Przeczytaj

Przypomnijmy najpierw definicję układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie:
$x$ oraz $y$ – oznaczają niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$ , przy czym przynajmniej jedna z pary liczb $a_{1}$ i $a_{2}$ oraz $b_{1}$ i $b_{2}$ jest różna od zera,
$c_{1}$ i $c_{2}$ – nazywamy wyrazami wolnymi.

Aby rozwiązać układ równań liniowych

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

możemy zastosować jedną z metod:

metodę podstawiania;

metodę przeciwnych współczynników;

metodę wyznacznikową.

Rozwiazywanie układów równań metodą podstawiania polega na:

wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania,

podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej,

rozwiązaniu otrzymanego równania z jedną niewiadomą,

podstawieniu otrzymanej wartości niewiadomej do pierwszego równania.

Metoda przeciwnych współczynników polega na pomnożeniu obu stron jednego lub każdego równania przez dowolną liczbę różną od zera, tak aby przy jednej z niewiadomych otrzymać przeciwne współczynniki, dzięki czemu po dodaniu do siebie równań stronami można obliczyć jedną z niewiadomych.

Aby rozwiązać układ równań metodą wyznacznikową, musimy obliczyć trzy liczby:

wyznacznik główny $W$ – utworzony ze współczynników znajdujących się przy niewiadomych $x$ i $y$
$W = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}| = a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}$

wyznacznik niewiadomej $x$ oznaczany $W_{x}$ – utworzony poprzez zastąpienie w wyznaczniku głównym kolumny współczynników przy niewiadomej $x$ kolumną wyrazów wolnych
$W_{x} = |\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}| = c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1}$

wyznacznik niewiadomej $y$ oznaczany $W_{y}$ – utworzony poprzez zastąpienie w wyznaczniku głównym kolumny współczynników przy niewiadomej $y$ kolumną wyrazów wolnych
$W_{y} = |\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}| = a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1}$

Jeśli wyznacznikwyznacznikwyznacznik główny $W \neq 0$ , to taki układ równań nazywamy układem Cramera.

Układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest oznaczony), które możemy wyznaczyć za pomocą wzorów Cramera

x = \frac{W_{x}}{W}

y = \frac{W_{y}}{W}

Przykład 1

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} {(2 + y)}^{2} - {(3 x - 1)}^{2} = (y - 3 x) (y + 3 x) \\ {(x + y)}^{2} - 2 x y = {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} \end{cases}$ .

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, doprowadzamy układ równań do postaci

$\{\begin{cases} 4 + 4 y + y^{2} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = y^{2} - 9 x^{2} \\ x^{2} + 2 x y + y^{2} - 2 x y = x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 6 y + 9 \end{cases}$

Następnie, redukując wyrazy podobne, otrzymujemy układ równań

$\{\begin{cases} 6 x + 4 y = - 3 \\ x - 3 y = 5 \end{cases}$

Jest to układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Jego rozwiązanie możemy znaleźć, stosując metodę wyznacznikową.

Obliczamy wyznacznik główny.

$W = |\begin{matrix} 6 & 4 \\ 1 & - 3 \end{matrix}| = - 18 - 4 = - 22$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} - 3 & 4 \\ 5 & - 3 \end{matrix}| = 9 - 20 = - 11$

Obliczamy wyznacznikwyznacznikwyznacznik niewiadomej $y$ .

$W_{y} = |\begin{matrix} 6 & - 3 \\ 1 & 5 \end{matrix}| = 30 + 3 = 33$

Korzystając ze wzorów Cramera

$\{\begin{cases} x = \frac{W_{x}}{W} \\ y = \frac{W_{y}}{W} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{- 11}{- 22} \\ y = \frac{33}{- 22} \end{cases}$

Obliczamy wartości niewiadomych.

$\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = - \frac{3}{2} \end{cases}$

A zatem rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = - \frac{3}{2} \end{cases}$ .

Przykład 2

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} x^{2} + 7 x y + 9 y^{2} = x y \\ 5 x^{2} + 2 (y + 0, 5) = 5 {(3 - x)}^{2} \end{cases}$ .

Doprowadzamy układ równań do najprostszej postaci.

W pierwszym równaniu odejmujemy wyrażenie $x y$ od obu stron równania.
W drugim równaniu stosujemy wzór skróconego mnożenia i mnożymy sumy algebraiczne przez liczbę, opuszczając w ten sposób nawiasy.

