Przeczytaj
W tym materiale zastosujemy przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania zadań, w których obliczyć należy długość boku lub miarę kąta.
Wykorzystamy w tym celu definicje funkcji trygonometrycznych.
Sinusem kąta w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do długości przeciwprostokątnej.
Cosinusem kąta w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości przeciwprostokątnej.
Tangensem kąta w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do długości drugiej przyprostokątnej.
Kąty między bokami i wysokością trójkąta są odpowiednio równe i . Obliczymy pole i obwód tego trójkąta wiedząc, że jego wysokość ma długość . Wynik podamy z dokładnością do .
Przyjmijmy oznaczenia:
– długość wysokości trójkąta
Do obliczenia pola trójkąta potrzebna jest długość boku , który jest sumą odcinków i .
Ponieważ trójkąt jest prostokątny, to korzystając z funkcji tangens wyliczymy :
, odczytujemy z tablic:
Ponieważ trójkąt jest prostokątny, to korzystając z funkcji tangens wyliczymy :
, odczytujemy z tablic:
długość podstawy trójkąta :
Pole trójkąta obliczymy ze wzoru:
Przejdziemy teraz do wyliczenia obwodu trójkąta . W tym celu, wykorzystując funkcje trygonometryczne, podamy długości boków i .
Długość boku wyznaczymy korzystając z funkcji cosinus:
, odczytujemy z tablic
, odczytujemy z tablic
Obwód trójkąta jest sumą długości jego boków:
Odpowiedź:
Pole trójkąta wynosi w przybliżeniu a jego obwód około .
W rombie dane są: bok długości i kąt ostry . Obliczymy długości przekątnych i pole rombu. Wynik podamy z dokładnością do .
Przypomnijmy:
Romb jest czworokątem o wszystkich bokach równych, jest szczególnym przypadkiem równoległoboku. Przeciwległe boki rombu są równoległe, przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe; są one równocześnie dwusiecznymi kątów.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
– wysokość rombu,
– długość boku rombu, .
Do wyznaczenia pola rombu skorzystamy ze wzoru:
Aby wyliczyć pole rombu musimy wyznaczyć jego wysokość .
Wysokość jest prostopadła do boku , możemy więc skorzystać z funkcji sinus.
, odczytujemy z tablic:
, zatem:
Podstawimy wyliczone wartości „” i „” do wzoru :
Obliczymy teraz długości przekątnych romburombu.
W rombie:
przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe;
przekątne są dwusiecznymi kątów.
Przyjmijmy oznaczenia:
– długość dłuższej przekątnej rombu
– długość krótszej przekątnej rombu
Trójkąt jest trójkątem prostokątnym.
Długości przyprostokątnych tego trójkąta:
i
i (odczytane z tablic)
zatem: , co daje:
W ostateczności:
i
zatem , co daje:
Odpowiedź:
Pole romburombu wynosi około . Długości przekątnych są w przybliżeniu równe: oraz
W równoramiennym trójkącie prostokątnym : . Obliczymy miary kątów, na jakie dzieli kąt środkowa poprowadzona z wierzchołka . Wynik podamy z dokładnością do .
Trójkąt jest równoramienny i prostokątny, więc
, bo jest środkową.
Trójkąt jest prostokątny, więc możemy zastosować funkcję tangens:
, zatem , stąd .
, bo
Odpowiedź:
Środkowa poprowadzona z wierzchołka dzieli kąt na kąty: i .
Dany jest trójkąt o wierzchołkach , , . Wyznaczymy kąty trójkąta. Wynik podamy z dokładnością do .
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
Z rysunku: punkt ma współrzędne: , więc trójkąt jest równoramienny:
Rozważmy trójkąt :
,
i
zatem
Suma kątów w trójkącie wynosi :
stąd
Odpowiedź:
Kąty mają następujące miary: , , .
Dana jest prosta o równaniu . Wyznacz kąt nachylenia tej prostej do osi . Wynik podaj z dokładnością do .
Dwa różne punkty jednoznacznie wyznaczają prostą, zatem aby narysować prostą musimy znać współrzędne dwóch punktów leżących na prostej .
dla , ,
dla , ,
Z rysunku wynika, że:
stąd
Odpowiedź:
Prosta jest nachylona do osi pod kątem ok. .
Zauważ, że dla dowolnej prostej , :
Wyznaczymy rzędną punktu o odciętej 0:
Wyznaczymy rzędną punktu o odciętej 1:
Z rysunku wynika, że:
Współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta nachylenia tej prostej do osi :
Jacek widzi czubek drzewa pod kątem . Po przejściu w stronę drzewa, jego czubek widzi pod kątem . Obliczymy jaka jest wysokość drzewa, jeśli oczy Jacka są na wysokości . Wynik podamy z dokładnością do .
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
Korzystamy z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym:
Odczytujemy z tablic: i .
Odpowiedź:
Wysokość drzewa wynosi około .
Wyznaczymy miarę kąta ostrego , jeśli: .
Rozwiązanie:
W tablicach wartości funkcji trygonometrycznych odszukujemy kąt, dla którego wartość tangensa jest najbliższa liczbie .
Zatem: .
Odpowiedź:
Kąt ma miarę około .
Słownik
czworokąt o wszystkich bokach równych, jest szczególnym przypadkiem równoległoboku; przeciwległe boki rombu są równoległe, przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe; są one równocześnie dwusiecznymi kątów