Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Równanie wymierne
Definicja: Równanie wymierne

Jeżeli WxPx są wielomianami, Px nie jest wielomianem zerowym Px0 to równanie

WxPx=0

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą x.

Rozwiązać równanie to znaleźć takie pierwiastki wielomianu Wx, które nie są miejscami zerowymi wielomianu Px.

Przed przystąpieniem rozwiązania równania wymiernegorównanie wymiernerównania wymiernego należy określić dziedzinę równania.

Dziedziną równia wymiernego jest zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór pierwiastków wielomianu Px.

Przykład 1

Określimy dziedzinę równania x+2x3x=0.

Niech P(x)=x3x.

Obliczymy pierwiastki wielomianu Px.

x3x=0

xx2-1=0

xx-1x+1=0

x=0 lub x=1 lub x=-1

Ponieważ dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych, pomniejszony o zbiór pierwiastków wielomianu Px, zatem D=-1, 0, 1.

Dziedziną równania jest -1, 0, 1.

Przykład 2

Określimy, która z liczb -2, -1, 0, 1, 2, 4 nie należy do dziedziny równania xx2-5x+4=0.

Wyznaczymy dziedzinę równania.

x2-5x+40

x-1x-40

x1x4

D=1, 4

Czyli:

x=1D

x=4D

Liczby 14 nie należą do dziedziny równania.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie x+3xx+2=0.

Określimy najpierw dziedzinę równania.

xx+20

x0x-2

D=-2, 0

Wyznaczymy teraz te wartości x, dla których wielomian Wx=x+3 przyjmuje wartość zero.

x+3=0

x=-3D

Rozwiązanie równania to liczba -3.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie xx2-5=2.

Określimy dziedzinę równania.

x2-50

x5x-5

D=-5, 5

Korzystając w własności proporcji mamy:

x=x2-5·2

x=2x2-10

2x2-x-10=0

=-12-4·2·-10=1+80=81=9

x1=1-94=-2D

x2=1+94=52D

Rozwiązanie równania to: x=-2, x=52.

Przykład 5

Wykażemy, że równanie 4x2+4x+12x+1=0 jest sprzeczne.

Wyznaczymy najpierw dziedzinę równania.

2x+10

x-12

D=-12

Przyrównujemy licznik ułamka algebraicznego do zera.

4x2+4x+1=0

Zauważmy, że korzystając ze wzoru skróconego mnożenia mamy:

2x+12=0

2x+1=0

x=-12

Ale -12D, więc równanie nie ma rozwiązania.

Słownik

równanie wymierne
równanie wymierne

równanie WxPx=0 z jedną niewiadomą x, gdzie WxPx są wielomianami, Px nie jest wielomianem zerowym Px0