Sinusem kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta $\alpha$ do długości drugiej przyprostokątnej.

Kąty między bokami i wysokością trójkąta są odpowiednio równe $33°$ i $27°$. Obliczymy pole i obwód tego trójkąta wiedząc, że jego wysokość $h$ ma długość $4\mathrm{cm}$. Wynik podamy z dokładnością do $0,1 \mathrm{cm}$.

RULka5b0siA9J

Zdjęcie przedstawia dwa trójkąty A, D, C i C, D, B prostokątne które mają jeden wspólny bok o wartości h. Podstawą trójkąta A, D, C jest wartość x. Podstawą trójkąta C, D, B jest wartość y. Kąt ACD jest równy 27 stopni, a kąt DCM jest równy 33 stopnie. Podpis obok rysunku: trójkąty ADC i CDB są prostokątne, ponieważ CD jest wysokością.

Przyjmijmy oznaczenia:

$\mathrm{|CD|}=h$ – długość wysokości trójkąta $ABC$

Do obliczenia pola trójkąta potrzebna jest długość boku $AB$, który jest sumą odcinków $x$ i $y$.

Ponieważ trójkąt $ADC$ jest prostokątny, to korzystając z funkcji tangens wyliczymy $x$:

$\frac{x}{h}=tg27°$, odczytujemy z tablic: $\mathrm{tg}27°\approx 0,5095$

$x=h\cdot \mathrm{tg}{27}^{\circ }\approx 4\cdot 0,5095=2,038\approx 2$

$x\approx 2\mathrm{c}\mathrm{m}$

Ponieważ trójkąt $CDB$ jest prostokątny, to korzystając z funkcji tangens wyliczymy $y$:

$\frac{y}{h}=tg33°$, odczytujemy z tablic: $\mathrm{tg}{33}^{\circ }\approx 0,6494$

$y=h\cdot \mathrm{tg}{33}^{\circ }\approx 4\cdot 0,6494=2,5976\approx 2,6$

$y\approx 2,6 \mathrm{cm}$

długość podstawy $AB$ trójkąta $ABC$: $\left|AB\right|=x+y=a$

$\left|AB\right|\approx 2+2,6=4,6=a$

$\left|AB\right|\approx 4,6\mathrm{c}\mathrm{m}$

Pole trójkąta obliczymy ze wzoru:

$P\approx \frac{4,6\cdot 4}{2}=9,2$

$P\approx 9,2{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Przejdziemy teraz do wyliczenia obwodu trójkąta $ABC$. W tym celu, wykorzystując funkcje trygonometryczne, podamy długości boków $AC$ i $CB$.

Długość boku $AC$ wyznaczymy korzystając z funkcji cosinus:

$\frac{h}{\left|AC\right|}=\cos {27}^{\circ }$, odczytujemy z tablic $\cos {27}^{\circ }\approx 0,891$

$\left|AC\right|=\frac{h}{\cos {33}^{\circ }}\approx \frac{4}{0,891}\approx 4,48933\approx 4,5$

$\left|AC\right|\approx 4,5\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\frac{h}{\left|CB\right|}=\cos {33}^{\circ }$, odczytujemy z tablic $\cos {33}^{\circ }\approx 0,8387$

$|CB|=\frac{h}{\cos {33}^{\circ }}\approx \frac{4}{0,8387}\approx 4,7693\approx 4,8$

$\left|CB\right|\approx 4,8\mathrm{c}\mathrm{m}$

Obwód trójkąta jest sumą długości jego boków: $O=\left|AB\right|+\left|CB\right|+\left|AC\right|$

$O\approx 4,6+4,8+4,5=13,9$

$O\approx 13,9\mathrm{c}\mathrm{m}$

Odpowiedź:

Pole trójkąta wynosi w przybliżeniu $9,2 {\mathrm{cm}}^2$ a jego obwód około $13,9 \mathrm{cm}$.