$\{\begin{cases} x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} = 0 \\ 5 x^{2} + 2 y + 1 = 45 - 30 x + 5 x^{2} \end{cases}$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, pierwsze z równań możemy zapisać w postaci ${(x + 3 y)}^{2} = 0$ .
W drugim równaniu redukujemy wyrazy podobne.

$\{\begin{cases} {(x + 3 y)}^{2} = 0 \\ 30 x + 2 y = 44 \end{cases}$

A zatem jest to układ równań liniowych:

$\{\begin{cases} x + 3 y = 0 \\ 30 x + 2 y = 44 \end{cases}$

Rozwiążmy ten układ równań liniowych metodą przeciwnych współczynnikówmetoda przeciwnych współczynnikówmetodą przeciwnych współczynników.

Mnożymy obie strony pierwszego równania przez $(- 30)$ .

$\{\begin{cases} x + 3 y = 0 | \cdot (- 30) \\ 30 x + 2 y = 44 \end{cases}$

Dodajemy równania stronami, następnie obliczamy wartość niewiadomej $y$ :

$\begin{matrix} + & \{\begin{cases} - 30 x - 90 y = 0 \\ \underline{30 x + 2 y = 44} \end{cases} \\ - 88 y = 44 \end{matrix}$

$y = - 0, 5$

Podstawimy otrzymaną wartość $y$ do równania $x + 3 y = 0$ i obliczamy wartość niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} x + 3 y = 0 \\ y = - 0, 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 1, 5 \\ y = - 0, 5 \end{cases}$

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = 1, 5 \\ y = - 0, 5 \end{cases}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy układ równań $(1) \{\begin{cases} (x - y) (2 x + y) = 0 \\ 3 x + y = 5 \end{cases}$ .

Pierwsze równanie to iloczyn sum algebraicznych.

Wiemy, że $a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \lor b = 0$ .

Więc powyższy układ równań możemy zapisać w postaci

$\{\begin{cases} x - y = 0 \lor 2 x + y = 0 \\ 3 x + y = 5 \end{cases}$

A zatem układ równań $(1)$ jest równoważny alternatywie dwóch układów równań liniowych.

$\{\begin{cases} x - y = 0 \\ 3 x + y = 5 \end{cases} \lor \{\begin{cases} 2 x + y = 0 \\ 3 x + y = 5 \end{cases}$

Każdy z tych układów możemy rozwiązać np. metodą podstawianiametoda podstawianiametodą podstawiania.

$\{\begin{cases} x - y = 0 \\ 3 x + y = 5 \end{cases} \lor \{\begin{cases} 2 x + y = 0 \\ 3 x + y = 5 \end{cases}$

Wyznaczamy niewiadomą $y$ z drugiego równania.

$\{\begin{cases} x - y = 0 \\ y = 5 - 3 x \end{cases} \lor \{\begin{cases} 2 x + y = 0 \\ y = 5 - 3 x \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $y$ i obliczamy wartość niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} x - (5 - 3 x) = 0 \\ y = 5 - 3 x \end{cases} \lor \{\begin{cases} 2 x + 5 - 3 x = 0 \\ y = 5 - 3 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x - 5 + 3 x = 0 \\ y = 5 - 3 x \end{cases} \lor \{\begin{cases} - x = - 5 \\ y = 5 - 3 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 x = 5 \\ y = 5 - 3 x \end{cases} \lor \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 5 - 3 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{5}{4} \\ y = 5 - 3 x \end{cases} \lor \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 5 - 3 x \end{cases}$

Podstawiając obliczoną wartość $x$ do drugiego równania, obliczamy niewiadomą $y$ .

$\{\begin{cases} x = \frac{5}{4} \\ y = 5 - 3 \cdot \frac{5}{4} \end{cases} \lor \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 5 - 3 \cdot 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{5}{4} \\ y = \frac{5}{4} \end{cases} \lor \{\begin{cases} x = 5 \\ y = - 10 \end{cases}$

A zatem rozwiązaniem układu równań $(1)$ są dwie pary liczb:

$\{\begin{cases} x = \frac{5}{4} \\ y = \frac{5}{4} \end{cases} \lor \{\begin{cases} x = 5 \\ y = - 10 \end{cases}$ .

Przykład 4

Rozwiążemy układ równań $(2) \{\begin{cases} 16 x^{2} - 9 y^{2} = 0 \\ x^{2} y + 10 x y + 25 y = 0 \end{cases}$ .

