Przeczytaj

Zanim przejdziemy do konwersji liczb, przypomnijmy, czym są systemy liczbowe: binarny i dziesiętny.

System binarny:

pozycyjny system liczbowy, którego podstawą jest liczba $2$ ,
do zapisu dowolnej liczby wykorzystujemy tylko dwie cyfry: $0$ oraz $1$ ,
jest to powszechnie używany system w elektronice i informatyce,
bitem nazywamy każdą cyfrę liczby w tym systemie.

System dziesiętny:

pozycyjny system liczbowy, którego podstawą jest liczba $10$ ,
jest to system, w którym wykorzystujemy dziesięć cyfr: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ ,
jest to system używany przez nas na co dzień.

Na co dzień posługujemy się liczbami zapisanymi w systemie dziesiętnym, dlatego interpretacja wartości liczby binarnej i wykonywanie obliczeń w tym systemie może być dla nas uciążliwe. Taką liczbę warto wówczas zamienić na liczbę w systemie dziesiętnym. Jak to zrobić?

System dwójkowy, podobnie jak dziesiętny, jest systemem pozycyjnym. Liczby są w nim zapisywane w postaci ciągu cyfr $0$ i $1$ . Każda cyfra (bit) jest mnożną odpowiadającej jej wagi, czyli podstawy systemu (liczby $2$ ) podniesionej do potęgi zależnej od pozycji bitu.

Tabela przedstawia wagi liczby dwójkowej, składającej się z n cyfr części całkowitej oraz m cyfr części ułamkowej:

Cyfra	$x_{n - 1}$	$x_{n - 2}$	$\dots$	$x_{1}$	$x_{0}$	$x_{- 1}$	$x_{- 2}$	$\dots$	$x_{- m}$
Waga pozycji	$2^{n - 1}$	$2^{n - 2}$	$\dots$	$2^{1}$	$2^{0}$	$2^{- 1}$	$2^{- 2}$	$\dots$	$2^{- m}$

Pozycje bitów części całkowitej numerujemy od $0$ , rozpoczynając od prawej strony. Pozycje bitów części ułamkowej numerujemy po przecinku od lewej strony, zaczynając od $(- 1)$ . Dzięki temu możemy obliczyć wartość dziesiętną liczby zapisanej w systemie dwójkowym.

Ważne!

Wartością dziesiętną liczby o reprezentacji ${\{x_{n - 1}, x_{n - 2}, \dots, x_{1}, x_{0}, x_{- 1}, x_{- 2}, \dots, x_{- m}\}}_{(2)}$ jest:

x_{n - 1} 2^{n - 1} + \dots + x_{1} 2^{1} + x_{0} 2^{0} + x_{- 1} 2^{- 1} + \dots + x_{- m} 2^{- m}

Algorytm konwersji liczby w systemie dwójkowym na system dziesiętny wygląda następująco:

Mnożymy cyfry danej liczby binarnej przez wagi ich pozycji (zgodnie z powyższą tabelą).
Dodajemy do siebie otrzymane iloczyny, otrzymując w ten sposób wartość liczby w systemie dziesiętnym.

W systemie binarnym w liczbie mogą występować tylko cyfry $0$ i $1$ , a w systemie dziesiętnym cyfry od $0$ do $9$ .

Przykład 1

Zamieńmy liczbę $1001_{(2)}$ na system dziesiętny.

Przy rozwiązywaniu tego zadania może nam się przydać tabela z kolejnymi potęgami liczby $2$ . Ułatwi ona dokonywanie obliczeń.

Waga	$2^{9}$	$2^{8}$	$2^{7}$	$2^{6}$	$2^{5}$	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
Wynik	$512$	$256$	$128$	$64$	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	$1$

Nasza przykładowa liczba jest liczbą całkowitą, bez części ułamkowej. Dlatego kolejne pozycje cyfr w naszej liczbie numerujemy od $0$ , rozpoczynając od najmłodszego bitunajmłodszy bitnajmłodszego bitu, a kończąc na najstarszym bicienajstarszy bitnajstarszym bicie.

1001_{(2)} = 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 1 = 9_{(10)}

Zauważmy, że cyfry $0$ nie zostały uwzględnione w dodawaniu iloczynów. Jeżeli cyfrę $0$ pomnożymy przez wagę pozycji, otrzymamy iloczyn równy $0$ – a to nie wpływa na wynik obliczeń. Jeżeli chcielibyśmy jednak uwzględnić iloczyny wynoszące $0$ , działanie wyglądałoby następująco:

1001_{(2)} = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 0 + 0 + 1 = 9_{(10)}

Jak należało się spodziewać, otrzymaliśmy taką samą wartość.

Słownik

najmłodszy bit

bit o najmniejszej wadze (najmniej znaczący), najbardziej wysunięty na prawo

najstarszy bit

bit o największej wadze (najbardziej znaczący), najbardziej wysunięty na lewo

Wprowadzenie

Animacja

Słownik