W rombie dane są: bok długości $10 \mathrm{cm}$ i kąt ostry $50°$. Obliczymy długości przekątnych i pole rombu. Wynik podamy z dokładnością do $0,01 \mathrm{cm}$.

Przypomnijmy:

Romb jest czworokątem o wszystkich bokach równych, jest szczególnym przypadkiem równoległoboku. Przeciwległe boki rombu są równoległe, przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe; są one równocześnie dwusiecznymi kątów.

RrxMqIvQQ4VWO

Ilustracja przedstawia romb. Został on podzielony przekątną tak, że dzieli ona go na dwa trójkąty równoramienne o wspólnej podstawie, owej przekątnej. Jeden z nich został oznaczony bokiem o wartości a, poprowadzono w nim wysokość h i zaznaczono kąt 50 stopni przy wierzchołku leżącym naprzeciw wysokości h. Między wysokością h a bokiem na nią opuszczonym oznaczono również kąt prosty.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
$h$ – wysokość rombu,
$a$ – długość boku rombu, $a=10 \mathrm{cm}$.

Do wyznaczenia pola rombu skorzystamy ze wzoru:

Aby wyliczyć pole rombu musimy wyznaczyć jego wysokość $h$.

Wysokość jest prostopadła do boku $a$, możemy więc skorzystać z funkcji sinus.

$\frac{h}{a}=\sin 50°$, odczytujemy z tablic: $\sin {50}^{\circ }\approx 0,7660$

$\frac{h}{a}\approx 0,7660$, zatem: $h\approx 10\cdot 0,7660=7,66$

$h\approx 7,66\mathrm{c}\mathrm{m}$

Podstawimy wyliczone wartości „$a$” i „$h$” do wzoru $P=a·h$:

$P=a\cdot h\approx 10\cdot 7,66=76,6$

$P\approx 76,60\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Obliczymy teraz długości przekątnych romburombrombu.

W rombie:

1. przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe;

2. przekątne są dwusiecznymi kątów.

RkHi0ZT6B18sP

Ilustracja przedstawia romb A, B, C, D o boku równym wartości a. Poprowadzono przekątne które przecinają się w punkcie O pod kątem prostym. Dłuższa przekątna dzieli kąt wierzchołkowy na dwa równe kąty o wartości 25 stopni.

Przyjmijmy oznaczenia:

$\left|AC\right|=d$ – długość dłuższej przekątnej rombu

$\left|DB\right|=e$ – długość krótszej przekątnej rombu

Trójkąt $AOB$ jest trójkątem prostokątnym.

Długości przyprostokątnych tego trójkąta:

$\left|AO\right|=\frac{1}{2}\cdot d$ i $\left|BO\right|=\frac{1}{2}\cdot e$

$\frac{\left|AO\right|}{\left|AB\right|}=\cos {25}^{\circ }$ i $\cos {25}^{\circ }\approx 0,9063$ (odczytane z tablic)

$\frac{\frac{1}{2}\cdot d}{a}=\cos {25}^{\circ }$ zatem: $\frac{\frac{1}{2}·d}{10}\approx 0,9063$, co daje: $\frac{1}{2}·d\approx 0,9063·10$

W ostateczności: $d\approx 20·0,9063=18,126\approx 18,13$

$d\approx 18,13 \mathrm{cm}$

$\frac{\left|BO\right|}{\left|AB\right|}=\sin {25}^{\circ }$ i $\sin {25}^{\circ }\approx 0,4226$

$\frac{\frac{1}{2}·e}{a}=\sin 25°$ zatem $\frac{\frac{1}{2}·e}{10}\approx 0,4226$, co daje: $e\approx 20·0,4226=8,452\approx 8,45$

$e\approx 8,45 \mathrm{cm}$

Odpowiedź:

Pole romburombrombu wynosi około $76,60{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Długości przekątnych są w przybliżeniu równe: $18,13{\mathrm{cm}}^{}$ oraz $8,45{\mathrm{cm}}^{}$

W równoramiennym trójkącie prostokątnym $ABC$: $\left|AC\right|=\left|CB\right|=a=6\mathrm{c}\mathrm{m}$. Obliczymy miary kątów, na jakie dzieli kąt $CAB$ środkowa poprowadzona z wierzchołka $A$. Wynik podamy z dokładnością do $1°$.

