Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$ to równanie

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$.

Określimy dziedzinę równania $\frac{x+2}{x^3-x^{}}=0$.

Niech $P\left(x\right)=x^3-x^{}$.

Obliczymy pierwiastki wielomianu $P\left(x\right)$.

$x^3-x^{}=0$

$x\left(x^2-1\right)=0$

$x\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$

$x=0$ lub $x=1$ lub $x=-1$

Ponieważ dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych, pomniejszony o zbiór pierwiastków wielomianu $P\left(x\right)$, zatem $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\mathrm{1,} 0, 1\right\}$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\mathrm{1,} 0, 1\right\}$.

Określimy, która z liczb $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $4$ nie należy do dziedziny równania $\frac{x}{x^2-5x+4}=0$.

Wyznaczymy dziedzinę równania.

$x^2-5x+4\ne 0$

$\left(x-1\right)\left(x-4\right)\ne 0$

$x\ne 1$ i $x\ne 4$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1, 4\right\}$

Czyli:

$x=1\notin D$

$x=4\notin D$

Liczby $1$ i $4$ nie należą do dziedziny równania.

Rozwiążemy równanie $\frac{x+3}{x\left(x+2\right)}=0$.

Określimy najpierw dziedzinę równania.

$x\left(x+2\right)\ne 0$

$x\ne 0$ i $x\ne -2$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\mathrm{2,} 0\right\}$

Wyznaczymy teraz te wartości $x$, dla których wielomian $W\left(x\right)=x+3$ przyjmuje wartość zero.

$x+3=0$

$x=-3\in D$

Rozwiązanie równania to liczba $\left(-3\right)$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x}{x^2-5}=2$.

Określimy dziedzinę równania.

$x^2-5\ne 0$

$x\ne \sqrt{5}$ i $x\ne -\sqrt{5}$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\right\}$

Korzystając w własności proporcji mamy:

$x=\left(x^2-5\right)·2$

$x=2x^2-10$

$2x^2-x-10=0$

$∆={\left(-1\right)}^2-4·2·\left(-10\right)=1+80=81\Rightarrow \sqrt{∆}=9$

$x_1=\frac{1-9}{4}=-2\in D$

$x_2=\frac{1+9}{4}=\frac{5}{2}\in D$

Rozwiązanie równania to: $x=-2$, $x=\frac{5}{2}$.

Wykażemy, że równanie $\frac{4x^2+4x+1}{2x+1}=0$ jest sprzeczne.

Wyznaczymy najpierw dziedzinę równania.

$2x+1\ne 0$

$x\ne -\frac{1}{2}$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$

Przyrównujemy licznik ułamka algebraicznego do zera.

$4x^2+4x+1=0$

Zauważmy, że korzystając ze wzoru skróconego mnożenia mamy:

${\left(2x+1\right)}^2=0$

$2x+1=0$

$x=-\frac{1}{2}$

Ale $-\frac{1}{2}\notin D$, więc równanie nie ma rozwiązania.

równanie $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$ z jedną niewiadomą $x$, gdzie $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$