Korzystając ze wzorów skróconego mnożeniawzory skróconego mnożeniawzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać układ $(2)$ w postaci

$\{\begin{cases} (4 x - 3 y) (4 x + 3 y) = 0 \\ y (x^{2} + 10 x + 25) = 0 \end{cases}$

A następnie:

$\{\begin{cases} (4 x - 3 y) (4 x + 3 y) = 0 \\ y {(x + 5)}^{2} = 0 \end{cases}$

Korzystając ponownie z twierdzenia $a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \lor b = 0$ , otrzymujemy alternatywę czterech układów równań liniowych równoważną danemu układowi $(2)$ .

$\{\begin{cases} 4 x - 3 y = 0 \\ y = 0 \end{cases} \lor \{\begin{array}{l} 4 x - 3 y = 0 \\ {(x + 5)}^{2} = 0 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 0 \\ y = 0 \end{array} \lor \{\begin{cases} 4 x + 3 y = 0 \\ {(x + 5)}^{2} = 0 \end{cases}$

Każdy z tych układów równań rozwiązujemy dowolną metodą.

Pierwszy układ równań:

$\{\begin{cases} 4 x - 0 = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

Drugi układ równań:

$\{\begin{cases} 4 x - 3 y = 0 \\ x + 5 = 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 x - 3 y = 0 \\ x = - 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 20 - 3 y = 0 \\ x = - 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 5 \\ y = - \frac{20}{3} \end{cases}$

Trzeci układ równań:

$\{\begin{cases} 4 x + 0 = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

Czwarty układ równań:

$\{\begin{cases} 4 x + 3 y = 0 \\ x + 5 = 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 x + 3 y = 0 \\ x = - 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 20 + 3 y = 0 \\ x = - 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 5 \\ y = \frac{20}{3} \end{cases}$

Rozwiązaniem układu równań $(2)$ są trzy pary liczb:

$\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} \lor \{\begin{cases} x = - 5 \\ y = - 6 \frac{2}{3} \end{cases} \lor \{\begin{cases} x = - 5 \\ y = 6 \frac{2}{3} \end{cases}$

Przykład 5

Rozwiążemy układ równań $(3) \{\begin{cases} 6 x^{2} + y^{2} = 8 \\ - 2 x^{2} + 3 y^{2} = 4 \end{cases}$ .

Aby rozwiązać taki układ równań, możemy skorzystać z podstawienia $\{\begin{cases} x^{2} = a \\ y^{2} = b \end{cases}$ .

A zatem liczby $a$ oraz $b$ muszą być nieujemne.

Układ równań $(3)$ przyjmuje wtedy postać

$\{\begin{cases} 6 a + b = 8 \\ - 2 a + 3 b = 4 \end{cases}$

Taki układ równań liniowych możemy rozwiązać metodą wyznacznikową.

$W = |\begin{matrix} 6 & 1 \\ - 2 & 3 \end{matrix}| = 18 + 2 = 20$

$W_{a} = |\begin{matrix} 8 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix}| = 24 - 4 = 20$

$W_{b} = |\begin{matrix} 6 & 8 \\ - 2 & 4 \end{matrix}| = 24 + 16 = 40$

A więc $\{\begin{cases} a = \frac{W_{a}}{W} = \frac{20}{20} = 1 \\ b = \frac{W_{b}}{W} = \frac{40}{20} = 2 \end{cases}$

A zatem $\{\begin{cases} x^{2} = a = 1 \\ y^{2} = b = 2 \end{cases}$

Stąd $\{\begin{cases} x = - 1 \lor x = 1 \\ y = - \sqrt{2} \lor y = \sqrt{2} \end{cases}$

Rozwiązaniem układu równań $(3)$ są zatem cztery pary liczb:

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - \sqrt{2} \end{cases} \lor \{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - \sqrt{2} \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = \sqrt{2} \end{array} \lor \{\begin{cases} x = 1 \\ y = \sqrt{2} \end{cases}$ .

Słownik

wzory skróconego mnożenia

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań liniowych postaci:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

przy czym liczby odpowiednio $a_{1}$ i $a_{2}$ oraz $b_{1}$ i $b_{2}$ nie mogą być jednocześnie zerami

metoda podstawiania

metoda polegająca na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania i podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej

metoda przeciwnych współczynników

metoda polegająca na pomnożeniu obu stron jednego lub każdego równania przez dowolną liczbę różną od zera, tak aby przy jednej z niewiadomych otrzymać przeciwne współczynniki, dzięki czemu po dodaniu do siebie równań stronami można obliczyć jedną z niewiadomych

wyznacznik

liczba postaci:

|\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}| = a d - b c

Wprowadzenie

Animacja

Słownik