left(7;5\right)$. Poza wykresem funkcji zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji będący pionową półprostą leżącą na osi $Y$. Początek tej półprostej znajduje się w punkcie $\left(0;0\right)$ i biegnie ona w kierunku plus nieskończoności.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left.⟨0, \infty \right)$.

Zapisujemy to symbolicznie $Z{W}_f=\left.⟨0, \infty \right)$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+3,& \mathrm{gdy} x<-1\\ 2·\left|x\right|,& \mathrm{gdy} x\in ⟨-1, 1⟩\\ 3-x,& \mathrm{gdy} x>1\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. Naszkicujemy wykres tej funkcji i zbiór wartości odczytamy z wykresu.

R15MMG5ITrpKZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z czterech części. Kształt wykresu funkcji przypomina wielką literę M symetryczną względem osi $Y$. Pierwsza jego część to ukośna półprosta o początku w punkcie $\left(-1;2\right)$, przechodząca przez punkt $\left(-3;0\right)$. Druga część wykresu funkcji to ukośny odcinek o początku w punkcie $\left(-1;2\right)$ i końcu w początku układu współrzędnych. Trzecia część wykresu funkcji to ukośny odcinek o początku w punkcie $\left(0;0\right)$ i końcu w punkcie $\left(1;2\right)$. Punkt $\left(1;2\right)$ jest jednocześnie początkiem ukośnej półprostej będącej ostatnią składową wykresu. Półprosta ta przechodzi również przez punkt $\left(3;0\right)$. Poza wykresem funkcji zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji będący pionową półprostą leżącą na osi $Y$. Początek tej półprostej znajduje się w punkcie $\left(0;2\right)$ i biegnie ona w kierunku minus nieskończoności.

Zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcji $f$ odczytujemy na osi $Y$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty , 2\right.⟩$.

Zapisujemy to symbolicznie $Z{W}_f=\left(-\infty , 2\right.⟩$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-x-2,& \mathrm{gdy} x<-2\\ 2x-2,& \mathrm{gdy} x\in ⟨-2, 1⟩\\ \frac{4}{x},& \mathrm{gdy} x>1\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ naszkicujemy jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych. Zbiór wartości odczytamy na osi pionowej $Y$.

R1Re9at3PswlU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus siedmiu do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z trzech części. Pierwsza jego część to ukośna półprosta otwarta biegnąca po iksach od minus nieskończoności przez punkt $\left(-4;2\right)$, ograniczona niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-2;0\right)$. Druga część wykresu funkcji to ukośny odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-2;-6\right)$ i końcu w zamalowanym punkcie $\left(1;0\right)$. Trzecia część wykresu funkcji to fragment wykresu funkcji homograficznej. Część ta znajduje się tylko w pierwszej ćwiartce układu i jest wybrzuszona w stronę początku układu współrzędnych. Trzecia część wykresu jest ograniczona niezamalowanym punktem $\left(1;4\right)$ i biegnie dalej do plus nieskończoności, malejąc. Oś $X$ jest dla tego fragmentu asymptotą poziomą. Poza wykresem funkcji zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji będący pionową półprostą leżącą na osi $Y$. Początek tej półprostej znajduje się w punkcie $\left(0;-6\right)$ i biegnie ona w kierunku plus nieskończoności.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left.⟨-6, \infty \right)$.

Zapisujemy to symbolicznie $Z{W}_f=\left.⟨-6, \infty \right)$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}3,& \mathrm{gdy} x\le -2\\ \left|x-1\right|,& \mathrm{gdy} x\in \left(-2, 3\right)\\ -x+5,& \mathrm{gdy} x\ge 3\end{array}\right.$

Uzasadnimy, że do zbioru wartości funkcji $f$ należą liczby: $-2$; $-1$; $2,5$; $3$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ naszkicujemy jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych. Zbiór wartości odczytamy na osi pionowej $Y$.

R8ksNxq97g7OL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z trzech części. Pierwsza jego część to pozioma półprosta biegnąca po iksach od minus nieskończoności do zamalowanego punktu $\left(-2;3\right)$. Druga część wykresu funkcji to fragment wykresu funkcji moduł z x przesuniętej o jedną jednostkę w prawo. Wykres ten jest obcięty i leży między zamalowanymi punktami o współrzędnych z lewej strony $\left(-2;3\right)$ i z prawej strony $\left(3;2\right)$. Trzecia część wykresu funkcji to ukośna półprosta o początku w zamalowanym punkcie $\left(3;2\right)$, przechodząca przez punkt $\left(5;0\right)$. Poza wykresem funkcji zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji będący pionową półprostą leżącą na osi $Y$. Początek tej półprostej znajduje się w punkcie $\left(0;3\right)$ i biegnie ona w kierunku minus nieskończoności.

Odczytujemy z wykresu, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty , 3\right.⟩$.

Zapisujemy to symbolicznie $Z{W}_f=\left(-\infty , 3\right.⟩$.

Liczba $3$ należy do zbioru wartości funkcji ponieważ wynika to ze wzoru opisującego funkcję. Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ takiej, że liczba  $x$ jest mniejsza lub równa $\left(-2\right)$, wartość funkcji jest stała i równa $3$.

Wartości ujemne może przyjmować funkcja opisana za pomocą trzeciego wyrażenia. Sprawdzimy to, wykonując odpowiednie obliczenia.

$-x+5=-2$

$-x=-7$

$x=7$

Liczba $7\in \left.⟨3, \infty \right)$, stąd wniosek, że $\left(-2\right)$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

$-x+5=-1$

$-x=-6$

$x=6$

Liczba $6\in \left.⟨3, \infty \right)$, stąd wniosek, że $\left(-1\right)$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

Wykażemy, że liczba $2,5$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

Rozwiązujemy odpowiednie  równanie.

$\left|x-1\right|=2,5$

$x-1=-2,5$ lub $x-1=2,5$

$x=-1,5$ lub $x=3,5$

Liczba $-1,5\in \left(-2, 3\right)$, stąd wniosek, że liczba $2,5$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

zbiór liczb, które otrzymujemy w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów