Przeczytaj

Kolejny wzór skróconego mnożenia który poznamy, nie jest tak łatwy do wyprowadzenia jak poprzednie. Aby uzyskać ten wzór, rozłożymy na czynniki dwumian $a^{3} + b^{3}$ . Niestety nie bardzo wiadomo jak się do tego zabrać. Nie ma tu możliwości grupowania wyrazów, ani stosowania znanych nam wzorów skróconego mnożenia, ani wyłączenia wspólnego czynnika poza nawias. Musimy więc zastosować inny „chwyt” – dodamy $a^{2} b$ odejmiemy $a^{2} b$ .

a^{3} + b^{3} = a^{3} + a^{2} b - a^{2} b + b^{3}

Grupujemy wyrazy i z pierwszej sumy wyłączamy poza nawias $a^{2}$ , a z drugiej $b$ .

a^{3} + b^{3} = a^{2} (a + b) - b (a^{2} - b^{2})

Różnicę $a^{2} - b^{2}$ zapisujemy w postaci iloczynu $(a + b) (a - b)$ , korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i z tak powstałego wyrażenia, wyłączamy przed nawias wspólny czynnik, czyli $(a + b)$ .

a^{3} + b^{3} = a^{2} (a + b) - b (a + b) (a - b) = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

W ten sposób otrzymaliśmy wzór na sumę sześcianów dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów dwóch wyrażeń.

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

Suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń pomniejszoną o iloczyn tych wyrażeń.

Niekiedy wyrażenie $a^{2} - a b + b^{2}$ nazywamy niepełnym kwadratem różnicy wyrażeń $a$ i $b$ . Wtedy wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianówwzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów możemy zapisać słownie: suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez niepełny kwadrat ich różnicy.

Wyprowadzony wzór ma podobne zastosowania jak poznane wcześniej wzory skróconego mnożenia.

Korzystając ze wzoru na sumę sześcianów, można niektóre sumy zapisywać w postaci iloczynów.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci iloczynu.

x^{3} + 1 = x^{3} + 1^{3} = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

a^{3} + 2 = (a + \sqrt[3]{2}) (a^{2} - a \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})

x^{6} + 27 = {(x^{2})}^{3} + 3^{3} = (x^{2} + 3) (x^{4} - 3 x^{2} + 9)

8 x^{3} + 125 x = {(2 x)}^{3} + {(5 \sqrt[3]{x})}^{3} = (2 x + 5 \sqrt[3]{x}) (4 x^{2} - 2 x \cdot 5 \sqrt[3]{x} + 25 \sqrt[3]{x^{2}}) =

= (2 x + 5 \sqrt[3]{x}) (4 x^{2} - 10 x \sqrt[3]{x} + 25 \sqrt[3]{x^{2}})

Przykład 2

Przekształcimy sumy potęg na iloczyny, wykorzystując wzór na sumę sześcianów.

x^{6} + a^{6} = {(x^{2})}^{3} + {(a^{2})}^{3} = (x^{2} + a^{2}) (x^{4} - a^{2} x^{2} + a^{4})

\frac{8}{27} + x^{12} = (\frac{2}{3} + x^{4}) (\frac{4}{9} - \frac{2}{3} x^{4} + x^{8})

Jeżeli oba składniki sumy sześcianów poprzedzone są znakiem „ $-$ ”, można wyłączyć $(- 1)$ przed nawias i zastosować poznany wzór skróconego mnożenia. W wyniku zmieniamy znaki otrzymanej sumy na przeciwne.

Na przykład:

- 64 - x^{3} y^{3} = - (64 + x^{3} y^{3}) = - (4 + x y) (16 - 4 x y + x^{2} y^{2})

Wykorzystanie wzoru na sumę sześcianów dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy wyrażenie $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1}$ w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = \sqrt{2}$ .

Rozwiązanie:

Licznik i mianownik podanego ułamka rozkładamy na czynniki i skracamy.

\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} = \frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia – w miejsce $x$ wstawiamy $\sqrt{2}$ , wykonujemy wskazane działania i usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

\frac{{(\sqrt{2})}^{2} - \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{3 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(3 - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{3 \sqrt{2} + 3 - 2 - \sqrt{2}}{2 - 1} =

= 2 \sqrt{2} + 1

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa $2 \sqrt{2} + 1$ .

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów jest zapisywanie iloczynu w postaci sumy.

R1L41veVQY4Tg

Ilustracja przedstawia równość pokazaną za pomocą kwadratów i kół użytych zamiast liczb. Lewa strona równości to iloczyn dwóch nawiasów. Nawias pierwszy to suma kwadratu i koła. Nawias drugi to kwadrat do potęgi drugiej odjąć kwadrat razy koło dodać koło do potęgi drugiej. To równa się stronie prawej, czyli kwadrat do potęgi trzeciej dodać koło do potęgi trzeciej.

Przykład 4

Zapiszemy iloczyny algebraiczne w postaci sum.

(5 a + 1) (25 a^{2} - 5 a + 1) = {(5 a)}^{3} + 1^{3} = 125 a^{3} + 1

(3 x + 2 y) (9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2}) = {(3 x)}^{3} + {(2 y)}^{3} = 27 x^{3} + 8 y^{3}

(\sqrt[3]{3} a + a) (\sqrt[3]{9} a^{2} - \sqrt[3]{3} a^{2} + a^{2}) = 3 a^{3} + a^{3} = 4 a^{3}

Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy można zastosować obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

(2 + \sqrt[3]{2}) (4 - 2 \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) = 8 + 2 = 10

(1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2} + 2) = 1^{3} + {(\sqrt{2})}^{3} = 1 + 2 \sqrt{2}

Słownik

wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów

suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń pomniejszoną o iloczyn tych wyrażeń

Wprowadzenie

Animacja

Słownik