RcqIwkhsgNfpb

Zdjęcie przedstawia trójkąt A, B, C. Z punktu A poprowadzoną środkową trójkąta w punkcie D. Odcinek AD dzieli kąt BAC na kąt alfa i beta.

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny i prostokątny, więc $\left|\measuredangle CAB\right|=\left|\measuredangle ABC\right|={45}^{\circ }$

$\left|AC\right|=\left|CB\right|=a=6\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\left|BD\right|=\left|DC\right|=\frac{a}{2}=3\mathrm{c}\mathrm{m}$, bo $AD$ jest środkową.

Trójkąt $ACD$ jest prostokątny, więc możemy zastosować funkcję tangens:

$\frac{|DC|}{|AC|}=\text{tg }\alpha$, zatem $\frac{\frac{a}{2}}{a}=\text{tg }\alpha$, stąd $tg\alpha =\frac{1}{2}=0,5$.

$\alpha \approx 26°36\text{'}\approx 27°$, bo $tg26°36\text{'}\approx 0,5008$

$\alpha \approx 27°$

$\beta \approx 45°-\alpha =45°-27°=18°$

$\beta \approx 18°$

Odpowiedź:

Środkowa poprowadzona z wierzchołka $A$ dzieli kąt $\measuredangle CAB$ na kąty: $\alpha \approx 27°$ i $\beta \approx 18°$.

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A=\left(0, 0\right)$, $B=\left(6, 0\right)$, $C=\left(3, 4\right)$. Wyznaczymy kąty trójkąta. Wynik podamy z dokładnością do $1°$.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R188PlMbvLOZn

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny A, B, C umieszczony w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Wierzchołki trójkąta mają następujące współrzędne: $A=\left(0;0\right)$, $B=\left(6;0\right)$, $C=\left(3;4\right)$. Wierzchołek C zrzutowano na obie osie linią przerywaną. Rzut pionowy na oś X jest jednocześnie wysokością trójkąta. To odcinek C D prostopadły do podstawy A B, przy czym punkt D ma współrzędne $D=\left(x_0;y_0\right)$.

Z rysunku: punkt $D$ ma współrzędne: $x_0=3$, $y_0=0$ więc trójkąt $ABC$ jest równoramienny:

• $\left|AC\right|=\left|BC\right|$

• $\left|\measuredangle CAB\right|=\left|\measuredangle ABC\right|$

Rozważmy trójkąt $BDC$:

$\left|BD\right|=3$, $\left|CD\right|=4$

$\frac{\left|CD\right|}{\left|BD\right|}=\text{tg }\alpha$ i $\frac{4}{3}=tg\alpha$

$\text{tg }\alpha =\frac{4}{3}\approx 1,3333$ zatem $\alpha \approx {53}^{\circ }$

Suma kątów w trójkącie wynosi $180°$:

$\alpha +\alpha +\beta =180°$ stąd $\beta =180°-2\alpha$

$\beta \approx {180}^{\circ }-2\cdot {53}^{\circ }={180}^{\circ }-{106}^{\circ }={74}^{\circ }$

Odpowiedź:

Kąty mają następujące miary: ${53}^{\circ }$, ${53}^{\circ }$, ${74}^{\circ }$.

Dana jest prosta o równaniu $y=2x+1$. Wyznacz kąt nachylenia tej prostej do osi $X$. Wynik podaj z dokładnością do $1°$.

