Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Przypomnijmy definicję funkcji liczbowej.

Funkcja
Definicja: Funkcja

Funkcję, której dziedzina jest zbiorem liczb rzeczywistych lub jego podzbiorem, nazywamy funkcją zmiennej rzeczywistej. Jeżeli jej zbiór wartości jest zbiorem liczb rzeczywistych lub jego podzbiorem, to mówimy, że jest to funkcja o wartościach rzeczywistych lub po prostu, że jest to funkcja rzeczywista. Funkcję taką nazywamy funkcją liczbową.

Przeanalizujmy kilka przykładów funkcji liczbowychfunkcja liczbowafunkcji liczbowych i opiszmy je różnymi sposobami.

Przykład 1

Dane są dwa zbiory liczbowe: X=4, 6, 8, 10, 12Y=2, 3, 4, 5, 6.

Funkcja f:XY każdej liczbie x ze zbioru X przyporządkowuje połowę liczby x.

Opiszmy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

Rozwiązanie:

  • Wzór:

    f(x)=12x , gdy x4, 6, 8, 10, 12

  • Graf:

R1UdbiHjHUgAg
  • Tabelka:

x

4

6

8

10

12

fx

2

3

4

5

6

  • Zbiór par uporządkowanych:

    4, 2, 6, 3, 8, 4, 10, 5, 12, 6

  • Wykres:

RsKODIQqetwkh
Przykład 2

Dane są dwa zbiory liczbowe: X=Y=+.

Funkcja f:XY każdej liczbie x ze zbioru X przyporządkowuje kwadrat liczby x powiększony o 2.

Przedstawimy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

Rozwiązanie:

  • Wzór:

    fx=x2+2 , gdy x

  • Graf:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania grafu przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

RB4uWGrr3F62M
  • Tabelka:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania tabelki przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

x

-2

-1

0

1

2

3

fx

6

3

2

3

6

11

  • Zbiór par uporządkowanych:

-2, 6, -1, 3, 0, 2, 1, 3, 2, 6, 3, 11

  • Wykres:

R17eytVUcctY8
Przykład 3

Dane są dwa zbiory liczbowe: X=Y=.

Funkcja f:XY każdej liczbie x ze zbioru X przyporządkowuje trzykrotność liczby x pomniejszoną o 5.

Przedstawimy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

  • Wzór:

    fx=3x-5 , gdy x

  • Graf:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania grafu przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

RKn8GQtfiyBdR
  • Tabelka:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania tabelki przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

x

-2

-1

0

1

2

4

fx

-11

-8

-5

-2

1

7

  • Zbiór par uporządkowanych:

-2, -11, -1, -8, 0, -5, 1, -2, 2, 1, 4, 7

  • Wykres:

RYYS8lC0baLh6

W kolejnych przykładach przedstawię funkcje specjalne.

Funkcja Dirichleta
Definicja: Funkcja Dirichleta

Jest to funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych Q, tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość 1, gdy argumentem jest liczba wymierna i wartość 0, gdy argumentem nie jest liczba wymierna. Dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste, a zbiór wartości jest zbiorem dwuelementowy 0, 1.

fx=1 dla xQ0 dla xQ

Funkcja ta jest przykładem funkcji liczbowej, której nie możemy opisać za pomocą wykresu.

Przykład 4

Częścią całkowitą, cechą lub entier liczby rzeczywistej x nazywamy największą liczbę całkowitą nie większą od x.

Oznaczana jest różnymi symbolami: x, x, Ex. Liczbę tę definiuje się w sposób następujący:

x=maxkZ:kx

Np.: π=3, -2,16354=-3, 5,2367=5

Poniżej przedstawiony jest wykres funkcji f(x)=[x], gdy x.

R188162TG5qbw

Dziedzina funkcji – Df=.

Zbiór wartości – ZWf=.

Przykład 5

Mantysa to różnica między liczbą a jej cechą.

Np.: mantysa liczby całkowitej takiej, jak 14 albo -9 to 0.

Mantysa 5,576 to 0,576

Mantysa -3,14 to -3,14-(-4)=0,86

Mantysa jest zawsze nieujemna i mniejsza od 1.

Narysujmy wykres funkcji fx=x-x.

Rozwiązanie:

Sporządźmy tabelkę częściową:

x

-4,325

-3,755

-0,426

0

0,2756

1

2,765

4,127

fx

0,675

0,245

0,574

0

0,2756

0

0,765

0,127

Dziedzina funkcji – Df=.

RtcwuRKGuuJMm

Zbiór wartości – ZWf=0,1.

Przykład 6

Kolejną funkcją zmiennej rzeczywistej jest funkcja signum (łac. signum „znak”).

Funkcja ta zdefiniowana jest następująco:

sgnx= -1, x<00, x=01, x>0,x

Wykres funkcji signum:

R14EroStNVXkQ

Dziedzina funkcji – Df=.

Zbiór wartości – ZWf=-1, 0, 1.

Słownik

funkcja liczbowa
funkcja liczbowa

funkcja, której dziedzina i zbiór wartości to zbiory liczbowe.