Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Dwie bryły są podobne, jeśli odległości między punktami jednej bryły są proporcjonalne do odległości między odpowiednimi punktami drugiej bryły.

Stosunek odległości między odpowiednimi punktami brył podobnychfigury podobnepodobnych nazywamy skalą podobieństwa.

Przykład 1

Rozpatrzymy teraz dwa sześciany o krawędziach długości odpowiednio 4 cm6 cm.

R63Btjb9a6XOQ

Są to bryły podobne. Ich skala podobieństwa wynosi k=46=23.

Policzymy ich pola powierzchni całkowitej.

Pc1=6·62=216 cm2

Pc2=6·42=96 cm2

Stosunek pól mniejszej bryły do większej wynosi więc:

Pc2Pc1=96216=49=232=k2.

o powierzchni brył podobnych
Twierdzenie: o powierzchni brył podobnych

Jeśli skala podobieństwa brył podobnych jest równa k, to stosunek pól powierzchni tych brył jest równy k2.

Przykład 2

Dane są dwa sześciany. Pole powierzchni pierwszego z nich jest dziewięciokrotnie większe od pola powierzchni drugiego. Jaka jest skala podobieństwa większego z tych sześcianów do mniejszego?

Rozwiązanie

Z zadania wiemy, że stosunek pól powierzchni sześcianów wynosi 9, zatem jeśli skalę podobieństwa oznaczymy k, to możemy zapisać równanie:

k2=9

k=3.

Zatem sześciany są podobne w skali k=3.

Przykład 3

Dane są dwie kule. Pole pierwszej z nich wynosi sπ cm2. Druga kula ma promień dwa razy dłuższy niż pierwsza kula. Obliczymy pole drugiej kuli.

Rozwiązanie

Skoro promień drugiej kuli jest dwa razy większy od promienia pierwszej kuli, tzn. że skala podobieństwa tych brył wynosi k=2. Zatem stosunek ich pól wynosi k2=4 .

Pole drugiej kuli (oznaczmy P) wynosi więc Psπ=4,
czyli P=4sπ cm2.

Przykład 4

Dane są dwa podobne stożki. Pole powierzchni całkowitej większego z nich jest o 156% większe od pola powierzchni całkowitej mniejszego z nich. Obliczymy wysokość większego stożka, jeśli wysokość mniejszego wynosi 4cm.

Rozwiązanie

Oznaczmy pole powierzchni mniejszego stożka jako P. Wówczas pole większego z nich wynosi

P'=P+156%P=256%P=2,56P.

Zatem stosunek pól wynosi k2=2,56 , czyli k=1,6.

Obliczmy więc wysokość większego stożka:

h=1,6·4=6,4 cm.

Przykład 5

Uzasadnimy, że stożek o promieniu długości 6 cm i polu powierzchni 96π cm2 jest podobny do stożka o wysokości długości 4 cm i objętości 12π cm3 . Podamy skalę podobieństwa większego stożka do mniejszego.

Rozwiązanie

Obliczmy niezbędne długości w obydwu stożkach.

Stożek nr 1.

RM4pScvjdIRJB

r=6 cm

Pc=96π cm2

96π=36π+6π·l

l=10

h2+62=102

h=8

Stożek nr 2.

R1U1RbkaPoqF6

h=4 cm

V=12π cm2

12π=13π·r2·4

r2=9

r=3

42+32=l2

l=5

Analizując długości poszczególnych odcinkówodcinki proporcjonalneodcinków w stożkach zauważamy, że są one proporcjonalne. Wszystkie odcinki w drugim stożku są 2 razy krótsze. Zatem skala podobieństwa k=2.

Przykład 6

Na rysunkach przedstawiono dwa ostrosłupy prawidłowe sześciokątne. Wiadomo, że  sinα=398, α0°,90°. Pokażemy, że są to bryły podobne oraz obliczymy skalę podobieństwa oraz stosunek pól podstaw obu brył.

R15JNJ34LlEiF

Rozwiązanie

Aby porównać odpowiednie odcinki w ostrosłupach, musimy je obliczyć. Zajmijmy się każdym ostrosłupem z osobna.

RBP72kK6EdfPu

Wiemy, że sinα=398, więc z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy równanie:

3964+cos2α=1

cos2α=2564

cosα=58, α0°,90°.

Krótsza przekątna podstawy ma długość 43, zatem sześciokąt foremny ma bok długości:

a3=43

a=4.

Oznaczmy krawędzie boczne jako k. Wówczas z twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

432=k2+k2-2k2cosα

48=2k2-2k2·58

48=2k2-54k2

48=34k2

64=k2

8=k.

Zajmijmy się teraz drugim ostrosłupem:

RwymOirc6Y3A1

Wysokość ostrosłupa H ma długość

8H=tg30°

H=83.

Oznaczmy krawędzie boczne jako k'. Wówczas

8k'=sin30°

k'=16.

Porównajmy teraz odpowiednie odcinki w naszych ostrosłupach:

  • długości krawędzi podstawy: 48=12

  • długosci krawędzi bocznych: 816=12

Wniosek: ostrosłupy są podobne w skali k=12, co oznacza, że ich pola powierzchni są w stosunku k2=14.

Przykład 7

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a i kącie przy wierzchołku ostrosłupa o mierze 30°. Obliczymy pole powierzchni ostrosłupa czterokrotnie mniejszego.

R1HVZnW8gIL8v

Rozwiązanie

Obliczmy pole powierzchni wyjściowego ostrosłupa. Oznaczmy krawędzie boczne jako k. Wówczas z twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

a2=k2+k2-2k2cos30°

a2=2k21-32

a2=2k22-32

a2=2-3k2

k2=a22-3

k=a22-3

k=a2-3

Pole ściany bocznej możemy policzyć ze wzoru P=12absinα.

Zatem:

Pśb=12k2sin30=12a22312=a2423=a22+34232+3=a22+34.

Mamy trzy ściany boczne, więc pole powierzchni bocznej wynosi:

Pb=3·a22+34=3a22+34.

Policzmy pole podstawy. Jest to trójkąt równoboczny o podstawie długości a.

Pp=a234.

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

Pc=a234+3a22+34=a23+6a2+3a234=4a23+6a24=a223+32.

Drugi ostrosłup jest czterokrotnie mniejszy, czyli skala podobieństwa brył wynosi k=14.  Zatem stosunek ich pól wynosi k2=116, co oznacza, że pole powierzchni drugiego ostrosłupa jest 16 razy mniejsze od pola powierzchni ostrosłupa  wyjściowego. Pole powierzchni ostrosłupa podobnego do naszego ostrosłupa wyjściowego wynosi więc:

Pc=116·a223+32=a223+332.

Słownik

odcinki proporcjonalne
odcinki proporcjonalne

jeżeli dane są cztery odcinki a, b, c, d takie, że stosunek pierwszych dwóch a:b jest równy stosunkowi dwóch ostatnich c:d, to takie odcinki nazywamy proporcjonalnymi i wyrażamy to, pisząc proporcję

a:b=c:d

w uproszczeniu możemy powiedzieć, że ich iloraz jest stały

figury podobne
figury podobne

mają ten sam kształt, ale mogą mieć inną wielkość