Dwa różne punkty jednoznacznie wyznaczają prostą, zatem aby narysować prostą musimy znać współrzędne dwóch punktów leżących na prostej $y=2x+1$.

dla $x=0$, $y=2·0+1=1$, $A=\left(0, 1\right)$

dla $x=1$, $y=2·1+1=3$, $B=\left(1, 3\right)$

R8AqBdigWET0z

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą zadaną równaniem $y=2x+1$. Prosta ta nachylona jest do poziomej osi X pod kątem alfa. Punkt należący do wykresu $\left(1;3\right)$ zrzutowano na obie osie linią przerywaną. Z punktu przecięcia z pionową osią Y poprowadzono również linią przerywaną poziomy odcinek o końcach $\left(0;1\right)$ i $\left(1;1\right)$. Z rzutów powstał prostokąt o wymiarach 2 na jeden. Prosta nachylona jest do poziomego odcinka również pod kątem alfa, tak samo jak do poziomej osi X.

Z rysunku wynika, że:

$tg\alpha =\frac{2}{1}=2$ stąd $\alpha \approx {63}^{\circ }{24}^{\prime }\approx {63}^{\circ }$

Odpowiedź:

Prosta $y=2x+1$ jest nachylona do osi $X$ pod kątem ok. $63°$.

Jacek widzi czubek drzewa pod kątem $32°$. Po przejściu $1,5 \mathrm{m}$ w stronę drzewa, jego czubek widzi pod kątem $40°$. Obliczymy jaka jest wysokość drzewa, jeśli oczy Jacka są na wysokości $1,2 \mathrm{m}$. Wynik podamy z dokładnością do $1 \mathrm{cm}$.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

Rfm51Lauzoszf

Ilustracja przedstawia drzewo i Jacka. Oznaczono też trójkąt według treści zadania. h to wysokość drzewa od poziomu wysokości oczu Jacka, czyli 1,2 m od podłoża. Przeciwprostokątna pierwsza jest nachylona pod kątem 32 stopni do podłoża. Druga, znajdująca się 1,5 m wcześniej jest nachylona pod kątem 40 stopni.

Korzystamy z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym:

$\mathrm{tg}40°=\frac{h}{x}$

$x=\frac{h}{\mathrm{t}\mathrm{g}{40}^{\circ }}\approx \frac{h}{0,8391}$

$\mathrm{tg}32°=\frac{h}{x+1,5}$

Odczytujemy z tablic: $\mathrm{tg}{32}^{\circ }\approx 0,6249$ i $\mathrm{tg}{40}^{\circ }\approx 0,8391$.

$0,6249·\left(x+1,5\right)=h$

$0,6249x+0,93735=h$

$0,6249·\frac{h}{0,8391}+0,93735=h|·0,8391$

$0,6249h+0,786530385=0,8391h$

$0,786530385=0,2142h |:0,2142$

$h\approx 3,67 \mathrm{m}$

Odpowiedź:

Wysokość drzewa wynosi około $487 \mathrm{cm}$.

Wyznaczymy miarę kąta ostrego $\alpha$, jeśli: $\frac{3\sin \alpha -\cos \alpha }{\cos \alpha }=4-tg\alpha$.

Rozwiązanie:

$\frac{3\sin \alpha -\cos \alpha }{\cos \alpha }=4-tg\alpha$

$\frac{3\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }=4-tg\alpha$

$3tg\alpha -1=4-tg\alpha$

$4tg\alpha =5 |:4$

$tg\alpha =\frac{5}{4}=1,25$

W tablicach wartości funkcji trygonometrycznych odszukujemy kąt, dla którego wartość tangensa jest najbliższa liczbie $1,25$.

Zatem: $\alpha \approx 51°$.

Odpowiedź:

Kąt $\alpha$ ma miarę około $51°$.

czworokąt o wszystkich bokach równych, jest szczególnym przypadkiem równoległoboku; przeciwległe boki rombu są równoległe, przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe; są one równocześnie dwusiecznymi kątów