Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystychliczba nieparzystaliczb nieparzystych naturalnych jest równa $515$. Wyznaczymy te liczby.

Zapiszemy i rozwiążemy równanie opisujące powyższą sytuację.

${\left(2n+1\right)}^2+{\left(2n+3\right)}^2+{\left(2n+5\right)}^2=515$ dla $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$4n^2+4n+1+4n^2+12n+9+4n^2+20n+25=515$

$12n^2+36n=480$

$n^2+3n-40=0$

$∆=3^2+40·4=169\Rightarrow \sqrt{∆}=13$

$n_1=\frac{-3-13}{2}=-8\notin \mathrm{\mathbb{N}}$

$n_2=\frac{-3+13}{2}=5\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$2n+1=11$

$2n+3=13$

$2n+5=15$

Szukane liczby to $11$, $13$, $15$.

Wyznaczymy cztery kolejne liczby naturalne takie, że różnica kwadratów czwartej i trzeciej liczby jest o $124$ mniejsza od sumy kwadratów pierwszej i drugiej liczby.

Kolejne liczby naturalne to: $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$ dla $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Zatem: ${\left(n+3\right)}^2-{\left(n+2\right)}^2+124=n^2+{\left(n+1\right)}^2$.

$n^2+6n+9-n^2-4n-4+124=n^2+n^2+2n+1$

$2n^2=128$

$n^2=64$

$n=8\in \mathrm{\mathbb{N}}$ lub $n=-8\notin \mathrm{\mathbb{N}}$

Zatem cztery kolejne liczby naturalne to $8$, $9$, $10$, $11$.

Liczbę $5$ przedstawimy w postaci sumy dwóch liczb tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

Niech:
$x$ – pierwsza liczba,
$5-x$ – druga liczba.

Zapiszemy funkcję $f$ określającą sumę kwadratów liczb.

$f\left(x\right)=x^2+{(5-x)}^2=x^2+25-10x+x^2=2x^2-10x+25$

Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej przyjmowana jest dla

$x_{}=\frac{-b}{2a}$.

$x_{}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$

$5-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$

Aby suma kwadratów składników  była najmniejsza, liczbę $5$ przedstawiliśmy w postaci $\frac{5}{2}+\frac{5}{2}$.

Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa $10$. Jeżeli tę liczbę pomnożymy przez liczbę dwucyfrową, która powstała z tych samych cyfr co pierwsza liczba, ale zapisanych w odwrotnej kolejności to otrzymamy $2701$. Wyznaczymy tę liczbę.

Niech:
$x$ – cyfra jedności początkowej liczby, $x\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ $10-x$ – cyfra dziesiątek początkowej liczby,
$\left(10-x\right)·10+x$ – początkowa liczba,
$10x+\left(10-x\right)$ – liczba o cyfrach zapisanych w odwrotnej kolejności.

Zapiszemy równanie:

$\left[\left(10-x\right)·10+x\right]·\left[10x+\left(10-x\right)\right]=2701$.

$\left(100-10x+x\right)\left(10x+10-x\right)=2701$

$\left(100-9x\right)\left(9x+10\right)=2701$

$900x+1000-81x^2-90x-2701=0$

$-81x^2+810x-1701=0$

$x^2-10x+21=0$

$∆=100-84=16\Rightarrow \sqrt{∆}=4$

$x_1=\frac{10-4}{2}=3$

$x_2=\frac{10+4}{2}=7$

$y_1=10-x_1$

$y_1=10-3$

$y_1=7$

$y_2=10-x_2$

$y_2=10-7$

$y_2=3$

Liczby dwucyfrowe spełniające warunki zadania to $37$ i $73$.

Dane są liczby $a$ i $b$ takie, że $2a-b=3$. Dla jakich wartości $a$ i $b$ iloczyn tych liczb przyjmuje najmniejszą wartość?

$2a-b=3$

$b=2a-3$

$a·b=a·\left(2a-3\right)=2a^2-3a$

Czyli funkcja zmiennej $a$ opisująca iloczyn liczb spełniających warunki zadania to:

$f\left(a\right)=2a^2-3a$, $a\in R$.

Funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą wartość w  punkcie  $a_w$.

$a_w=\frac{-b}{2\mathrm{a}}$

$a_w=\frac{3}{4}$

$b=2·\frac{3}{4}-3=\frac{3}{2}-3=-1\frac{1}{2}$

Zatem $a=\frac{3}{4}$, $b=-1\frac{1}{2}$.

liczba postaci $2n+1$ dla dowolnego $n\in \mathrm{Z}$